Burkhard Heim Syntrometrische Maximentelezentrik Teil A: Syntrometrie Teil B: Anthropomorphe Syntrometrie Burkhard Heim Syntrometrische Maximentelezentrik Teil A Syntrometrie Seite 2 A. Syntrometrie Seite Inhalt 3 Reflexive Abstraktion von der anthropomorphen Transzendentalästhetik als begriffliche Induktion ^ 1. Dialektische und prädikative Aspektrelativität 1.1. Dialektik und Prädikatrix der subjektiven Aspekte 8 1.2. Aspektivsysteme 11 1.3. Kategorien 15 1.4. Die apodiktischen Elemente 16 1.5. Aspektrelativität, Funktor und Quantor 20 2. Die syntrometrischen Elemente 2.1. Notwendige und hinreichende Existenzbedingung des Universalquantors 24 2.2. Definition der Syntrix 26 2.3. Kombinatorik der Syndrombesetzungen 31 2.4. Komplexsynkolatoren, Synkolationsverlauf und Syndromabschluß 33 2.5. Die primigene Äondyne 36 2.6. Das Selektionsprinzip polyzyklischer metrophorischer Zirkel 39 3. Syntrixkorporationen 3.1. Der Korporator 42 3.2. Totale und partielle Syntrixkorporationen 47 3.3. Pyramidale Elementarstrukturen 51 3.4. Konzenter und Exzenter 55 3.5. Syntropodenarchitektonik mehrgliedriger Konflexivsyntrizen 58 4. Enyphansyntrizen 4.1. Syntrixtotalitäten und ihre Generativen 63 4.2. Die diskrete und kontinuierliche Enyphansyntrix 67 4.3. Klassifikation der Enyphansyntrizen 71 4.4. Die syntrometrischen Gebilde 72 4.5. Syntrixfunktoren 74 4.6. Transformationen der Syntrixfelder 78 4.7. Affmitätssyndrome 79 Seite 3 5. Metroplextheorie 5.1. Der Metroplex ersten Grades, Hypersyntrix 80 5.2. Hypertotalitäten ersten Grades, Enyphanmetroplexe und Metroplexfunktoren 84 5.3. Der Metroplex höheren Grades 88 5.4. Syntrokline Metroplexbrücken 94 5.5. Tektonik der Metroplexkombinate 99 6. Die televariante äonische Area 6.1. Mono- und Polydromie der Metroplexäondyne und ihre Telezentrik 104 6.2. Transzendenzstufen, Transzendentaltektonik 109 6.3. Tele- und Dys Varianten 112 6.4. Metastabile Synkolationszustände der Extinktionsdiskriminante 113 6.5. Televarianzbedingung der telezentrischen Polarisation 115 6.6. Transzendente Telezentralenrelativität 117 B. Anthropomorphe Syntrometrie 7. Anthropomorphe Syntrometrie 7. 1. Subjektive Aspekte und apodiktische Pluralitäten 122 7.2. Struktur und Interpretation der Quantitätssyntrix 124 7.3. Syntrometrie über dem Quantitätsaspekt 131 7.4. Strukturtheorie der Synkolationsfelder 145 7.5. Strukturkaskaden 180 7.6. Übergangskriterium und Televarianzbedingung 200 8. Selektive semantische Iteratoren 8.1. Metronische Elementaroperationen 207 8.2. Cisfinitesimale Analysis 223 8.3. Selektoren 232 8.4. Transzendente metronische Funktionen und Selektorgleichungen 243 8.5. Metrische Selektortheorie primitiv strukturierter metronischer Tensorien 253 8.6. Metronische Hyperstrukturen und Metronisierungsverfahren 261 8.7. Strukturkondensationen elementarer Kaskaden 273 C. Anhang Syntrometrische Begriffsbildungen 299 Formelsammlung 311 Seite 4 Seite 5 Reflexive Abstraktion von der anthropomorphen Transzendentalästhetik als begriffliche Induktion Auf die Urerfahrung der Existenz wird die Schlußweise der Formen zweideutiger Logik als Strukturausdruck des spezifisch anthropomorphen Intellekts angewendet, was zur Entwicklung einer Analysis im System der zweideutig formalen Logik führt. Diese Analysis wird reflexiv auf die ästhetische Empirik angewendet, unter der Voraussetzung, daß das Bewußtsein nicht subjektiv endogen, sondern objektiv exogen reflektiert, also auf eine Umwelt (Peristase) reflexiert. Auf diese Weise kommt es zu einer Synthesis der ästhetischen Empirik. Das Produkt dieser Synthesis ist die Transzendentalästhetik, welche unter der Voraussetzung eines objektiv exogen reflexierenden Bewußtseins als Transzendentalästhetik der anthropomorphen Phänomenologie zwar richtig ist, aber erfahrungsgemäß zu Antagonismen innerhalb der Beschreibung führt. Die Form der ästhetischen Empirik wird von der spezifischen Struktur des anthropomorphen Wahrnehmungs¬ vermögens bestimmt, was notwendigerweise zur naiven Aufdeckung vieler Einzelphänomene führen muß, der Art, daß deren abstrakte Korrelate unerkannt bleiben und Gruppen von Einzel¬ phänomenen sich konträr auszuschließen scheinen. Erst die Abstraktion von dieser ästhetischen Empirik und die Synthesis einer Transzendentalästhetik läßt die abstrakten Korrelate der anthro¬ pomorphen Phänomenologie erscheinen und vereinheitlicht deren scheinbar konträre Elemente. Da die Transzendentalästhetik der anthropomorphen Phänomenologie die Phänomene der Wirklichkeit nur teilweise in einheitlichen Zusammenhängen erscheinen läßt, der Art, daß trotz der mit der Abstraktion von der ästhetischen Empirik verbundenen Elimination konträrer phänomenologischer Elemente doch noch weitgehende Antagonismen auftreten, erscheint es vernünftig, zu versuchen, reflexiv auch noch von dieser anthropomorphen Transzendentalästhetik zu abstrahieren. Eine solche Abstraktion kann aber nur möglich sein, wenn der Abstraktionsvorgang so beschaffen ist, daß die Frage nach der Art des Reflexionsvorganges und einer Entscheidung darüber, ob das anthropo- morphe Bewußtsein endogen oder exogen reflexiert, als unwesentlich offen gelassen werden kann. Da sowohl die ästhetische Empirik als auch die aus ihr synthetisierte Transzendentalästhetik einen rein anthropomorphen Charakter trägt, also die Transzendentalästhetik an die spezifische anthro- pomorphe Struktur des Intellekts gebunden ist und diese Struktur ihren Ausdruck in der anthro¬ pomorphen Logik findet, welche auch die Methodik zur transzendentalästhetischen Synthesis darstellt, läuft eine Abstraktion von der Transzendentalästhetik auf reflexivem Wege auf eine Abstraktion von der anthropomorphen Logik hinaus. Dieser Vorgang müsste dann zu einer universelleren Methodik führen, die als Syntrometrie bezeichnet werden soll, und auf bestimmte Teile des Transzendentalästhetik angewendet, diese so erweitert, daß es zu einer Abstraktion von Seite 6 ihrer speziell anthropomorphen Form kommt. Aus der Urerfahrung der Existenz folgt unmittelbar, daß es trotz jeder Abstraktion von der anthropomorphen Transzendentalästhetik gewisse Konnexreflexionen gibt, auf Grund deren die Urerfahrung überhaupt erst gemacht werden kann; und diese Konnexreflexionen müssen, wie auch immer der betreffende Intellekt und die betreffenden ästhetischen Wahrnehmungen strukturiert sind, in Zusammenhängen stehen, deren Gesamtheit die Urerfahrung der Existenz kennzeichnet. Werden die Aussagemöglichkeiten eines Bewußtseins mit bestimmten ästhetischen Bewertungen in Korrespondenz gesetzt, die wiederum einen Strukturausdruck des speziellen Bewußtseins darstellen, so soll die Einheit dieser mit speziellen ästhetischen Bewertungen korrespondierender Prädikate als spezieller subjektiver Aspekt des betreffenden Bewußtseins definiert werden. Je nach dem subjektiven Aspekt können, allgemein gesehen, diese Konnexreflexionen in ihren Zusam¬ menhängen in anderer Form zur Urerfahrung werden, doch existiert ein Bewußtsein grundsätzlich dann, wenn es eine wie auch immer beschaffene Urerfahrung seiner Existenz machen kann. Hieraus folgt, daß es für die Entwicklung einer syntrometrischen Methodik - wie diese auch immer geartet sein mag - unwesentlich ist, in welcher Art das Bewußtsein reflexiert, und ob die Reflexionen subjektiv endogen, oder objektiv exogen erfolgen. Dies bedeutet aber, daß die notwendigen Voraussetzungen zu einer Entwicklung einer syntrometrischen Methodik, also einer Abstraktion von der anthropomorphen Logik, und damit von der anthropomorphen Transzendentalästhetik, erfüllt sind. Bei einer solchen Abstraktion kann nur die an keine speziellen Bedingungen gebundene Urerfahrung der Existenz erhalten bleiben, so daß die Problemstellung lautet: Es ist eine formale Methodik, nämlich die Syntrometrie, zu finden, die an kein spezielles logisches System, und damit an keine spezielle Intellektstruktur, gebunden ist, derart, daß sich das anthropomorphe logische System, sowie jedes andere logische System, als jeweils spezieller Sonderfall der universellen syntrometrischen Methodik ergibt. Von der Struktur der ästhetischen Empirik kann zunächst bei der Entwicklung der syntrometrischen Strukturen, ebenso wie von der tranzendentalästhetischen Empirik der Konnexreflexionen und ihrer fu nk tionalen Zusammenhänge abgesehen werden, da nach dem Vorangegangenen die notwendige syntrometrische Voraussetzung erfüllt ist und somit der subjektive Aspekt des reflexierenden Bewußtseins relativ wird. Wesentlich ist nur das aus der Existenzerfahrung resultierende Postulat, daß es solche Konnexreflexionen als Elemente in irgendwelchen Zusammenhängen gibt, und daß im allgemeinen die Eigenschaftsbewertungen dieser Elemente und ihre Zusammenhänge vom jeweiligen Aspekt des existenten Subjekts abhängen. Der erste Schritt zur Syntrometrie, die also nur axiomatisch Systeme von Eigenschaften in Wechselbe¬ ziehungen postuliert, wäre demnach eine Analysis der subjektiven Aspekte und eine konkrete Definition und Analyse eines logischen Systems. Seite 7 1. Dialektische und prädikative Aspektrelativität 1.1. Dialektik und Prädikatrix der subjektiven Aspekte Abgesehen von den Möglichkeiten der ästhetischen Empirik, die durch die somatische Struktur der sinnlichen Wahmehmungsmöglichkeiten gegeben sind, wird ein subjektiver Aspekt durch einen speziellen Strukturbereich des betreffenden Intellekts bestimmt, der seinen Ausdruck in der jeweiligen Form und den Aussagemöglichkeiten derjenigen Reflexionen findet, die von dem Intellektbereich ermöglicht werden, dessen Ausdruck der angenommene subjektive Aspekt ist. Eine der möglichen Aussagen sei f q und von diesen Aussagen soll es im allgemeinen Fall l%. aus n Prädikatbändem besteht, welche zu diskreten Prädikaten werden, wenn die Bandgrenzen a q = b q zusammenfallen. Offensichtlich kann P n sowohl eine reine Bandprädikatrix als auch eine rein diskrete Prädikatrix sein, doch ist auch eine gemischte Form aus beiden Aussagearten möglich. In P„ ist offenbar die Reihenfolge f q nicht unwesentlich, denn eine Bewertung der Prädikate macht einen Aspekt in einem logischen System erst zu einem subjek¬ tiven Aspekt, zumal die Qualität des subjektiven Aspektes nicht allein durch die Mannigfaltigkeit der Prädikatmöglichkeiten umschrieben sein kann. Aus diesem Grunde erscheint es angebracht, eine prädikative Basischiffre z n einzuführen, welche als ein Bezugssystem aus prädikativen Wertverhältnissen aufzufassen ist. Pnn = z n ;P n soll als bewertete Prädikatrix eingeführt werden, wobei z n die Anordnung der f q durchführt, doch bleibt z n nur dann in ihrer Funktion auf die einfache Orientierung der f q innerhalb der P n beschränkt, wenn die Aussagen diskret sind, also die Bandgrenzen zusammenfallen. Ist P n dagegen eine Bandprädikatrix (oder auch gemischt), so bestimmt z n nicht nur die Bewertung, also die Anordnung der f q innerhalb P n , sondern auch die Orientierung der Prädikatbänder, was auf eine Bewertung der Bandgrenzen hinausläuft. Wird z.B. z n als Basischiffre einer permutativen Operation unterworfen, so wird die Strukturierung von P nn und auch im Fall von Prädikatbändem die Orientierung der f q gegebenenfalls verändert. Ist Seite 8 C eine solche, die Basischiffre ändernde Operation, welche so wirkt, daß nur die f q in ihrer Bewertung mutieren, so ist z'„ = C; z n eine mit C permutierte Basischiffre und P'nn = z:'„ ; P n = C;z n ; P n unterscheidet sich von P„„ qualitativ hinsichtlich der Bewertung der f q . Ist P n eine Bandprädikatrix, so kann C allein die gleiche Permutation der f q bewirken, doch kann noch eine zweite Operation c so einwirken, daß C' = c;C nicht nur f q permutiert, sondern je nach der Struktur von c entweder alle, oder zuminderst einzelne Prädikatbänder in ihrer Orientierung ändert. Von den permutativen Operationen einer Basischiffre sind also C' = c;C allgemeiner geartet als die C , da auch die Bandprädikatrix universeller strukturiert ist als die diskrete Prädikatrix. Eine durch C' oder durch C bewirkte Veränderung von z n ändert die bewertete Prädikatrix nur qualitativ, aber nicht quantitativ, denn eine Umorientierung der P nn hat noch keine Änderung der Prädikate an sich oder der Prädikatmannigfaltigkeit n zur Folge. Alle P'„n , welche durch beliebige C oder C aus P nn hervorgehen, sind somit quantitativ identisch und unterscheiden sich nur qualitativ durch die bewertenden Basischiffren. Eine P nn allein kann einen subjektiven Aspekt noch nicht vollständig umschreiben, denn es liegt in der Natur des Subjektiven schlechthin, die Aussagen, wenn diese auch bewertet sind, durch qualitative Adjektive dialektisch zu formen. Zu jeder bewerteten Prädikatrix P nn muß demnach ein Schema D n = [d q ] n solcher dialektischer Adjektive d q gehören. Dieses Schema D n soll als Dialektik der bewerteten Prädikatrix P„ n bezeichnet werden. Die Elemente einer solchen Dialektik, also die dialektischen Adjektive dq sind die Diatropen, da sie die Aussagen P„ n dialektisch gestalten. In völliger Analogie zur Prädikatrix ist zwischen einer diskreten, gemischten und einer Banddialektik zu unterscheiden. Alle Diatropen können wie die Prädikate als Diatro- f °0 penbänder d = d aufgefaßt werden, deren Bandgrenzen im Fall diskreter Diatropen gemäß iß jq a q = ß q zusammenfallen und im allgemeinen ein Kontinuum aus dialektischen Adjektiven mit den sich unterscheidenden Adjektiven a q und ß q als Bandgrenzen des Kontinuums enthalten. Die Form einer Dialektik lautet demnach D n = d in völliger Analogie zu P n , wobei im subjek- - ß ^ -In tiven Aspekt stets diskrete Diatropen a q = ß q mit diskreten Prädikaten a q = b q und Diatropen- bänder mit Prädikatbändem korrespondieren. Wenn in der Prädikatrix die Orientierung der Prädikate nicht unwesentlich ist, so daß eine allerdings permutierbare prädikative Basischiffre eingefuhrt werden muß, so muß dies auch für die Dialektik der Fall sein, wenn die Diatropen in eindeutiger Form als dialektische Adjektive die Prädikate formen sollen. Es muß demnach auch eine dialektische Basischiffre 'C,„ existieren, welche das Bezugssystem dialektischer Wertver¬ hältnisse gemäß D nn = £ n ; D n die Dialektik bewertet, das heißt, die Diatropen in eine bestimmte Anordnung bringt und die Diatropenbänder orientiert. In Analogie zu den permutativen Opera- Seite 9 tionen C' und C der z n einer P„„ gibt es derartige Operationen auch für die C, B einer bewerteten Dialektik derart, daß sich die D'„ n nur qualitativ hinsichtlich der Diatropenorient- ierung, nicht aber quantitativ in der Diatropenstruktur von D„n unterscheiden. Alle D' nn sind mithin wie die P'™ quantitativ identisch, doch unterscheiden sie sich qualitativ durch die Orientierung ihrer Strukturen. Da weder die Diatropen noch die Prädikate für sich einen Aussagewert haben, sondern so zuei¬ nander koordiniert sein müssen, daß jede Diatrope als dialektisches Adjektiv ein Prädikat formt, muß eine Koordination K n zwischen D nn und P nn definiert sein, denn nur dann erhält das System aus bewerteter Dialektik und Prädikatrix eine Aussagefähigkeit. Sind z n und C, n die Basischiffren von P„ und D n , so muß zunächst eine Chiffrenkoordination in Form einer Funktionale F(^„,z n ) existieren, welche angibt, in welcher Form die Basischiffren korres¬ pondieren. Darüberhinaus müssen aber noch n Prädikatbänder durch die entsprechenden Dia- -f yA tropen geprägt werden, und dies kann nur durch die eigentlichen Koordinationsbänder X q = X erfolgen, welche zum Schema der eigentlichen Koordination E n = V v r A. zusammengefaßt sind. Mit der Chifffenkoordination wird E n zur Gesamtkoordination K n = E n F , welche auch als Korrespondenzschema bezeichnet wird. In diesem Schema braucht die Chiffrenkoordination F nicht mehr bewertet zu werden, weil bereits die bewertenden Basischiffren durch die Natur von F zueinander koordiniert werden. Durch K„ können also D lin und P nn zu einem übergeordneten Schema S = \ D„n x K n x P nn ~| zusammengefaßt werden, worin das Zeichen x die koordi¬ nierende Funktion des Korrespondenzschemas K n symbolisiert. Ist eine Prädikatrix als Schema der möglichen Aussagen über wie auch immer beschaffene Objekte als Ausdruck irgendeiner logischen Struktur vorgegeben, so umfaßt S = rD xK xP 1 | nn n nn | d vßy F (^n> Z n) XZ n> ( sl ] f l r J q_ n l b J q _ n (l) vom Aspekt der dialektischen Adjektive aus D„ alle innerhalb dieses Aspekts möglichen Aussagen der betreffenden logischen Struktur. Diese Struktur braucht dabei aber keineswegs durch eine fixierte Prädikatrix charakterisiert zu werden, vielmehr kennzeichnet jedes übergeordnete Schema der Art S einen Aspekt von Aussagemöglichkeiten in irgendeiner logischen Struktur und Seite 10 zwar kann es sich dabei jeweils nur um einen speziellen Aspekt innerhalb eines solchen logischen Systems handeln, der von den subjektiven Eigenschaften der drei Elemente D„„ , sowie K„ und P nn bestimmt wird. Aus diesem Grunde kann also das durch den Ausdruck S 1 symbolisierte Schema als ein allgemeiner subjektiver Aspekt bezeichnet werden, der innerhalb irgendeines logischen Systems von einem subjektiven Bezugspunkt aus alle Aussagemöglichkeiten enthält, welche in dem logischen System von diesem subjektiven Bezugssystem aus möglich sind. 1.2. Aspektivsysteme Bei der Entwicklung einer Syntrometrie kommt es darauf an, ein analytisches Schema aufzufinden, mit dessen Hilfe ein formales Operieren in beliebigen logischen Systemen möglich wird. Da aber ein logisches System der Ausdruck einer spezifischen Intellektstruktur ist und daher das operie¬ rende Bewußtsein real nur in dem System analysieren kann, welches ein Analogon zu seiner spe¬ ziellen Intellektstruktur bildet, muß die Syntrometrie ein Schema sein, dessen formale Operationen in beliebigen logischen Systemen dialektisch durch die Begriffe eines geeigneten subjektiven Aspektes aus demjenigen logischen System ausgedrückt werden, welches dem Intellekt des betreffenden Bewußtseins adäquat ist. Im vorliegenden Fall wäre ein solcher Deskriptionsaspekt aus dem System anthropomorpher Logik auszuwählen. Hier erscheint derjenige subjektive Aspekt am geeignetsten, dessen Aussagemöglichkeiten die mathematische Analysis begründen, denn innerhalb dieser Analysis gibt es Formalismen und Kriterien, deren Anwendung von imponderablen Regungen frei ist, so daß die Ergebnisse dieser Anwendung formal kontrollierbar werden. Die anthropomorphe Logik verfugt innerhalb der Prädikatrix nur über zwei diskrete Prädikate, nämlich die Bejahung (+) und die Verneinung (-) , so daß die prädikative Basischiffre nur die Möglichkeiten ± bzw. + zuläßt. Zu dieser bewerteten Prädikatrix der anthropomorphen Logik können die verschiedensten Schemata dialektischer Adjektive koordiniert werden, und jede Koordination muß einen subjektiven Aspekt der anthropomorphen Logik ergeben. Der spezielle Aspekt der mathematischen Analysis gründet sich auf eine Mengendialektik, welche die Adjektive der Punktmengenveränderung als Diatrope enthält. Das Korrespondenzschema kann ebenfalls nur zwei Elemente enthalten, welche die Prädikatrix [ ± ] so mit der Punktmengendialektik koor¬ diniert, daß die Mengengleichheit die Aussage (+) und die Mengenungleichheit die Aussage (-) formt, oder umgekehrt. In jedem Fall wird die eine Aussage zur Aussage einer Mengengleichheit (=) , und die andere zu einer Mengenungleichheit (^) , so daß der subjektive Aspekt 1 Im Originalmanuskript steht hier: “... den Ausdruck 1” - ein Schreibfehler meiner Ansicht nach. Korrigiert als S Seite 11 der mathematischen Analysis innerhalb der anthropomorphen Logik durch S ma = | “ | dargestellt wird. Hierin läßt die Aussage (f) noch die Möglichkeiten der Aussagen kleiner als (<) und größer als (>) bzw. der zur Kürzung weiterer Aussagen der wesentlichen Mengenunterschiede («) oder (») offen. Sind die Punktmengen variabel, aber begrenzt, so gibt es noch die abge¬ schwächten Aussagen, daß höchstens oder mindestens eine Gleichheit ( < oder > ) vorliegt. Darüberhinaus wird zur Differenzierung der Punktmengen ein algebraischer Körper (vorwiegend der Körper reeller Zahlen) verwendet. Diese Begriffe und Symbole des als Deskriptionsaspekts dienenden Aspekts der mathematischen Analysis innerhalb der anthropomorphen Logik sollen zur formalen Beschreibung syntrometrischer Operationen verwendet werden. Zunächst kommt es darauf an, mit diesem Deskriptionsaspekt den Begriff des allgemeinen subjektiven Aspekts zu erweitern. Durch die drei Bestimmungsstücke, nämlich Dialektik, Korrespondenzschema und Prädikatrix, ist ein subjektiver Aspekt vollständig definiert, doch kann ein solcher Aspekt, da die in ihm mögliche Aussagenmannigfaltigkeit kontinuierlich sein muß, eindeutig nur einem logischen System angehören; denn würde ein subjektiver Aspekt simultan zu s > 1 logischen Systemen gehören, so müsste seine Aussagenmannigfaltigkeit in s kontinuierliche Einzelbereiche zerfallen, von denen jeder einzelne wieder ein subjektiver Aspekt in jeweils nur einem logischen System ist, so daß nur s = 1 sein kann. Gegeben sei ein in irgendeinem logischen System definierter subjektiver Aspekt S und irgend¬ eine in dem betreffenden logischen System ausdrückbare Vorschrift o C , welche p -deutig ( p ist ganzzahlig und im Deskriptionsaspekt definiert) ein, oder mehrere Bestimmungsstücke von S modifiziert, so daß oC gemäß of;S = S© aus S insgesamt l oo hat oC aus S eine p -fach unendliche Mannigfaltigkeit von subjektiven Aspekten erzeugt, welche ein System subjektiver Aspekte mit der Dimensionalität p bildet, so daß o C als Systemgenerator bezeichnet werden kann. Die Dimensionalität eines solchen Systems subjektiver Aspekte wird mithin durch die Deutigkeit des Systemgenerators bestimmt. In der Mannigfaltigkeit subjektiver Aspekte ( p -fach unendlich), kann jedem subjektiven Aspekt der Punkt eines p -dimensionalen abstrakten metaphorischen Raumes zugeordnet werden, so daß die Gleichheit aller dieser Punkte als relatives Aspektivfeld dem Raum bestimmte metrische Eigen¬ schaften vermittelt. Das p -dimensionale Aspektivfeld hat also eine bestimmte metrische Form, die Metropie, welche neben p und dem Systemgenerator oC ein Bestimmungsstück des Aspektivfeldes ist. Da die Metropie durch eine Metrik des abstrakten Raumes zu veranschaulichen Seite 12 ist, könnten die Aspektivfelder in ihren Metropieformen im Analogon mit entsprechenden metrischen Feldern abstrakter Räume verglichen werden. Das aus o C und dem Primäraspekt S entstandene p -dimensionale Aspektivfeld ist mithin ein strukturiertes System subjektiver Aspekte und muß daher als ein Aspektivsystem P bezeichnet werden. P wird durch seine vier Bestimmungsstücke, nämlich dem Systemgenerator o C , Dimensionalität p , Metropie g und die Wirkungsweise von o C auf den Primäraspekt S vollständig gekennzeichnet, so daß ein ( o^ s \ ’ symbolisiert werden kann. S ist dabei nicht ausgezei- P>g/ chnet, vielmehr kann jedes Element aus P als Primäraspekt gewählt werden, wobei sich allerdings die Metropie wegen ihres relativen Charakters ändern kann. Der Systemgenerator o C kann entweder in den Begriffen des Primäraspektes ausdrückbar sein, oder aber in denen irgendeines anderen subjektiven Aspektes aus dem betreffenden logischen System. Im ersten Fall ist P entartet, im zweiten Fall dagegen echt. Im Folgenden sollen nur echte Aspektivsysteme untersucht werden, also solche, in denen o C nicht in den Begriffen des Primäraspektes ausdrückbar ist. Auf keinen Fall ist dagegen o C in einem anderen logischen System definiert, in welchem auch der Primäraspekt liegt. Die Metropie von P ist relativ und von der speziellen Wahl des Primäraspektes abhängig. Ist Y irgendeine Vorschrift, welche dem zugrunde gelegten Primäraspekt gegen irgendeinen anderen subjektiven Aspekt des Aspektivsystems austauscht, so moduliert Y gemäß G = Y;g als Metropiemodulator zugleich die Metropie des Systems. Diese Metropiemodulation kann q -fach gemäß T = Y q ;g wiederholt werden und wird als diskrete Metropiemodulation bezeichnet, wenn die Iterationszahl q < oo bleibt, doch wird sie kontinuierlich für q —> oo. Es muß grundsätzlich drei verschiedene Gruppen von Aspektiv- systemen geben, unabhängig davon, wie der Systemgenerator o C hinsichtlich seiner Dimensio¬ nalität oder das Aspektivsystem hinsichtlich seiner Metropie beschaffen ist. Jeder Primäraspekt wird durch Dialektik, Korrespondenz und Prädikatrix vollständig bestimmt, so daß es für o C die Möglichkeiten von zwei verschiedenen Wirkungsweisen gibt, welche entweder partielle oder totale Aspektivsysteme entstehen lassen. Im Fall der einfachen partiellen Systeme wirkt o C nur auf ein Bestimmungsstück des G ein, was für diese einfach partiellen Systeme E 1 = 3 Möglichkeiten, nämlich dialektische, koordinative und prädikative Aspektivsysteme offen läßt. Auch für die zweifach partiellen Systeme, welche durch simultane Einwirkung des Systemgenerators auf zwei Bestimmungsstücke des Primäraspekts entstehen, gibt es ( 2 ) = 3 Möglichkeiten, nämlich dialektisch-koordinative, dialektisch-prädikative und koordinativ-prädikative Aspektivsysteme. Die Totalsysteme sind dagegen eindeutig, denn wenn 0 C simultan auf alle drei Bestimmungsstücke eines S einwirkt, gibt es wegen L =1 nur eine Möglichkeit der Kombination. In den beiden Seite 13 partiellen Fällen muß o C immer so beschaffen sein, daß die Aussagendeutigkeit n der subjek¬ tiven Aspekte nicht geändert wird, denn andernfalls müssten subjektive Aspekte entstehen, deren Bestimmungsstücke zueinander innerhalb eines Aspekts verschiedene Wertigkeiten erhalten, ein solches Aussagensystem kann aber nicht mehr als subjektiver Aspekt und somit als Element eines Aspektivsystems bezeichnet werden, weil einzelne Diatropen, Korrespondenz- oder Prädikatbänder als Restbänder nicht mehr korrelieren. Im Fall der totalen Aspektivsysteme ist dagegen eine solche Änderung der Aussagendeutigkeit durch den Systemgenerator möglich, denn bei der totalen Einwirkung des Generators kann es nicht zur Bildung unkorrelierbarer Restbänder ko mm en. Allerdings besteht die Möglichkeit, daß Apektivsysteme entstehen, in denen Gruppen von subjektiven Aspekten enthalten sind, welche sich in ihrer jeweiligen Aussagendeutigkeit unterscheiden. Totale Aspektivsysteme mit dieser Eigenschaft sind singulär im Gegensatz zu den regulären Systemen, deren Elemente (also die aus dem Primäraspekt resultierenden subjektiven Aspekte) sich nicht in ihrer Aussagendeutigkeit unterscheiden. Neben den totalen Aspektivsys- temen, die durch die simultane Einwirkung des Systemgenerators auf alle drei Bestimmungsstücke des S entstehen, muß es noch partielle Aspektivsysteme geben. Wirkt o C auf nur zwei Bestim¬ mungsstücke des S ein, so gibt es drei Möglichkeiten, nämlich prädikative, koordinative und dialektische partielle Aspektivsysteme. Auch wenn o C nur auf ein Bestimmungsstück des S einwirkt, ergeben sich drei Möglichkeiten. Diese partiellen Aspektivsysteme, welche als einfach oder zweifach partiell aus o C hervorgehen, sind offensichtlich untereinander verwandt und bilden dann Komplexe einfach oder zweifach partieller Aspektivsysteme, die sogenannten Aspektivkomplexe. Diese Aspektivkomplexe und totalen Aspektivsysteme sind demnach in sich selbst geschlossene Aussagensysteme aus einer endlichen oder unbegrenzten Zahl subjektiver Aspekte. Auch muß es eine unbegrenzte Zahl solcher Aspektivkomplexe (totale Aspektivsysteme sind Sonderfälle solcher Komplexe) geben, denn jeder denkbare subjektive Aspekt kann zur Erzeugung von Aspektivkomplexen verwendet werden, deren Zahl von der in dem betreffenden S definierbaren Zahl von Systemgeneratoren abhängt, die im allgemeinen als sehr groß, oder aber auch als unbegrenzt zu veranschlagen ist. Das anthropomorphe System ist offenbar ein Aspektiv- system aus einem nicht übersehbaren Aspektivkomplex. Von diesen Komplexen muß es wiederum eine unbegrenzte Zahl möglicher Formen geben. Schließlich können noch alle diejenigen Aspektiv¬ komplexe zu einer Aspektivgruppe zusammengefaßt werden, deren Systemgeneratoren aus ein und demselben subjektiven Aspekt hervorgehen. Es ergibt sich also die folgende metropische Hierarchie der Aussagensysteme: In einem subjektiven Aspekt aus Prädikatrix, Koordination und Dialektik sind in den Ausdrucksmöglichkeiten des Aspektes Systemgeneratoren definiert, welche die Bestimmungsstücke des S umformen, und aus dem S eine Folge von subjektiven Aspekten Seite 14 entstehen lassen. Jeder Systemgenerator erzeugt auf diese Weise einen Aspektivkomplex, und die Gesamtheit aller in S ausdrückbaren Systemgeneratoren erzeugt eine übergeordnete Gesamtheit von Aspektivkomplexen, nämlich die Aspektivgruppe, für deren Bildung es wieder eine unbe¬ grenzte Zahl von Möglichkeiten gibt. 1.3. Kategorien Die vorangegangenen Untersuchungen sind Untersuchungen der logischen Aussagemöglichkeiten. Wie die Systeme solcher Aussagemöglichkeiten auch i mm er beschaffen sein mögen, müssen sie sich, wenn sie überhaupt einen Sinn haben sollen, auf begriffliche Elemente beziehen, über deren Eigenschaften und wechselseitigen Zusammenhänge die betreffenden Aussagen zu machen sind. Nach diesen vorangegangenen Untersuchungen der Aussagemöglichkeiten, die zur Definition der Aspektivkomplexe und der allgemeinen übergeordneten Aspektivgruppen führte, erscheint es angebracht, die Begriffselemente, auf welche die Aussagenanalysis angewendet werden soll, zu analysieren und in der allgemeingültigsten Form zu charakterisieren. Gegeben sei ein System aus l 1 als Begriffs¬ kategorie aufgefaßt werden, deren Idee k = 1 ist. Das ganze nach einem Syllogismus geordnete System aus Begriffselementen, die wiederum nach dem syllogistischen Ordnungsgesetz zu Begriffssyndromen zusammengefaßt sind, besteht demnach aus einer Idee und einer syllogistisch orientierten Begriffskategorie. Wenn dieses System aber vollständig ist, so bilden Idee, Begriffs¬ kategorie und Syllogismus eine Einheit, welche als allgemeine Kategorie bezeichnet werden soll. Das Vollständigkeitskriterium einer Kategorie wird offensichtlich durch die Idee und die syllogistische Schlußweise bedingt; denn diese beiden Bestimmungsstücke machen die Über¬ prüfung der Begriffskategorie auf Vollständigkeit und Fremdelemente möglich, die nicht zu der betreffenden Begriffskategorie gehören. Die notwendige und hinreichende Existenzbedingung einer Kategorie ist demnach die Existenz einer Idee und einer syllogistischen Schlußweise; denn aufgrund dieser Schlußweise können die vollständigen Syndrome der Kategorie aus der Idee induziert werden. Die in den Aspektgruppen zusammengefassten, in sich selbst geschlossenen Aussagesysteme der Aspektivkomplexe, werden im allgemeinen die Aussagen irgendeines subjektiven Aspektes (also das durch ein Adjektiv dialektisch aus einer Diatrope geprägte Prädikat eines Prädikatbandes) auf solche Kategorien und deren Zusammenhänge beziehen. Aus diesem Grunde erscheint es im Hinblick auf einen syntrometrischen Formalismus notwendig, diesen Begriff der Kategorie und der über sie möglichen Aussagen konkreter zu formulieren. 1.4. Die apodiktischen Elemente Zur Weiterführung der Untersuchung wird zunächst eine Analyse des Systems anthropomorpher Aussagemöglichkeiten und Schlußweisen nötig. Offenbar bilden alle die anthropomorphen logischen Elemente partielle Komplexe in erster und zweiter Ordnung, während die möglichen Prädikatbildungen i mm er zweideutig sind. Als Systemgenerator kommt nur ein o C in Betracht, welcher einfach partiell, dialektisch oder koordinativ einwirkt, oder zweifach partiell dialektisch koordinativ, während die zweideutige Prädikatrix in jedem Fall ungeändert bleibt. Prädikatbänder existieren nicht, in ihr sind nur zwei kontradiktorische Elemente (Bejahung und Verneinung) enthalten. Demzufolge sind auch die Diatropen- und Koordinationsbänder zu diskreten Einzel¬ elementen entartet. Der Wirkungsweise des Systemgenerators entsprechend, müssen alle Möglich- Seite 16 keiten anthropomorpher Logik in einem zweideutig prädikativen Aspektivkomplex enthalten sein, der seinerseits aus den drei ebenfalls zweideutigen prädikativen Aspektivsystemen (der Wirkungs¬ weise des Systemgenerators entsprechenden dialektisch, koordinativ und dialektisch-koordinativ) zusammengesetzt sein. Wird, bezogen auf irgendein Aspektivsystem dieses Komplexes, ein Bereich analysiert, so zerfällt die Analyse in diesem zweideutig prädikativen Aspektivkomplex, bezogen auf einen geeigneten subjektiven Aspekt des betreffenden Aspektivsystems, in folgende Schritte: a) Abgrenzung des fraglichen Bereichs begrifflicher oder empirischer Elemente. b) Qualitative Analyse dieser Elemente, nach deren Ergebnis der geeignete subjektive Aspekt ausgewählt und damit das Aspektivsystem festgelegt wird. c) Quantitative Analyse und Synthesis der Elemente, bezogen auf den festgelegten subjektiven Aspekt. d) Von der Analyse und Synthese einer ästhetischen Empirik wird der Übergang zu einer Transzendentalästhetik vollzogen. e) Es werden indirekte transzendentale Schlußweisen nach Durchführung der Abstraktion d angewendet, deren Konsequenzen Rückschlüsse auf die transzendentalen Zusammenhänge der Elemente des ganzen Bereichs zulassen. Offenbar kann eine solche transzendentale Analyse in jedem Aspektivsystem und auch in jedem Aspektivkomplex, also unabhängig von den jeweiligen Metropiefeldem, der subjektiven Aspekte durchgeführt werden, wobei sich allerdings die Form der Methodik nach der Eigenart des je¬ weiligen Aspektivkomplexes oder der übergeordneten Aspektivgruppe richten muß. Diese Möglichkeit einer deskriptiven Methodik muß ein Charakteristikum aller Aspektivsysteme sein, denn wie ein solches System oder eine übergeordnete Aspektivgruppe auch immer beschaffen sein mag, auf Grund des Charakters der Aussagefähigkeit der sie strukturierenden subjektiven Aspekte muß prinzipiell eine prädikative Methodik der Deskription möglich sein. Wenn dies aber so ist, dann muß die Existenz der transzendentalen Methodik für jede Aspektivgruppe gelten, so daß hier der Ansatz zur Abstraktion von der anthropomorphen Transzendentalästhetik liegt. Unabhängig von dieser Universalität muß festgestellt werden, daß die jeweilige prädikative Methodik der Deskrip¬ tion stets auf die Charakterisierung von Eigenschaften der Elemente und ihrer Wechselbeziehung abgegrenzter Bereiche hinausläuft. Da die Charakterisierung von Eigenschaften aber stets mit einem Beimessen von Bedeutungen verbunden ist, muß die Methodik stets semantischer Natur sein. Ein apodiktisches Charakteristikum einer jeden Aspektivgruppe, welches die Abstraktion von der anthropomorphen Transzendentalästhetik ermöglicht, ist mithin die Existenz einer dem jeweiligen Seite 17 Aspektivsystem adäquaten semantischen Methodik. Im Allgemeinen liegt eine unbegrenzte Zahl von Eigenschaften eines Bereichs vor, wenn der Bereich selbst unbegrenzt ist, doch bedeutet die Abgrenzung des Bereichs eine obere Schranke für die Zahl seiner Eigenschaften. Ist das passende Aspektivsystem zu Grunde gelegt, und die Semantik entwickelt, so zeigt sich, daß die semantische Bewertung der Eigenschaften vom jeweiligen subjektiven Aspekt abhängt, das heißt, wenn die semantische Methodik in allen subjektiven Aspekten angewendet wird, also wenn man im Metropiefeld der subjektiven Aspekte fortschreitet, kommt es zu einer allgemeinen Varianz semantischer Bewertungen, doch wird eine endliche Zahl von Eigenschaften des Bereichs mit invarianter Semantik im ganzen Metropiefeld des Aspektivsystems nach dem Durchlaufen des Metropiefeld erscheinen. Offenbar sind diese Eigenschaften begriffliche Elemente des Bereichs, deren Semantik in keinem Punkt des Metropiefeldes geändert wird, derart, daß ihre Bedeutungen vom jeweiligen subjektiven Aspekt unabhängig bleiben. Diese Elemente eines Bereichs können also in Bezug auf das betreffende System als apodiktische Elemente bezeichnet werden, und zwar können sie einfach, komplex oder total apodiktisch sein, je nachdem, ob sich ihre Apodiktik auf ein Aspektivsystem, einen Aspektivkomplex oder eine Aspektivgruppe bezieht. Da alle Eigenschaften varianter Semantik des Bereichs aus den apodiktischen Elementen durch geeignete Korrelationen hervorgehen müssen, könnte das System apodiktischer Elemente als Idee einer Kategorie, und der Bereich selbst als vollständige oder unvollständige Kategorie aufgefaßt werden, derart, daß relativ zum Aspektivsystem als Idee des Bereichs das System apodiktischer Elemente anzusprechen ist. Zwar ist die Idee hinsichtlich ihrer Semantik im Metropiefeld invariant, doch kann dies unmöglich für die Korrelationsmöglichkeiten der apodiktischen Elemente gelten; denn diese Möglichkeiten können nur von der Struktur des jeweiligen subjektiven Aspektes bestimmt werden. In jedem subjektiven Aspekt gibt es also eine endliche oder unendliche Schar von möglichen Korrelationen, und jede Korrelation induziert aus der Idee invarianter Semantik wiederum eine endliche oder unendliche Schar von Eigenschafts Syndromen im Sinne einer Kategorie, deren Besetzungen aber wegen der Varianten Semantik jeder Korrelation ebenfalls vom subjektiven Aspekt abhängen, derart, daß der Varianzgrad ihrer Semantik mit steigendem Episyllogismus, also wachsender Syndromanzahl, zuni mm t. Die endliche Zahl apodiktischer Elemente liefert demnach in jedem subjektiven Aspekt des Metropiefeldes eine endliche oder unendliche Schar von Kategorien mit begrenzter oder unbegrenzter Syndromfolge, die in ihrer Gesamtheit alle Eigenschaften des Bereichs von allen subjektiven Aspekten her umfassen. Ist in dem begrifflichen Bereich, bezogen auf ein ausgewähltes System, überhaupt kein apodiktisches Element festzustellen, so muß ein anderes Aspektivsystem gewählt werden, oder aber der Bereich ist in anderer Form abzugrenzen. Die heuristische Methodik zur Auffindung apodiktischer Elemente, bezogen auf einzelne subjektive Seite 18 Aspekte, geht im Prinzip auf die Begrenzung des Prosyllogismus einer Kategorie durch die Idee zurück. Empirisch werden dabei alle diejenigen Eigenschaften des Bereichs, bezogen auf einen festgelegten subjektiven Aspekt, ausgewählt, die relativ zu diesem Aspekt durch Korrelationen auseinander hervorgehen. Jede empirische aufgefundene Korrelation liefert dann empirisch eine Gruppe von Eigenschaften als unvollständige Kategorie, die nach dem Grad ihrer Bedingtheiten im Sinne eines Prosyllogismus anzuordnen sind. Zu jeder Gruppe gehört dann ein empirischer Prosyllogismus, und alle diese Prosyllogismen müssen dann in einer Gruppe apodiktischer Elemente münden, die jedoch nicht vollständig zu sein braucht. Eine entsprechende Empirik kann auch in anderen subjektiven Aspekten des Metropiefeldes verwendet werden, so daß ein Vergleich der apodiktischen Elemente verschiedener Aspekte zur Vervollständigung der Idee des Bereichs führen muß. Daraus folgt, daß die Vollständigkeit der Idee umso größer ist, je mehr Aspekte empirisch verwendet werden. Ein Vollständigkeitskriterium einer Idee kann es nicht geben, weil die Begrenzung des Bereichs vorerst willkürlich und damit provisorisch bleiben muß, weil die Zahl der Aspekte einer Metropiefeldes, und auch die Zahl der begrifflichen Elemente, sowie die Eigen¬ schaften eines Bereichs unbegrenzt und damit unfaßbar sein kann. Hat die empirische Ästhetik der unvollständigen Prosyllogismen zu einer hinreichenden Zahl apodiktischer Elemente geführt, was einer Induktion gleichkommt, so kann der Übergang zur Transzendentalästhetik erfolgen. Die empirisch gewonnenen apodiktischen Elemente werden zur Idee eines Bereichs zusammengefaßt, dessen Begrenzung jetzt nicht mehr provisorisch und willkürlich ist, denn die möglichen Kate¬ gorien dieser Idee in den einzelnen subjektiven Aspekten des Metropiefeldes, müssen sämtliche Eigenschaften desjenigen Bereichs darstellen, dessen Idee, bezogen auf das zu Grunde gelegte Aspektivsystem, aus den vorhandenen apodiktischen Elementen besteht. Liegt eine komplexe oder totale Apodiktik vor, so bezeichnen sich die Aussagen über den Bereich auf entsprechende Aspektivkomplexe, oder Aspektivgruppen. Der Übergang zur Transzendentalästhetik und die damit verbundene Entwicklung aller Eigenschaften eines vollständigen begrifflichen Bereichs in den einzelnen subjektiven Aspekten aus seinen apodiktischen Elementen heraus, würde einem Deduktionsschluß entsprechen. Gegenüber dem provisorischen begrifflichen Bereich hat der transzendental entstandene Bereich eine Transformation erfahren, die den ursprünglichen provi¬ sorischen Bereich dort erweitert, wo die willkürliche Begrenzung nicht apodiktische Elemente ausgrenzte, aber dort einschränkt, wo es sich um Eigenschaften handelt, die auf empirische nicht erfasste apodiktische Elemente zurückgehen. Auf jeden Fall ist eine konkrete Analyse aller Eigen¬ schaften des transzendental begrenzten Bereichs möglich, weil er vollständig sein muß, wenn eine Analysis der Kategorien möglich wird. Seite 19 1.5. Aspektrelativität. Funktor und Quantor Sind a und b zwei apodiktische Elemente in Bezug auf ein Aspektivsystem A (was auch ein Komplex oder eine Gruppe sein kann, nämlich dann, wenn a und b komplex oder total apodik¬ tisch sind), so können diese durch die Aussage Y eines zu A gehörenden subjektiven Aspektes S miteinander verknüpft sein. Wird als verallgemeinertes Aussagesymbol 11 verwendet, so bedeutet |AS| y, daß es sich um eine Aussage aus S in A handelt, und zwar um das Prädikat Y aus S, welches seiner Koordination entsprechend durch ein dialektisches Adjektiv geformt wurde, a, |AS|,,b kennzeichnet also die Wechselbeziehung, die durch diese Aussage a und b in die Relation setzt. 11 y ist demnach das a und b bezogen auf S in A verknüpfende Prädikat. Diese Verknüpfung braucht nicht nur apodiktische Elemente in Zusammenhang bringen. Sind es z.B. a, mit 1 < i < p und b k mit 1 < k < q zwei Komplexe apodiktischer Elemente in A und stehen bezogen auf S diese beiden apodiktischen Gruppen in den nicht apodiktischen Zusammenhängen F(a i )f und ®(b k ), , so können über S auch F und ® durch das all¬ gemeine Prädikat F, |AS|y,® oder kürzer F, ||y,® (wenn A und S festliegen) verknüpft werden. Zwar sind die beiden begrifflichen Zusammenhänge F und ® , die als Begriffsfünk- tionen durch den Funktor F bzw. ® die apodiktischen Elemente a, bzw. b k in einen begrifflichen Zusammenhang setzen, einzeln nicht apodiktisch, doch besteht die Möglichkeit, daß es zu F und ® sowohl als auch zu ||y in allen anderen subjektiven Aspekten aus A Äqui¬ valente gibt derart, daß die Verknüpfung F, 1| y,® in A selber apodiktisch erscheint. Derartige apodiktische Verknüpfungen nicht apodiktischer Begriffsfunktionen sind aber von der speziellen Wahl des A (hinsichtlich ihrer Existenz) unabhängig, und müssen daher in allen Aspektivsys- temen möglich sein. Zur Unterscheidung zwischen den einfachen, nur über einem speziellen S gegebenen Funktorzusammenhängen ( ), 11 y,( ) und den im ganzen A apodiktischen Funktor¬ zusammenhängen, werden diese apodiktischen Verknüpfungen als Quantoren, symbolisiert durch (), | |y,( ) bezeichnet, denn ein solcher Quantor beschreibt seine Aussage zwischen nicht apodik¬ tischen Funktoren, also begrifflichen Elementen des Bereichs, die in allen subjektiven Aspekten gilt, und daher bezogen auf A eine allgemeine quantitative Eigenschaft des Begriffs darstellt. Ein solcher, nur in einem Aspektivsystem A gültiger Quantor ist demnach ein Monoquantor, zu dessen vollständiger Beschreibung noch die Angabe von A , also (), | A|y,( ) notwendig ist, während sich die Angabe von S erübrigt, weil dieser Quantor in allen S gilt. Bilden zwei Funktoren einen solchen Monoquantor, so werden durch die Funktoren offensichtlich zwar nicht apodiktische, aber wesentliche Charakterzüge des begrifflichen Bereichs erfaßt, die durchaus Seite 20 Wahrheiten dieses Bereichs sein können. Diese Darstellung des Quantors macht eine Erweiterung zum Polyquantor möglich. Ist B ein anderes Aspektivsystem, das aus A durch eine metrische Deformation des Metropiefeldes hervorgegangen ist, so sind im allgemeinen die A; und bk in B nicht mehr apodiktisch, doch sind sie auf jeden Fall, wenn es sich um die Beschreibung des glei¬ chen begrifflichen Bereichs handelt, als Funktoren apodiktischer Elemente des Bereichs bezogen auf B darstellbar, und auch die beiden Funktoren F und erfahren eine der Metropiefeld- deformation entsprechende Umdeutung auf B . Sind die neuen Funktoren in B bezeichnet durch F' und O' , dann gibt es zwischen ihnen auch in B , bezogen auf S' , nicht apodiktische Funktorzusammenhänge der Form F, |BS'|y,0' , während der Zusammenhang in A ein Mono¬ quantor war. Erweist sich die Verknüpfung aber auch in B als Quantor, so wird diese zweifache k Quantomatur, wenn B = A 2 gesetzt wird, beschrieben durch () k , |A k | ,() k was soviel bedeutet, daß die beiden Funktoren sowohl in Ai als auch in A 2 im Quantorzusammenhang stehen, was diesen Quantor zum Biquantor werden läßt. Eine solche Biquantoraussage über den Bereich hat auf jeden Fall einen höheren Wahrheitsgehalt als der Monoquantor. Diese Schlußweise kann weiterge¬ führt werden. Im allgemeinsten Fall schließlich würde sich die Verknüpfung von zwei Funktoren in einem Komplex aus 1 — P — r Aspektivsystemen A p als apodiktisch erweisen, und dann p würde () p , | A p | ,() p ein allgemeiner Polyquantor vom Wahrheitsgrad r sein. Ist ein Glied p des Polyquantors so beschaffen, daß die in Korrelation stehenden Funktoren direkt apodiktische Elemente in Relation setzen, d.h., sind die Funktorargumente selbst apodiktisch, so ist dieses Quantorglied absolut apodiktisch, anderenfalls, also bei nicht apodiktischen Funktorargumenten, semiapodiktisch, weil die Verknüpfung selbst noch apodiktisch ist. Diese Definition semiapodik¬ tischer Quantorglieder gilt auch dann, wenn nur ein Funktorargument nicht apodiktisch ist (semiapodiktisch im ersten Grad; aber im zweiten Grad, wenn beide Funktorargumente nicht apodiktisch sind). Aus diesem Sachverhalt ergibt sich unmittelbar der Satz, daß in jedem Polyquantor mindestens ein Glied absolut apodiktisch ist. Zusammenfassend gilt also für die Verknüpfung apodiktischer Elemente, sowie der Funktoren apodiktischer Argumente durch die Aussage Y des subjektiven Aspekts S (nach (1)) im Aspektivsystem A die Darstellung: a,|AS| v bvF( ai )f,|AS| v ,®(b k )? (2) während für den allgemeinen Polyquantor Seite 21 ( 3 ) P OJaJ'.Op gilt. Die Tatsache, daß in einem Polyquantor absolut apodiktische und semiapodiktische Glieder im ersten und zweiten Grad auftreten, zeigt, daß die apodiktischen Eigenschaften eines Quantors (jedes Glied eines Polyquantors kann als einfacher Quantor aufgefaßt werden) relativ sind, und vom jeweiligen Aspektivsystem abhängen; denn absolute und semiapodiktische Quantoreigenschaften sind nur im Komplex des Polyquantors möglich, während die Quantoreigenschaften verloren gehen, wenn die Funktorrelation auf ein außerhalb dieses Komplexes liegendes Aspektivsystem bezogen wird. Auch innerhalb des Polyquantorkomplexes existiert eine solche Aspektrelativität zwischen den absoluten und semiapodiktischen Quantoreigenschaften. Die Existenz der Aspektrelativität quantorhafter Funktorverknüpfungen gestattet es also in Bezug auf einen vorgegebenen Komplex unabhängiger Aspektivsysteme (diese brauchen keine Aspektivkomplexe oder -gruppen zu bilden) die Quantoren eines begrifflichen Bereichs aufzufinden, oder aber zu einem Monoquantor ein System von Metropiefeldem so zu konstruieren, daß ein Komplex von Wahrheitssystemen entsteht, auf den der Monoquantor bezogen zum Polyquantor wird, dessen Wahrheitsgehalt mit der Zahl der Aspektivsysteme identisch wird. Dieser Wahrheitsgrad wird offensichtlich umso größer, je mehr Metropiefelder zu diesem Komplex konstruiert werden können. Diese Konstruktion eines Poly¬ quantors ist deshalb möglich, weil die absoluten oder semiapodiktischen Quantoreigenschaften innerhalb eines solchen Komplexes zwar noch vom speziellen Aspektivsystem abhängen, aber die Existenz des Quantors an sich innerhalb des konstruierten Komplexes hinsichtlich der Aspektiv¬ systeme invariant bleibt. Schließlich besteht noch eine weitere Möglichkeit zur Verallgemeinerung des Quantorbegriffs. Zeigt sich nämlich bei der Konstruktion des Polyquantors aus dem Mono¬ quantor im Aspektivsystem A , daß es einen Modulator f des zu A gehörenden Metropie- feldes o C gibt, derart, daß gemäß f; of = ß aus dem einen Metropiefeld o C durch eine konti¬ nuierliche metrische Deformation auf Grund des Modulators f eine mehrfach unendliche Schar neuer Metropiefelder ß hervorgeht, und wenn die Funktorverknüpfung als Quantor bezogen auf A , auch bezogen auf das ganze Kontinuum von Aspektivsystemen B der Metropiefelder ß f ebenfalls Quantoreigenschaften hat, so liegt ein kontinuierlicher Quantor (), |A| , () vor. Der diskrete Polyquantor aus der Beziehung (3) ist demnach ein spezieller Sonderfall des kontinuier¬ lichen Quantors, und dieser Quantor wiederum ist der Sonderfall eines noch allgemeineren Quantors, nämlich des kontinuierlichen Polyquantors vom Grade r , der aus 1 — P — r konti¬ nuierlichen Quantorgliedem besteht. Ein solcher kontinuierlicher Polyquantor existiert also immer Seite 22 dann, wenn es r Aspektivsysteme A p mit den Metropiefeldem oC p und ebensoviel Metro- piemodulatoren f p gibt, derart, daß die Folgen ß p = f p ; of p und damit die unendlichen Folgen B p aus den A p entstehen, und die Funktorverknüpfungen in Bezug auf diese r unendlichen Folgen B p Quantoreigenschaften hat. ( )p5 |A P | ,() p v ß p — f p , ofp v of p — Ap v ß p — Bp ( 4 ) dürfte die universelle Form des Quantorbegriffes sein; denn für r = 1 folgt aus ihm der konti¬ nuierliche Monoquantor (oder kurz kontinuierlicher Quantor), aber für r > 1 , wenn f nicht existiert, der diskrete Polyquantor aus den für r = 1 der Monoquantor entsteht. Die Begründung einer allgemeinen Syntrometrie kann nach den vorangegangenen Untersuchungen des Funktor- und Quantorbegriffes, sowie der Aspektrelativität, nur auf die Entwicklung einer transzendentalen Methode zurückgehen, die es gestattet, möglichst allgemeingültige Funktoren oder Funktorsysteme des Bereiches aufzufinden, die Polyquantoren mit möglichst hohem Grad bilden, oder aber Universalquantoren sind, die grundsätzlich in allen Aspektivsystemen Quantoreigen¬ schaften haben, wobei noch zu untersuchen wäre, ob ein solcher Universalquantor überhaupt existieren kann. Seite 23 2. Die syntrometrischen Elemente 2.1. Notwendige und hinreichende Existenzbedingungen des Universalquantors. Nach den vorangegangenen Untersuchungen existiert immer dann, bezogen auf ein spezielles Aspektivsystem A ein begrifflicher Bereich, wenn bezogen auf einzelne Aspekte S eine ästhetisch-empirische Prosyllogistik begriffliche Elemente des Bereiches zu apodiktischen Elementen hinsichtlich A führt, wodurch eine transzendentale Begrenzung des Bereiches im Sinne von Episyllogismen möglich wird. Offensichtlich sind die nicht apodiktischen Elemente dieser Episyllogismen Funktoren der apodiktischen Elemente, die irgendwelche, infolge der Aspektrelativität resultierenden Relativität, subjektive Aspekte, vom speziellen S abhängige nicht apodiktische Eigenschaften des Bereiches darstellen. Durch irgendeine Aussage des S können solche Funktoren in eine Funktorbeziehung treten, die ihrerseits apodiktisch sein kann und so zum Quantor wird; denn die beiden Funktoren kennzeichnen zwar zwei vom subjektiven Aspekt abhängige Eigenschaften, die aber mit anderer Semantik auch in den übrigen S des A auftreten und durchaus in allen S durch jeweils mindestens eine Aussage verknüpft sind, was aber trotz der variablen Semantik der Funktoren eine solche Funktorverknüpfüng als Quantor definiert. Ist die Prädikatverknüpfüng der Funktoren nur über einem A apodiktisch, so liegt ein Mono-, andern¬ falls ein Polyquantor vor, dessen allgemeinste Fassung durch die Darstellung 4 gegeben ist, womit der Quantorgrad als Invarianzstufe der Prädikatverknüpfüng dem Wahrheitsgrad der betreffenden Aussage über die Funktoren äquivalent ist. Auf jeden Fall wird der Wahrheitsgrad eines Quantors wesentlich durch die Struktur der in die prädikative Verknüpfung gebrachten Funktoren bestimmt. Denn jeder Funktor bezeichnet mindestens eine nicht apodiktische Eigenschaft des begrifflichen Bereiches. Zur Begründung einer allgemeinen Syntrometrie wäre zu untersuchen, welchen Bedingungen ein Funktor oder ein Funktorsystem genügen muß, um in Prädikatverknüpfungen Quantoren maximalen oder sogar absoluten Wahrheitsgrades zu bilden. Ist ein begrifflicher Bereich bezogen auf ein Aspektivsystem Ai richtig abgegrenzt (nach der semantischen Methodik der Prosyllogismen), so wird dieser Bereich durch ein System apodik¬ tischer Elemente hinsichtlich Ai charakterisiert, während die übrigen nicht apodiktischen Eigenschaften des Bereiches in jedem subjektiven Aspekt als eine Schar episyllogistischer Funktoren dieser apodiktischen Elemente erscheint, d.h. ein jeder Syllogismus der Schar muß die Eigenschaften einer durch den betreffenden Funktor gekennzeichneten Kategorie haben, derart, daß alle über Ai möglichen Kategorien des Bereiches eine gemeinsame Idee haben, nämlich das System apodiktischer Elemente, welches somit als Idee des Bereiches über Ai interpretierbar Seite 24 wird. Wird dagegen der Bereich auf ein anderes Aspektivsystem A 2 bezogen, so muß sich der Charakter seiner Idee verändern, denn die in Ai apodiktischen Elemente brauchen nicht not¬ wendig auch in A 2 apodiktisch zu sein. Andererseits sind aber die in Ai apodiktischen Elemente manifeste Eigenschaften des Bereiches, die nach dem Übergang in A 2 zumindest teilweise erhalten bleiben und sofern sie nicht apodiktisch sind, doch Funktoren neuer, jetzt in A 2 apodiktischer Elemente des Bereiches sein müssen. Wenn sich auch bei diesem Übergang die Idee des Bereiches ändert, so muß doch die Tatsache erhalten bleiben, daß der Bereich durch ein System faktischer Eigenschaften erfüllt wird, denn anderenfalls würde überhaupt kein System begrifflicher Elemente vorliegen. In entsprechender Weise kann ein Übergang in beliebige andere Aspektiv- systeme A n mit 1 < k < n < co durchgeführt werden. Die Schlußweise der vollständigen Induktion macht den Übergang n —» co möglich, und dies wiederum bedeutet, daß der Bereich in allen seinen Eigenschaften in jedem Aspektivsystem als Vielfachschar von Funktorsyllogismen erscheinen muß, und daß es weiter i.B. auf ein jedes Aspektivsystem eine Idee des Bereiches geben muß. Gibt es zwei Bereiche, die voneinander unabhängig sind, so kann es immer Prädikatverknüpf¬ ungen von Funktoren beider Bereiche bezogen auf einen speziellen subjektiven Aspekt geben, die selbst apodiktisch und damit Quantoren sind, doch können solche Quantoren nach der Darstellung (4) immer nur begrenzt sein, denn es kann kein Kriterium dafür geben, daß eine solche prädikative Funktorverknüpfüng als Universalquantor erscheint, der in jedem Aspektivsystem apodiktisch bleibt, weil durchaus die Möglichkeit besteht, daß ein an sich nicht-apodiktischer Funktor eine Eigenschaft des Bereiches beschreibt, die nur als Folge des speziellen Aspektivsystems auftritt, also semantisch durch dieses System bedingt wird, und in Bezug auf ein anderes System nicht mehr existiert. Völlig anders liegen dagegen die Verhältnisse, wenn nicht nur ein Funktor gewählt wird, dessen Semantik sich ohnehin schon mit dem subjektiven Aspekt ändert, sondern wenn sich die Prädikatverknüpfung auf ein ganzes Funktorsystem bezieht, dessen Existenz in allen Apektivsys- temen erhalten bleibt. Ein Funktorsystem, welches offensichtlich alle diese Eigenschaften erfüllt, ist eine Kategorie, denn eine solche Kategorie ist in Bezug auf das spezielle Aspektivsystem durch eine apodiktische Idee, und eine syllogistische Schar von Begriffsfunktionen, also Funktoren der apodiktischen Elemente, dieser Idee im Sinne eines Episyllogismus definiert. Eine solche Kategorie kennzeichnet in Bezug auf einen subjektiven Aspekt ein spezielles, durch den Funktor gegebenes System von Eigenschaften des Bereiches, dessen Idee die apodiktischen Elemente der Kategorie bilden. Diese Kategorie kann durch irgendein Prädikat des subjektiven Aspektes hinsichtlich des gleichen subjektiven Aspektes mit einer anderen Kategorie verknüpft sein, derart, daß beide Kategorien die gleiche Idee haben (homomorph) oder aber den in der Prädikatverknüpfüng stehenden Kategorien liegen verschiedene Ideen zugrunde (heteromorph). Diese homo- oder Seite 25 heteromorphe Prädikatverknüpfung von Kategorien ist aber nichts anderes als eine Verknüpfung von Funktorsystemen, der mindestens die Bedeutung eines homo- oder heteromorphen Mono¬ quantors zukommt, weil die Ideen der Kategorie apodiktisch sind. Wird ein solcher Zusammenhang in irgendein anderes Aspektivsystem übertragen, so können sich zwar die Funktoren der katego¬ rischen Episyllogismen so verändern, daß keine quantorhaften Zusammenhänge bestehen, doch müssen mindestens die im ursprünglichen Aspektivsystem apodiktischen Ideen im Zusammenhang bleiben, wenn sie auch im neuen Aspektivsystem nicht mehr apodiktisch zu sein brauchen, denn Eigenschaften eines Bereiches, die in irgendeinem Aspektivsystem apodiktisch sind, müssen offensichtlich als manifeste, begriffliche reale Eigenschaften angesehen werden. Im Mindestfall würden also im neuen Aspektivsystem nur noch die, bezogen auf das vorige System, apodiktischen Ideen im Zusammenhang stehen, doch müssen diese Eigenschaften, wenn sie im neuen System nicht mehr apodiktisch sind, Funktoren apodiktischer Elemente (bezogen auf das neue Aspektiv¬ system) sein, was wiederum eine Prosyllogistik, und damit die Evolution neuer Kategorien ermöglicht, deren Prädikatverknüpfung auch im neuen Aspektivsystem Quantorcharakter hat. Dieses Verfahren kann schrittweise auf n < oo Aspektivsysteme erstreckt werden, so daß nach der Schlußweise der vollständigen Induktion auf n + 1 , also auch auf n + p mit p > 1 geschlos¬ sen werden kann, was nach dieser Schlußweise auch den Übergang p —> oo möglich macht, wodurch der Nachweis geführt wurde, daß die Prädikatverknüpfung von Kategorien in allen Aspektivsystemen Quantorcharakter hat, sofern die Kategorien verwandt, also ihre nicht-apodik¬ tischen Episyllogismen über jeweils dem gleichen subjektiven Aspekt darstellbar sind. Wenn aber eine Prädikatverknüpfung von Funktorsystemen in allen Aspektivsystemen Quantorcharakter hat, so genügt ein solches Funktorsystem der Definition eines Universalquantors. Wegen des apodiktischen Charakters der Idee einer Kategorie, und der Interpretation apodiktischer Elemente als manifeste, begrifflich reale Eigenschaften eines Bereiches, kann es nur eine Gruppe von Funktorsystemen geben, deren Prädikatverknüpfungen Universalquantoren sind, nämlich der Kategorien, derart, daß die Existenzbedingung eines Universalquantors die Prädikatverknüpfung von Kategorien zu sein, sowohl notwendig, als auch hinreichend ist. Universalquantoren existieren demnach i mm er dann, wenn Verknüpfungen von Kategorien möglich sind, d.h., die Fundierung einer Syntrometrie wird dann möglich, wenn es gelingt, den Begriff der Kategorie formal so zu präzisieren, daß eine konkret umrissene begriffliche Größe, eine sogenannte Syntrix, entsteht, die zum einen den begrifflichen Inhalt der Kategorie wiedergibt und zum anderen formal mit ihresgleichen durch Prädikatverknüpfungen in Relationen gesetzt werden kann, welche der notwendigen und hinreichenden Existenzbedingung von Universalquantoren genügen. Seite 26 2.2. Definitionen der Syntrix Immer ist die Idee eines Bereiches der Ansatz eines Episyllogismus, der, zusammen mit dieser Idee, eine Kategorie bildet. Bezogen auf das Aspektivsystem A bestehe die Idee des Bereichs aus 1 < i < n apodiktischen Elementen a, , die formal zu einem Schema (ai) n = a zusammengefaßt werden können. Da dieses apodiktische Schema offensichtlich bezogen auf A die Ausmaße des Bereichs trägt, also der Maßträger des Bereichs ist, werde a als Metrophor bezeichnet. Jeder Metrophor kann demnach als formale Idee eines Bereichs aufgefaßt werden. In der Metasprache irgendeines subjektiven Aspektes S aus A kann ohne weiteres ein Funktor f dargestellt werden, der jeweils m 1 ( 6 ) Stellt sich nach der Abgrenzung eines Teilbereiches mit vollständigem Metrophor a heraus, daß es noch andere Teilbereiche gibt, die ebenfalls abgegrenzt sind und vollständige Metrophore haben, so können immer dann die Elemente aller Metrophore zu einem Gesamtschema zusammengefasst werden, wenn tatsächlich die Teilbereiche zu ein und demselben zusammenhängenden begrifflichen Gesamtbereich gehören. Nach der vorangegangenen Definition des Syntrixbegriffes wird es möglich, diesen Begriff durch eine Erweiterung zu verallgemeinern und zu vertiefen. Es besteht nämlich die Möglichkeit, daß in a die 1 < i < n apodiktischen a, keine diskreten Einzeleigenschaften, sondern begrenzte Kontinuen aus unendlich vielen, aber überall dicht liegenden Eigenschaften sind. Da jetzt jedes Metrophorelement ein apodiktisches Kontinuum durchläuft, bestehen in diesem erweiterten Syntrixbegriff auch alle Syndrombesetzungen aus synkolierten Kontinuen. Offensichtlich wird evident, daß diese Bandsyntrizen die universellste Metrophorbesetzung haben; denn allgemeiner kann der Metrophorbegriff nicht definiert werden. Formal müssen diese Bandsyntrizen denselben Strukturgesetzen genügen wie die Syntrizen mit diskreter Metrophorbesetzung, denn beim Seite 30 Synkolationsprozess ist es belanglos, ob diskrete Metrophorelemente oder apodiktische Bandkon- tinuen synkolieren. Für alle Synkolationsstufen m > 1 sind die Syndrombesetzungen in jedem Fall gegeben, nur bilden sie im Fall der Bandsyntrix begrenzte Kontinuen aus unendlich vielen überall dicht liegenden Einzelsynkolationen. Nach dieser eindeutigen Erweiterung kann festgestellt werden, daß jede Syntrix, also auch die Formen (5) und (5a) als Bandsyntrizen aufzufassen sind; denn im diskret besetzten Metrophor erscheinen die diskreten Elemente der Besetzung als ausgeartete apodiktische Bandkontinuen. In der Fassung a — (Aj,ai,Bj)n ( 7 ) 2.3. Kombinatorik der Syndrombesetzungen. Es ist zweckmäßig, eine kombinatorische Theorie im Rahmen des mathematisch-analytischen subjektiven Aspektes der anthropomorphen Formallogik zu entwickeln, welche es gestattet, aus den möglichen Eigenschaften einer Syntrix kombinatorische Aussagen über die Besetzung der Syndrome mit Synkolationselementen zu machen. Ist n die Zahl der apodiktischen Elemente, also der Metrophordurchmesser , dann gibt es für die Synkolationsstufe m die Möglichkeiten m < n und m > n. Für m < n ka nn die Syntrix heterometral sein, doch sind homometrale Formen auch zulässig, während für m > n grundsätzlich homometrale Syntrizen entstehen können, weil sonst die Funktoren, also die Synkolationselemente, nicht vollständig sind. Für n = m dagegen ist im heterometralen Fall das erste Syndrom nur mit einem Funktor besetzt, wodurch bei einer Pyramidalstruktur bereits der Syndromabschluß vorliegt, wenn n > 1 ist. Im homometralen Fall dagegen, aber auch, wenn eine Homogensyntrix vorliegt, tritt dies für m = n nicht ein. Für die kombinatorische Untersuchung werde ein symmetrischer Synkolator der Stufe m voraus¬ gesetzt. Zunächst liege eine heterometrale Pyramidalsyntrix der allgemeinen Form m < n vor. Die Vollbesetzung der Syndrome muß dann durch Binomialkoeffizienten gegeben sein, wobei die Zahl der Vollbesetzung eines Syndroms als Kombinationszahl zur Klasse m der Synkolations¬ stufe erscheint, was wegen n > m durchaus möglich wird. Wegen des Metrophordurchmessers n (der Metrophor wäre also das Syndrom der Ziffer 0) ist bei der heterometralen Pyramidalsyntrix das erste Syndrom mit n t = , das zweite mit n 2 = (jM und das Syndrom Y + 1 mit n -/+i = vollbesetzt. Hierdurch ist aber ein kombinatorisches Rekursionsverfahren gegeben, das, wenn der Synkolator symmetrisch ist, für jede beliebige Syndromziffer der heterometralen Pyramidalsyntrix Seite 31 die Syndromvollbesetzung aus den Bestimmungsstücken n und m liefert. Im zweiten Fall wäre bei der heterometralen Pyramidalsyntrix ein k -fach asymmetrischer Synkolator zugrunde zu legen, derart, daß von den m Begriffselementen eines Funktors k an eine feste Ordnung im Synkolationsgesetz gebunden sind, was k < m bedingt. Liegt ein solcher Synkolator vor, so ergibt jedes der Elemente durch Vertausch der m Funktorargumente noch (“J Asymmetrie¬ möglichkeiten, von denen jede wiederum k! Permutationen ermöglicht. Dies gilt für das erste Syndrom, dessen Vollbesetzung daher durch n\ _ k , m! _ n! n! _/ n \ (n-m + k)! kj k!(m-k)! m!(n-m)! (m-k)!(n-m)! V m _ (n-m)! n, =k! m gegeben ist. Wegen des Pyramidalcharakters kann dieses Verfahren rekursiv fortgesetzt werden und liefert für die Vollbesetzung Y + 1 die Rekursion ' n Y M n y -m + k)! v m-kJ (n Y -m)! Ist die Syntrix nicht mehr pyramidal sondern homogen, aber auch heterometral, so gilt, wenn der Synkolator symmetrisch ist, für die Besetzung des ersten Syndroms wie bei der Pyramidalform n, = während bereits im zweiten Syndrom der Synkolator nicht nur auf m Elementen, sondern auf n + ni einwirkt, was die Vollbesetzung n 2 = | n ^ n 'j ergibt. Hieraus wird ersichtlich, daß für heterometrale Homogensyntrizen ohne weiteres m = n möglich wird, denn für diesen Fall würde zwar m = 1 aber bereits n 2 = n + 1 sein. Wird die Schlußweise der vollständigen Induk¬ tion angewendet, so folgt für irgendein Syndrom Y + 1 der heterometralen homogenen Syntrix mit symmetrischem Synkolator die Rekursion n, Y+i [ m ] mit . Ist der Synkolator k -fach asymmterisch, so folgt in Analogie zur Pyramidalsyntrix f n Y yn Y -m + k)! Y+1 [m-kj (n Y -m)! Seite 32 In völliger Analogie kann der Fall homometraler Pyramidal- und Homogenformen mit symmetri¬ schem oder asymmetrischen Synkolator untersucht werden, die, wegen der homometralen Eigen¬ schaften, neben m < n auch m > n zulassen. Ist der Synkolator symmetrisch und liegt eine Pyramidalsyntrix vor, so kann der homometrale Charakter in 1 < j < L < m Klassen erscheinen, von denen jede mit a j > 1 Elementen besetzt ist. Wäre für alle aj = 1 , so wäre damit der homo¬ metrale Fall in den heterometralen übergegangen. Die pyramidalen Kombinationen ny , die das L Syndrom Y+l bilden, müssen also die Kombinationsklasse m auf m-^aj+L = A reduzie- j+i ren. Für die Syndrombesetzung der homometralen (Klasse L) Pyramidalsyntrix bei symmetrischem Synkolator gilt demnach die Rekursion , während sich für n„ /+l = (^1 die homometrale Homogen- syntrix, wenn ebenfalls eine Symmetrie des Synkolators vorausgesetzt wird, analog der entsprech- enden Heterometralform ergibt. Diese n. /+ i = ^ j homometralen Untersuchungen können nach den gleichen Prinzipien wie die heterometralen auf asymmetrische Synkolatoren übertragen werden. In allen Fällen der Homometralität wird deutlich, daß die heterometralen Strukturen hin¬ sichtlich der Kombinatorik ihrer Syndrombesetzungen nur Sonderfalle der allgemeinen Homo- L metralität sind; denn für alle aj = 1 wird /^a, = L , dies bedeutet, daß A = m wird, was eine j=i Heterometralität kennzeichnet. 2.4. Komplexsynkolatoren, Synkolationsverlauf und Syndromabschluß. Immer, wenn m < n bleibt, also die Synkolationsstufe kleiner als der Metrophordurchmesser ist, synkoliert eine Vorschrift f , unabhängig davon, ob a] oder a] pyramidal oder homogen ist, eine unendliche Folge von Syndromen. In dieser unendlichen Folge von Syndromen ist für m < n immer die Vollbesetzung des Syndroms Y+l mindestens mit der von Y identisch, und zwar liegt bei einer unendlichen Syndromenfolge ein äquisyndromatischer Synkolationsverlauf vor, wenn die Vollbesetzungen der Syndrome Y+l und Y einander gleichen, während ein monotondi¬ vergenter Synkolationsverlauf gegeben ist, wenn die Vollbesetzung von Y+l höher liegt als diejenige von Y • Die Kombinatorik der Syndrombesetzungen zeigt, daß nur Pyramidalsyntrizen einen äquisyndromatischen Synkolationsverlauf bilden können, denn im heterometralen Fall folgt für m = n - 1 , wenn der Synkolator symmetrisch ist, für alle Syndrome ny = n = const , während im homometralen Fall das gleiche für L = 1 und a = m erreicht wird, weil dann wird , was ebenfalls ny = n zur Folge hat. Voraussetzung ist allerdings Pyramidal¬ struktur und symmetrischer Synkolator. Ist also in heterometralen Formen m < n - 1 , so ist der Seite 33 Synkolationsverlauf unendlich und im allgemeinen monoton divergent. Nur für m = n - 1 der Pyramidalstruktur oder bei totaler Homometralität einer Klasse dieser Struktur wird der Synkola¬ tionsverlauf unter Voraussetzung eines symmetrischen Synkolators äquisyndromatisch. Wird schließlich m = n , so wird bei symmetrischen Synkolator in der heterometralen Pyramidal- syntrix im ersten Syndrom ein Syndromabschluß erreicht, denn für seine Vollbesetzung gilt nj = 1 , was keine weitere Synkolation möglich macht. Bei der entsprechenden Homogen- syntrix dagegen ist kein Syndromabschluß erreicht. Zwar ist auch hier ni = 1 im Gegensatz zu m = n > 1 , doch gilt bereits für das zweite Syndrom n 2 (n + 1)! (n +1 - n)!n! = n + 1 > 1 usw., so daß hier das erste Syndrom nur eine Minimalbesetzung aufweist, während vom zweiten Syndrom an wieder ein monoton divergenter Synkolationsverlauf vorliegt. Die heterometrale Pyramidalsyntrix mit m = n hat auch bei einem k -fach asymmetrischen Synkolator im ersten Syndrom einen Syndromabschluß, solange die durch k < m bestimmte Besetzung dieses Syndroms niedriger als die Synkolationsstufe bleibt, denn dann ist die pyramidale Synkolation eines zweiten Syndroms heterometral nicht mehr möglich. Werden homometrale Eigenschaften zugelassen, so verstärken diese im allgemeinen die monotone Divergenz und lassen auch m > n zu, doch ist auch hier ein äquisyndromatischer Verlauf möglich. Bei vorgegebenen Synkolator kommt es also für alle Synkolationsstufen allenfalls zu einem Abschluß im ersten Syndrom, oder zu äquisyndromatischem bzw. monotondivergentem Synkolationsverlauf, niemals aber zu einem beliebigen Wechsel dieses Verlaufs oder zu einem Abschluß in einem höheren als ersten Syndrom. Dieses Verhalten geht auf die Eigenschaften aller dieser Syntrizen zurück, daß in allen Syndromen der gleiche Synkolator f wirkt. Solche Syntrizen werden daher wegen der kombinatorischen Gesetze ihrer Syndrombesetzungen und des zahlentheoretisch kombinatorischen Synkolations¬ verlauf als natürliche Syntrizen bezeichnet. In jedem subjektiven Aspekt eines Aspektivsystems gibt es mindestens eine natürliche Syntrix, also ein f,m als Synkolationsgesetz, denn wäre dies nicht der Fall, dann wäre über dem betreffenden subjektiven Aspekt nur der Metrophor des Bereichs erfaßbar, und dies könnte ebenfalls durch einen Synkolator ausgedrückt werden, der die Metrophorelemente unverändert läßt und nicht kombiniert. Im allgemeinen kann es sich aber um ein ganzes Spektrum von 1 < p < X solcher Gesetze fn,i% handeln. Ist dies hinsichtlich Seite 34 irgendeines subjektiven Aspektes der Fall, so besteht die Möglichkeit, verschiedene Synkolations- gesetze in einer einzigen Syntrix dieses Aspektes wirken zu lassen, derart, daß z.B. fj die Syndrome l va] = <(f,a)m> X (Y-i) ( 8 ) bedeutet, daß jeder der 1 < Y ^ X Synkolationsgesetze f Y ,m Y je nach der Syntrizenart (pyramidal oder homogen) die Syndrome zwischen Xr/-i > und X( Y) synkoliert. Je nach Anord¬ nung der f Y ,m Y im Komplexsynkolator f entsteht eine andere komplexsynkolierte Syntrix mit einem anderen der neuen Anordnung entsprechenden zahlentheoretischen Synkolationsverlauf, und anderen Syndrombesetzungen. Hat f also 1 < Y ^ X Komponenten, so gibt es innerhalb f für den Synkolationsverlauf der Syntrix X! Möglichkeiten. Auch die den f Y zugeordneten m Y des f bestimmen wesentlich den Synkolationsverlauf innerhalb einer kombinierten Syntrix. Im Gegen¬ satz zu den natürlichen Syntrizen mit monotonem Synkolationsverlauf (äquisyndromatisch oder monoton divergent), sollen Syntrizen mit Komplexsynkolatoren also beliebigen zahlentheoretischen Synkolationsverlauf als kombiniert bezeichnet werden, ln einem solchen Synkolationsverlauf einer kombinierten Syntrix können stets monoton divergente Zweige mit äquisyndromatischen abwechseln, und auch monotone Divergenzen werden auf diese Weise möglich, d.h. für den Synkolationsverlauf sind ebensoviele Möglichkeiten offen, wie für den Verlauf irgendwelcher zahlentheoretischer Funktionen ganzzahliger Indizes. Diese Konvergenz des Synkolationsverlaufes wird nach der Definition (8) des Komplexsynkolators durch die Folge und Struktur der f Y ,m Y in f,m möglich, diese Konvergenz wiederum läßt den Fall eines Syndromabschlusses in irgendeinem vorgegebenen Syndrom der kombinierten Syntrix zu. Ist nämlich der letzte Synkolator fe,mx aus f so beschaffen, daß im ersten von ihm synkolierten Syndrom die Vollbesetzung tiefer liegt als Seite 35 nach der Synkolationsstufe m* zulässig ist, dann wird die Synkolation eines folgenden Syndroms nicht mehr möglich, so daß auf diese Weise durch f? ein Syndromabschluß gegeben ist. Erfüllt fe diese Forderung des Syndromabschlusses nicht, so synkoliert f% eine unendliche Folge weiterer Syndrome bei einem äquisyndromatischen oder monoton divergenten Synkolationsverlauf analog der natürlichen Syntrizen. Ergänzend wäre noch zu erwähnen, daß die Komponenten fy eines Komplexsynkolators eventuell auch je nach der Indizierung Y , verschiedenen Synkola- tionsprinzipien genügen können. So ist es denkbar, daß zum Beispiel fy im Sinne einer Pyrami- dalsyntrix, aber im Sinne einer Homogenform synkoliert usw. Auch hetero- und homo- metrale sowie symmetrische und asymmetrische Synkolatoreigenschaften können in f die Koordinaten fy bestimmen, wodurch eine überaus große Mannigfaltigkeit von kombinierten Syntrizen mit Syndromabschluß oder unendlichem Synkolationsverlauf ermöglicht wird. Im Gegensatz zu den natürlichen Syntrizen, für die es nur unendliche Synkolationsverläufe gibt, wenn nicht schon im ersten Syndrom ein Abschluß liegt, kann im kombinierten Syntrizen der Syndrom¬ abschluß in jedem Syndrom durch die spezielle Wahl von f erreicht werden, was auch jeden beliebigen Synkolationsverlauf realisierbar macht. Die Einführung der kombinierten Syntrix mit dem Komplexsynkolator neben den natürlichen Syntrizen bedeutet offensichtlich eine wesentliche Erweiterung des Syntrixbegriffes derart, daß die Beziehung (8) als allgemeinste Form der Syntrix die Mannigfaltigkeit in der Syntrixdarstellung wesentlich vergrößert. 2.5. Die primigene Äondyne. Die allgemeinste Form einer Syntrixdarstellung ist die der kombinierten Bandsyntrix. Eine weitere Verallgemeinerung dieses Begriffes ergibt sich, wenn angenommen wird, daß der Verlauf der apodiktischen Kontinuen a, des a der Bandsyntrix vom Verlauf bestimmter begrifflicher Parameter bedingt wird. Für jedes apodiktische Element a, des Metrophor sind, wenn eine möglichst große Universalität gewahrt werden soll, 1 < j < n; begriffliche Parameterdimensionen t(i)j als begrifflicher Argumentbereich gegeben, die durch einen n, -dimensionalen Argument¬ raum veranschaulicht werden können, wenn dieser Raum nicht anthropomorph als Punktkonti¬ nuum, sondern allgemein als begriffliches Tensorium des apodiktischen Bandes a, von a ge¬ deutet wird. Wenn diese Interpretation der t(i)j als Dimension eines begrifflichen Tensoriums des Bandes a, angewendet wird, dann ist a i (t (i)j )|' 1 durch die Parameter des Tensoriums in Form einer Begriffsfunktion bestimmt, und zwar können hier die n; ^ ny für i ^ Y sein, ebenso wie die t(i)j des a, und die t,y)k des ay voneinander unabhängig sein können. Jedes apodiktische Seite 36 Kontinuum a i (t (i)j )" i des a ist also in einem speziellen n, -dimensionalen Begriffstensorium definiert. Die t(i>j symbolisieren im allgemeinen Begriffe, welche in ihren Definitionsintervallen im betreffenden Aspektivsystem eine kontinuierliche Änderung durchmachen, derart, daß die a, hinsichtlich des betreffenden Aspektivsystems apodiktische Begriffsfunktionen sind. Für jeden Verlauf t (i )j können begriffliche Grenzen a® und ß (i )j angegeben werden, derart, daß die Symbolisierung a(i>j,t(i>j,ß(i)j bedeutet, daß % kontinuierlich jeden Begriff zwischen den Grenzen a(i)j und ß^ darstellen kann. Gilt für alle apodiktischen Metrophorelemente n, ^ ny, und sind alle begrifflichen Parameter t (i)J voneinander unabhängig, so ist a eine Begriffs- n fünktion, die von N = ^n, Argumenten abhängt, d.h. der Metrophor ist in einem N-dimensionalen i=l begrifflichen Tensorium definiert. Da grundsätzlich für die Synkolationsstufen m > 1 gilt, muß die Dimension einer jeden Synkolation p > n : für alle i sein, während für die Dimension eines jeden Syndroms stets N gilt, weil in jedem Syndrom alle a, miteinander synkolieren, unab¬ hängig vom Synkolationsverlauf und Synkolationsprinzip. Für m > 1 nähert p mit wachsender Syndromziffer die Dimensionszahl N an. Die so definierte Syntrix hängt demnach von N Begriffsparametern in den Intervallen a(i>j,t(i)j,ß(i>j ab, und wird als primigene Äondyne in diesem Intervallsystem (dieses ist die äonische Länge ) bezeichnet, weil zu jeder Kombination der N Begriffe, also mathematisch ausgedrückt, zu jedem Punkt der N -dimensionalen Mannigfaltig¬ keit, eine Syntrix gehört, also ein synkoliertes System von Eigenschaften in demjenigen subjektiven Aspekt, der das Synkolationsgesetz liefert. In jedem subjektiven Aspekt des durch a ausgedrück¬ ten Aspektivsystems gibt es also eine primigene Äondyne, wenn es N kontinuierliche Begriffs¬ parameter t(i)j gibt, derart, daß die a i (t (i|| )|' 1 apodiktischen Begriffsfunktionen im ganzen Aspektivsystem sind. Die durch al) = v (1) = <(f,(a)),m> v (a) = (a^t^)” 1 ) n v a (i)j t (i)j ß (i; 0)j ( 9 ) symbolisierte pyramidale oder homogene primigene Äondyne S hat also einen N -fachen Verlauf in den Grenzen a(i>j,t(i)j,ß(i>j hinsichtlich des Parameters t,,,, mit 1 < j < n, sowie n N = . Die Äondyne S heißt natürlich oder kombiniert, bzw. pyramidal, homogen, hetero- i=l metral, homometral, symmetrisch oder asymmetrisch, wenn dies für die N -fach laufende Äondyne gilt. Weiterhin ist die Äondyne L -stufig abgeschlossen, wenn ein Syndromabschluß Seite 37 im Syndrom L erfolgt. Für jede natürliche Äondyne ist demnach entweder L=1 oder L —» oo. Alle bisher untersuchten primigenen Äondynen waren metrophorische Äondynen, denn nur a erschien in einem N -dimensionalen Tensorium definiert. Denkbar sind aber auch synkolative Äondynen, in denen zwar a nicht zu einer Bandsyntrix gehört, bei denen aber der Synkolator von einem n -dimensionalen begrifflichen Tensorium abhängt, das ähnlich wie in der metrophor- ischen Äondyne begrenzt sein kann. Das Synkolationsgesetz, also die Struktur des allgemeinen Komplexsynkolators, muß sich dann beim Durchlaufen der n begrifflichen Parameterintervalle verändern. Kennzeichnet S allgemein irgendeine Äondyne, so symbolisiere S = (f,(a),m^ die metrophorische und S = ^(f),a,m^ die synkolative Äondyne. Der allgemeinste Fall der primi¬ genen Äondyne wäre der eines sowohl metrophorischen ( N -fach) als auch synkolativen ( n -fach) Verlauf der Äondyne. Diese sogenannte ganzläufige Äondyne werde durch - = ((f)’( a )’ m ) symbolisiert. Danach ist die ganzläufige Äondyne in einem begrifflichen Ten¬ sorium definiert, dessen Dimensionszahl aus der des metrophorischen und der des synkolativen Tensoriums gemäß N + n zusammengesetzt ist. Die drei möglichen Formen der primigenen Äondyne werden zusammengefaßt in S m (f ,(a),m) v S ü((f),a,m) v Ss ((f),(a),m) (9a) wodurch die Darstellung (9) ergänzt wird. Die ganzläufige Äondyne ist im allgemeinsten Fall verknüpft, d.h. es gibt immer eine bestimmte Zahl von begrifflichen Parametern, die gemeinsame Dimensionen des metrophorischen und synkolativen Parametertensoriums sind. Ihre An z ahl wird dabei als Verknüpfungsgrad bezeichnet, der offensichtlich nicht die Dimensionszahl des niedriger dimensionierten der beiden Tensorien überschreiten kann. Liegt kein Verknüpfungsgrad vor, so wird der synkolative Äondynenlauf durch andere Begriffe bestimmt als der metrophorische, doch koinzidieren beide Läufe umso stärker, je höher der Verknüpfungsgrad wird. Die Verknüpfung wird schließlich vollständig, wenn der Verknüpfungsgrad mit n und N identisch, und zugleich n = M wird. Wenn überhaupt ein synkolativer Äondynenanteil vorliegt, dann kommt es immer zu einer stetigen Änderung des Synkolationsverlaufs, und der Struktur eines Komplexsynkolators, wenn sich die begrifflichen Parameter in ihren Definitionsintervallen verändern. Dieser synkolative Äondynenverlauf kann also stationär sein, oder von Unstetigkeiten, also Synkolationssprüngen unterbrochen sein. Weiter kann der Äondynenverlauf syndromatisch, expansiv, konstant oder kontraktiv sein, je nachdem ob sich mit fortschreitender Äondyne die Ziffer L des L -fachen Seite 38 Syndromabschlusses erhöht, konstant bleibt oder verringert. Letzten Endes können noch die Synkolationen alle eindeutig verlaufen, was zu einer Monodromie der Äondyne fuhrt. Auch kann eine bestimmte Zahl von K Synkolationen von irgendeinem Punkt der vieldimensionalen Mannigfaltigkeit an vieldeutig werden, was bedeutet, daß von diesem Punkt an ( Polydromiepunkt ) der Äondynenverlauf K -fach polydrom wird, d.h. eine aus K Synkolationen bestehende Mannigfaltigkeit von Nebenläufen (daher Polydromie) zweigt sich vieldeutig von der eigentlichen Äondyne ab. Die jeweilige Gruppe von K Synkolationen muß aber die gleiche Vieldeutigkeit, also die gleiche Polydromie haben. Die Möglichkeit der Polydromie ist vom speziellen Typ (9a) der Äondyne völlig unabhängig und wird nur vom Synkolator und den zur Synkolation kommenden Funktoren der vor dem neusynkolierten Syndrom liegenden Vollbesetzung im jeweiligen Poly¬ dromiepunkt bestimmt. Schließlich kann noch eine Klassifikation jeder primigenen Äondyne nach dem Verhalten der äonischen Längen aQjjt^ßoj durchgeführt werden. Gehören die Grenzen ct(i)j und ß(i)j nicht mehr zur Äondyne, so sei sie in diesen Längen offen. Gehört aber nur eine Grenze zur Äondyne, so sei sie halboffen. Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten, entweder ist sie in ci(i)j geschlossen und nach ß(i)j offen oder umgekehrt, was durch (a(i)j,%),•),ß© bzw. ot(i)j,(t(i)j,ß(i)j) gekennzeichnet wird. Gehören beide Grenzen zur Äondyne, so sei sie geschlossen, so daß (a(i)j,t(i)j,ß(i)j) diejenige äonische Länge kennzeichnet, in der die Äondyne geschlossen ist. Eine halboffene Äondyne könnte auch als Radialform oder zumindest als partielle Radialform bezeichnet werden, wobei sich der Begriff auf die Möglichkeit bezieht, daß nicht alle äonischen Längen halboffen, und die halboffenen nicht notwendig gleichorientiert sein müssen. 2.6. Das Selektionsprinzip polyzyklischer metrophorischer Zirkel. Nach der Präzisierung des Syntrixbegriffes und seiner Erweiterung zur primigenen Äondyne erscheint es möglich, auch die Begriffsbildung des Universalquantors zu verfeinern. Die Quantortheorie definiert irgendeine Prädikatverknüpfung von Funktoren als einen Polyquantor vom Grade b , wenn es 1 < k < b Aspektivsysteme A k gibt, derart, daß die Prädikatverknüpfüng der Funktoren bei Übergängen der A k ineinander, also gegen Strukturtransformationen des Metropiefeldes innerhalb 1 < k < b < oo hinsichtlich der Struktur invariant bleibt. Dabei ist b > 0 stets ganzzahlig und liefert, solange b < oo bleibt, Polyquantoren. Sind die Funktoren nicht Einzeleigenschaften, sondern ganze Kategorien in Form von Syntrizen mit epi- oder prosyllo- gistischer Orientierung, dann wird aufgrund der Syntrixeigenschaften der Polyquantor wegen b —» oo zum Universalquantor. Im Folgenden soll ein Universalquantor b —» oo als unbegrenzter Seite 39 Universalquantor bezeichnet werden, denn aufgrund der Präzisierung des Syntrixbegriffes kann ein Universalquantor auch dann vorliegen, wenn b < oo bleibt, wodurch die begriffliche Verfeinerung des Universalquantors und eine Erweiterung der Quantortheorie gegeben sein dürfte. Existiert bezogen auf Ai eine Syntrix, d.h. gibt es ein System apodiktischer Elemente in Form eines Metrophor als Idee einer durch die Syntrix dargestellten Kategorie hinsichtlich Ai , und wird diese Syntrix ihrerseits wiederum auf ein anderes Aspektivsystem A 2 bezogen, dann kann der Metrophor im A 2 im allgemeinen nicht mehr apodiktisch sein, d.h., seine Elemente erscheinen, bezogen auf A 2 , als nicht mehr apodiktische Funktoren, also als Synkolationen tieferer Syndrome. Diese Syndrome müssen aber bei fortschreitendem Prosyllogismus wiederum bei einem hinsichtlich A 2 apodiktischen Metrophor münden, weil die apodiktischen Elemente hin s ichtlich Ai nach der Aspekttransformation kein leeres Funktorsystem bilden können, denn Eigenschaften eines begrifflichen Bereiches sind stets real, wenn es mindestens ein Aspektivsystem gibt, in welchem sie apodiktisch sind. Wenn es also in Ai eine Syntrix gibt, dann muß diese Kategorie nach einer Aspekttransformation in A 2 ebenfalls eine Syntrix sein. Dieses Verfahren der Aspekttransformationen kann nach dem vollständigen InduktionsSchluß auf alle Aspektivsysteme ausgedehnt werden, woraus der Satz folgt, daß, wenn eine Kategorie in einem Aspektivsystem als Syntrix dargestellt werden kann, diese Darstellbarkeit auch in allen anderen Aspektivsystemen möglich ist. Auf diesen Fundamentalsatz der Syntrometrie beruht der Begriff des allgemeinen Universalquantors, denn diese Invarianz muß auch für die Prädikatverknüpfungen von Syntrizen gelten. Es ist jedoch neben dem unbegrenzten Universalquantor ein Zirkelschluß möglich, der aus der unendlichen Schar möglicher Aspektivsysteme nach einem Selektionsprinzip eine endliche Zahl auswählt, derart, daß für Syntrizen, welche diesen Zirkelschluß möglich machen, die Zahl der diskutablen Aspektivsysteme nach dem Selektionsprinzip eingeschränkt wird. Ein solcher Zirkelschluß wird immer dann möglich, wenn es eine Syntrix und zwei Aspektivsysteme Bi und B 2 gibt, derart, daß der Metrophor sowohl in Bi als auch in B 2 erscheint, und nur die Syndrome, also das syllogistische Synkolationsgesetz, bei dieser Aspekttransformation geändert wird, denn unter diesen Voraussetzungen besteht immer die Möglichkeit von Bi über eine Kette von 1 < k < N - 2 Aspektivsysteme A k nach B 2 zu transformieren, so daß auf diese Weise nach dem Gesetz der Transformationskette, welches als Selektionsprinzip wirkt, ein metropho- rischer Zirkel geschlossen worden ist. Dieser metrophorische Zirkel ist offenbar monozyklisch von der Basis 2 und der Peripherie N , denn es gibt zwei Aspektivsysteme von der Art Bi und B 2 und eine aus N - 2 Systemen A k bestehende Transformationskette, welche einen Ring von Aspekttransformationen schließt, in welchem N Aspektivsysteme enthalten sind. Dieser Begriff des metrophorischen Zirkels ist offenbar einer Verallgemeinerung fähig. Im allgemeinen gibt es Seite 40 1 < i < Z Aspektivsysteme B, derart, daß der Metrophor einer Syntrix in allen Z Systemen apodiktisch bleibt. Diese Z Aspektivsysteme wiederum können einen polyzyklischen metropho- rischen Zirkel der Basis Z bilden, und zwar wäre die Zyklizität = ^-Z(Z-l) -fach, denn die Z Basiselemente können durch (f) Transformationsbögen miteinander verbunden werden, wobei jeder der 1 ^ (!) monozyklischen metrophorischen Partialzirkel die Peripherie Nj > 2 hat, wobei Nj ganzzahlig sein müssen. Nj = 2 liefert keinen Monozyklus, denn dieser Fall wäre lediglich die Aspekttransformation von einem Basiselement in ein anderes. Genügt nicht nur eine Syntrix hinsichtlich der Basis Z diesen Voraussetzungen des Zirkelschlusses, sondern ein Universalquantor, und legt das Gesetz der Transformationskette als Selektionsprinzip die mono¬ zyklischen Partialzirkel, sowie deren peripheren Begrenzungen fest, dann ist aus der unendlichen Schar möglicher Aspektivsysteme die nach dem Selektionsprinzip diskutable endliche Zahl ausge¬ wählt worden, und der zuvor unbegrenzte Universalquantor wurde zum polyzyklischen metropho¬ rischen Zirkel, also zum begrenzten Universalquantor, welcher einem Polyquantor vom Grade ^Nj mit der Zyklizität L = l 2 I entspricht. Nach diesem Selektionsprinzip polyzyklischer j=i metrophorischer Zirkel können also, wenn hinsichtlich eines unbegrenzten Universalquantors eine Basis Z > 2 existiert, Polyzyklen verschiedener peripherer Begrenzungen der Partialzirkel als begrenzte Universalquantoren ausgegrenzt werden, wodurch die Eigenschaft des Universalquantors zwar nicht verloren geht, aber die Zahl der für das betreffende Problem diskutablen Aspektivsys¬ teme auf eine endliche Zahl eingeschränkt wird. Wenn also hinsichtlich der Prädikatverknüpfungen von Syntrizen (dies können nur Universalquantoren sein) die Basis Z > 2 eines metrophorischen Zirkels existiert, dann erscheint es i mm er angebracht, aus der Problemstellung ein Selektionsprinzip zu entwickeln und den Universalquantor durch einen metrophorischen Zirkel zu begrenzen. Seite 41 3. Syntrixkorporatoren 3.1. Der Korporator Nach der Beziehung (5a) besteht aus Gründen begrifflicher Notwendigkeit die Möglichkeit, eine allgemeine Syntrix grundsätzlich in elementare Syntrizen zu spalten. Aus diesem durch die Beziehung (5a) charakterisierten Satz muß unmittelbar in seiner Inversion die Existenz von Opera¬ tionen folgen, welche Syntrizen miteinander verbinden, wenn die Inversion des Satzes (5a) ihrer¬ seits existiert. Jede Syntrix ist definitionsgemäß eine syllogistisch orientierte Kategorie der Art, daß ihrer Spaltung in Elementarsyntrizen eine Aufteilung der Kategorie in Unterkategorien und einer Aufteilung der Idee in Teilideen der Unterkategorien entspricht. Stets können Unterbegriffe dialektisch zu einem Oberbegriff wieder zusammengeführt werden, wenn die Unterbegriffe zuvor in Form einer Spaltung aus dem Oberbegriff deduziert wurden. Die gleichen Verhältnisse liegen aber auch dann vor, wenn es sich um Bereiche begrifflicher Elemente handelt, also auch dann, wenn die begrifflichen Elemente Kategorien mit syllogistischen Orientierungen, also Syntrizen, bilden. Hieraus folgt demnach, daß tatsächlich die Inversion des Satzes (5a) und damit der Begriff Syntrizen verbindender Operation existieren. Die Inversion von (5a) weist jedoch nur auf solche Syntrixverbindungen hin, welche die Syntrixspaltung in Elementarsyntrizen umkehrt. Im allgemeinen ist diese Spaltung aber stets in einer Folge von Einzelschritten denkbar, so daß jedes beliebige Syntrixsystem als Zwischenergebnis einer Syntrixspaltung in Elementarspaltungen gedacht werden kann. Werden alle Syntrizen des Systems in ihre Elementarsyntrizen aufgespalten, dann ist stets eine übergeordnete Syntrix denkbar, welche in einer Inversion von (5a) aus den Elementarsyntrizen konstruiert werden kann. Wenn dies aber so ist, dann muß diese übergeordnete Syntrix auch durch syntrixverbindende Operationen aus dem ursprünglichen, als Zwischenstufe der Spaltung aufgefassten Syntrixsystem entstehen. Nach der Schlußweise der vollständigen Induktion besteht weiter die Möglichkeit einer Verallgemeinerung, so daß auf diese Weise der Existenz¬ nachweis allgemeiner syntrixverbindender Operationen geführt wurden. Solche Operationen sollen im Folgenden als Syntrixkorporationen bezeichnet werden. Die allgemeine Syntrixkorporation muß aber nach der Funktortheorie durch einen als Korporator bezeichneten Funktor vermittelt werden, ähnlich wie der Synkolator ein Funktor ist, der die Besetzung des nächsttieferen Syndroms ver¬ bindet. Ehe eine allgemeine Theorie der Syntrixkorporationen entwickelt wird, muß jedoch der Begriff des Korporators in seiner universellsten Fassung präzisiert und analysiert werden. Umfaßt a die n apodiktischen Elemente a, eines Bereiches B , bezogen auf ein Aspektivsystem A, so besteht die Möglichkeit, B in Unterbereiche b (J) mit 1 < j < ß zu zerlegen, derart, daß Seite 42 jeder dieser Unterbereiche hinsichtlich A eine Zahl von p© < n apodiktischen Elementen ß ^ ( P(i) 11 für ß ~' > 1 ) umfaßt. Es muß stets — n sein. d.h. a spaltet sieh m ß Tell¬ ig metrophore a© . Diese Dekomposition von a ist dann perfekt, wenn auch noch A in ß einzelne Aspektivsysteme zerfällt, derart, daß jeder partielle a© auf das zugehörige A© be¬ zogen werden kann und über seinem Teilbereich B© steht. B umfaßt alle ß Teilbereiche B© . Nach dieser metrophorischen Dekomposition des a ist auch der inverse Prozess einer metrophorischen Komposition denkbar. Gibt es ß Bereiche B© bezogen auf A© und liegt über diesem B© ein a© , so komponieren offenbar alle a© zu a , wenn die A© zu einem übergeordneten Aspektivsystem A zusammenfassbar sind, derart, daß alle zu B zusammen- _ ß gefaßten B© bezogen auf A die in a zusammengefaßten n=XP(j) Elemente a, zu j=i apodiktischen Elementen haben und a vollständig für B bezogen auf A ist. Neben dieser metrophorischen Komposition und Dekomposition gibt es noch die metrophorische Koppelung und Entkoppelung. Sind a und b zwei Metrophore der Bereiche a und ß , bezogen auf die Aspektivsysteme A und B , und gilt a = (aßp und b = (b k ) q , so kann eine Folge 1 < 1 < A. Verknüpfungsvorschriften (Konflektorknoten) cpi angegeben werden, welche jeweils A, < p bzw. X < q (je nachdem, ob p < q oder p > q ist) Elemente aus a und b verbinden, derart, daß die X Verknüpfüngen a l7 cpi,bi = Ci Elemente des neuen Metrophor c sind. Hier enthält c stets nur X Elemente, doch kann die Verknüpfung auch in der allgemeineren Fassung ai,cpi,b k = c u , k formuliert werden, wobei jetzt allerdings c insgesamt pkq Elemente enthält. Immer erscheint c auf ein Aspektivsystem C bezogen, in welchem auch die X Konflektor¬ knoten (pi ausdrückbar sind, derart, daß zugleich die ,j±), |AS|y ,(G,N) bedeutet, daß die Glieder der Komplexsynkolatoren f und cg mit den Synkolationsstufen m und ja durch die Vorschrift der synkolativen Konflektorknoten K s und die synkolativen Kompositionselemente C s korpo- rieren, und daß das Ergebnis dieser Korporation durch das Prädikat Y des subjektiven Aspektes S im zugrunde gelegten Aspektivsystem A mit einem Komplexynkolator G der Synkola¬ tionsstufe N verknüpft ist. Die Glieder der neuen Synkolationsstufe N (komplex) ergeben sich aus den zugehörigen Gliedern von m und ja durch den funktionalen Zusammenhang N = O (m,ja) der mathematischen Analysis, wobei der Funktionalzusammenhang ® vom synkolativen Korporationsgesetz abhängt. Die metrophorische und synkolative Korporation als Prädikatverknüpfung von Funktoren wird demnach durch a b,|CS |v',c v (f,m), |AS [y ,(G,N) ( 10 ) beschrieben. Metrophor und Synkolationsgesetz bestimmen aber eindeutig eine Syntrix, d.h. eine Kombination der metrophorischen und synkolativen Korporation muß eine Syntrixkorporation ermöglichen. Zunächst sind also die Metrophore der Bereiche zu korporieren und dann die Synkolationsgesetze der zugehörigen Syntrizen. Sind A und B zwei Aspektivsysteme, in denen a und b für zwei Bereiche gelten und ist C ein neues Aspektivsystem, welches A und B so enthält, daß durch die Korporation von a und b in C der neue Metrophor c entsteht, Seite 45 und gibt es weiter in A und B zwei subjektive Aspekte S a und Sb mit den kombinierten Syntrizen (im allgemeinen homogen, homometral und asymmetrisch) ((£a) m) und ((g> b) ja), so kann neben |j^ ^ | noch j^ s ^ s | wirken, derart, daß neben der metrophorischen Korpo¬ ration c noch eine Synkolatorkorporation zum neuen Synkolationsgesetz (G,N) führt, und dies in einem neuen subjektiven Aspekt S c in C , welcher S a und Sb übergeordnet ist und beide enthält (ähnlich wie C den Systemen A und B übergeordnet ist und beide umfaßt). S c braucht dabei weder in A noch in B enthalten sein, muß aber in C liegen. Für die metropho- rische und synkolative Korporation gilt also, wenn die Ergebnisse dieser Korporationen durch das Prädikat Y aus S c in C mit c bzw. (G,N) verknüpft sind, a q J b, |CS c |y,c und (f,m) j^ s ^ s | (g>,jf), |CS c |y,(G,N) . Andererseits bilden diese Metrophore und Synkolationsgesetze die allgemeinen Syntrizen ((£a) m) sowie ((c^ b) ja) und ((G c) N). Außerdem können die und { K - C -} gemäß c j,{ K - C *}={^ cj kom ' biniert werden und dieser kombinierte Korporator muß als Syntrixkorporator interpretiert werden. Die untere Zeile dieses Korporators gibt die metrophorische und die obere die synkolative Korporationsvorschrift an, derart, daß beide, nacheinander durchgeführt, alle Bestimmungsstücke von zwei Syntrizen miteinander korporieren, so daß die vollständigen Bestimmungsstücke einer neuen Syntrix als Ergebnis der Syntrixkorporationen entstehen, die wiederum durch das Prädikat Y aus S c in C mit einer Syntrix verknüpft sein kann. Formal wird dieser Sachverhalt durch die Beziehung beiden Korporationen w q <(C& b)ü>,|CS c |Y, <(Gc)N> ( 11 ) zum Ausdruck gebracht. Offenbar stellt die Syntrixkorporation den Funktorzusammenhang von zwei Syntrizen her, der wiederum eine Syntrix ist, die durch irgendein Prädikat mit einer anderen Syntrix verknüpft sein kann und somit einen Quantor bildet, der, weil es sich um die Prädikatver¬ knüpfung von Syntrizen handelt, das Kriterium des Universalquantors erfüllt, so daß alle Syntrix¬ korporationen der Form (11) Universalquantoren bilden können. Seite 46 3.2. Totale und partielle Syntrixkorporationen Zunächst müssen die Totalkorporationen betrachtet werden, und von diesen die Totalkomposi¬ tionen. Gilt <(fa)m){cJ<($b)ij),||,<(gc)N>, wenn zur Kürzung |CSd i= 11 verwendet wird, dann bedeutet dies, daß die vom metrophorischen Kompositionsgesetz C m ausgewählten apodiktischen Elemente aus a und b zu dem neuen c zusammengestellt werden und daß weiter, die nach dem S synkolativen Kompositionsgesetz C s ausgewählten Glieder der Komplexsynkolatoren f und cg den komponierten Komplexsynko- lator g bilden, der auf c in der Gliederfolge N der Synkolationsstufen einwirkt. Hat a den Durchmesser p und b den Durchmesser q , und werden aus a durch C m insgesamt p^ < p und aus b insgesamt q>„ < q Elemente komponiert, so hat c den Durchmesser px + qx < p + q . Nur für p>„ = p und q>. = q wird p>„ + q>. = p + q , d.h. die Komposition C m kann in zwei Schritten durchgeführt werden, nämlich eine totale Kooperation zu einem Metrophor vom Durchmesser p + q und eine anschließende Kontraoperation , welche p + q - p>. - q>. Elemente dekomponiert, was c vom Durchmesser p,. + q^ liefert. In ganz entsprechender Weise kann C s des Synkolators in mehreren Stufen durchgeführt werden. Wird die kompositive Korporation rein synkolativ, so wird, wenn a ^ b nicht identisch sind, dieser Vorgang zweideutig, denn die Komposition g kann sowohl auf a als auch auf b einwirken. Gleiches gilt für eine rein metrophorische Komposition C m , denn dann kann sowohl f als auch (j) den kompo¬ nierten c synkolieren. Eindeutige Korporationen gibt es in diesen beiden Fällen also nur für a = b mit p = q oder für (f,m) = (cj>,ja) in den Formen <(f a) m> j C s J <(£ ä) g), 11, <(g a) N) oder Seite 47 <(f a) m> ((fb)m),||,((fc)m). Ganz analog liegen die Verhältnisse bei den Totalkoppelungen. Hier werden sowohl die Synko- latoren als auch die Metrophore durch synkolative oder metrophorische Koppelungsvorschriften K der Konflektorknoten (in Analogie zu den Kompositionsvorschriften C ) gekoppelt. Für <(fa) m>jj^ J<(cgb) M >,||,<(gc)N) bzw. für die rein synkolative oder rein metrophorische Koppelung sind den Totalkompositionen analoge Sätze gültig. So wird für j^ s j bzw. j die Korporation wiederum zweideutig, wenn nicht die Metrophore, oder die Synkolationsgesetze der beiden korporierenden Syntrizen identisch werden. Haben a und b die Durchmesser p und q , dann gilt für c der Durchmesser X, wenn im j Fall die Koppelungsvorschrift K m aus X Konflektor¬ knoten besteht. Existiert dagegen noch C m , dann kommt es durch diese metrophorische Kompo¬ sitionsvorschrift noch zur Komposition von p + q - 2X Elementen, so daß die reine Metrophor- koppelung zunächst in Form einer Koppelung und Komposition durchzuführen wäre, der eine Dekomposition der p + q - 2X Elemente ausschließt, so daß in c nur die X Koppelungs¬ größen übrig bleiben. Voraussetzung für diesen durch ir’ v . p i = )K I m 't den kompositiven Kontraoperatoren C m angedeuteten Korporationsvorgang ist (f,m) = (cg,ja), während für |^ s | stets a = b mit p = q gefordert werden muß, weil sonst die Korporations- K Probleme nicht mehr eindeutig sind. Im Fall braucht offenbar nicht der begriffliche Umweg über eine zusätzliche Komposition mit anschließender Dekomposition gegangen zu werden. Insbesondere wird es immer durch die wechselseitige Anwendung von Ko- und Kontraoperationen im Korporator möglich, den Gang einer Totalkorporation in eine Kette von Einzelkorporationen zu zerlegen, deren Glieder dann allerdings nicht mehr Totalkorporatoren zu sein brauchen, wie dies im Fall |k | ^ |k C j’(c } beispielsweise verwirklicht ist, denn im Gegensatz zu den Totalkorporatoren, die jeweils nur aus einer Art Korporationsvorschrift, also entweder K oder C ausgebaut sind, zeigen aus K und C aufgebaute gemischte Korporatoren, wie sie in den Zerlegungsketten auftreten, einen anderen universellen Charakter. Wegen der Eigenschaft, synko- Seite 48 lativ oder metrophorisch nur teilweise zu koppeln, und die übrigen Elemente zu komponieren oder umgekehrt, werden solche Korporatoren im Gegensatz zu den untersuchten kompositiven oder koppelnden Totalkorporatoren als partielle Korporatoren bezeichnet. Für die Syntrixkorporatoren sind die Fälle und jj£ q | reiner Synkolator- oder reiner Metrophorkorporation K C möglich, und zwar sind dies stets Sonderfälle der allgemeinen gemischten Korporation jjA q und zwar Sonderfälle in Form einer partiellen Korporation. Andere Sonderfälle des universellen K C„ Korporators j | sind die der rein kompositiven Totalkorporationen ü. C) C bzw. C„ oder die der rein koppelnden Totalkorporationen < ^ K K bzw. | . Diese Totalkorpora¬ tionen wurden im Vorangegangenen untersucht, doch ist diese ganze Gruppe von Korporationen fK„ C lediglich ein Sonderfall des Universalkorporators w s rf } , der nach Art der Beziehung (10) m J die Syntrizen verbindet. Ein anderer etwas universellerer Sonderfall dieses Korporators ist die Gruppe der partiellen Korporatoren, welche stets weniger als vier Korporationsvorschriften enthalten, aber aus koppelnden und komponierenden Anteilen bestehen. Für diese partiellen Korporatoren müssen die gleichen Fundamentalsätze gelten, wie für die totalen, doch ändern sich bei metrophorischen partiellen Prozessen die Metrophordurchmesser nach dem Gesetz p + q - X , welches oben abgeleitet wurde. Eine allgemeine Übersicht über die Korporationsarten ergibt sich durch die Definition des Begriffes der Korporatorklasse. Definiert man als Korporatorklasse die Zahl der im Korporator enthaltenen Vorschriften, die also den Wert 4 nicht überschreiten kann, dann ergibt sich für die Möglichkeiten einer Klasse die Zahl der vier Kombinationen zur betref¬ fenden Korporatorklasse, d.h., es kann nur einen Universalkorporator geben, weil der Universalkor¬ porator die Klasse 4 hat, und = 1 ist. Zur Klasse 3 gibt es dagegen ( 2 ) = 6 ’ von denen 4 partiell und 2 total sein müssen, während es zur ersten Klasse = 4 totale gibt. Neben den sechs möglichen Totalkorporatoren sind demnach noch acht partielle möglich, und alle diese vierzehn Korporatoren sind Sonderfälle der vierten Klasse. Die Korporationen der ersten Klasse können nicht eindeutig sein, wenn nicht hinsichtlich der korporierenden Syntrizen Identitäten der Metro-phore oder der Synkolationsgesetze existieren. In der zweiten Klasse sind die beiden Totalen und die Partiellen mit synkolativer und metrophorischer Korporationsvorschrift eindeutig, während K C. für die Formen { s s } bzw. n i wieder die Zweideutigkeit auftritt, wenn es zu keinen Identitäten kommt. Bei der dritten Klasse dagegen hegen wiederum nur eindeutige Korporatoren vor. Die Untersuchungen hinsichtlich der Ein- und Zweideutigkeit sind mit denen völlig identisch, die mit den Totalkorporatoren durchgeführt wurden, und zeigen, daß ein Korporator beliebiger Seite 49 Klasse zwischen 1 und 4 immer dann eindeutig ist, wenn in Bezug auf die synkolative und metrophorische Korporation mindestens eine Vorschrift gegeben ist. Der Korporator muß dagegen zweideutig werden, wenn entweder die synkolativen oder die metrophorischen Korporationsvor¬ schriften fehlen, denn dann liegt entweder ein Synkolator und zwei Metrophore oder ein Metrophor und zwei Synkolatoren vor. Aus diesem Grunde müssen die Korporatoren der vierten und dritten Klasse notwendigerweise eindeutig sein, die der zweiten Klasse können eindeutig sein, und die der ersten Klasse sind es auf keinen Fall. Wie dem auch sei, so sind doch stets die Klassen 1 bis 3 nur spezielle Sonderfälle der Klasse 4, derart, daß diese Klasse, also der Universalkorporator, alle Gesetze der Syntrixkorporation umfaßt. Die Kombinatorik der Syndromvollbesetzung einer Syntrixkorporation kann nicht allgemeingültig entwickelt werden, sondern hängt vielmehr vom speziellen Bau der korporierenden Syntrizen und dem Korporator ab. Hier sind die Gesetze der Syndromvollbesetzung und des Synkolationsverlaufes mit denen der Syntrixkorporation zu kombinieren, und diese Kombination ist dann dem jeweiligen Spezialfall anzupassen. Wie diese Kombinatorik der Syndrombesetzung und der Synkolationsverlauf einer Korporation auch immer beschaffen sein mag, so besteht prinzipiell die Möglichkeit eines Ausnahmefalles, bei welchem in der Korporation alle Syndrome leer bleiben. Sind die Syntrizen a] und E] in den Aspektivsys- temen A und B , aber die Korporation c| sowie die Konflektorknoten des Korporators und das Prädikat im System C gegeben, dann gibt es für c| , wenn ä\ und Bl sowie der Kor¬ porator so beschaffen sind, daß die Syndrome von c| leer bleiben, die folgende Möglichkeit: Entweder sind alle Syndrome der Ziffemfolge Y > 0 , also auch c leer, oder aber c , also Y = 0 ist vollbesetzt, und die Syndrome der Ziffemfolge Y - 1 sind leer. Für den ersten Fall, also leerem Metrophor c gibt es wiederum zwei Möglichkeiten, nämlich entweder ist der korporierte Metrophor c hinsichtlich C wirklich ein Metrophor, und dann kann c] überhaupt nicht existieren, weil ein leerer Metrophor bedeuten würde, daß einer Kategorie die Idee fehlt, so daß diese Kategorie überhaupt nicht definiert ist. Dies gilt auch dann, wenn die Syndrome Y - 1 trotz leerem c besetzt sind, denn diese Besetzung kann dann nur durch Synkolatorglieder zustande kommen. Die andere Möglichkeit liegt darin, daß c ohne Besetzung nur ein Pseudome- trophor ist, der hinsichtlich C keine apodiktischen Elemente enthält, und daher in c] nur die Eigenschaften eines leeren Syndroms Y > 0 hat. Der wirkliche apodiktische Metrophor Y = 0 muß dann, wenn c] überhaupt existiert, hinsichtlich des Prosyllogismus vor dem Pseudometro- phor liegen und voll besetzt sein. Damit ist aber der erste der beiden Fälle auf den zweiten reduziert worden, so daß nur noch Syntrixkorporationen mit den leeren Syndromen Y - 1 existieren kö nn en. Seite 50 Existiert c in a| { } Bl, 11 ,c] nicht, ist also Y = 0 leer, sind aber a| und Bl existent in A und B, dann kann der Korporator j j = |^ s q s | (Kürzung wie 11 = (CS c |y ) in C existieren. Ist dagegen cl existent in C , sind aber alle Syndrome Y > 1 leer, dann bildet cl wegen der leeren Syndrome die sogenannte Nullsyntrix !f|= (fern) , worin die Überstreichungen angeben, daß das komplexe Synkolationsgesetz so beschaffen ist, daß alle Syndrome Y - 1 in c| leer bleiben. Das Wesen der Nullsyntrix wird demnach beschrieben durch a| { }Bl,||,cl v c]= (fern) (11a) Diese Nullsyntrizen gestatten offenbar eine überaus vereinfachte Darstellung von Syntrixkorpo- rationen. Mit dem Begriff des metrophorischen Zirkels kann ein weitere Satz hinsichtlich der allgemeinen Syntrixkorporation der Form (10) entwickelt werden. Durch den Universalkorporator stehen drei Syntrizen aus im allgemeinen verschiedenen Aspektivsystemen durch ein Prädikat in einem syntro- metrischen Zusammenhang, der wegen des Syntrixcharakters die Eigenschaften eines Universal¬ quantors haben muß. Wenn die drei Syntrizen jedoch die Basis eines trizyklischen metrophorischen Zirkels bilden, dann gilt der gleiche Zusammenhang auf den Peripherien aller = 3 Zyklen, denn durch die Existenz des Trizyklus wurde der Universalquantor a] {}B], 11 ,c| begrenzt. 3.3. Pyramidale Elementarstrukturen. Das Synkolationsgesetz dürfte dann am allgemeinsten sein, wenn der Komplexsynkolator mehrfach asymmetrisch homometral wirkt und außerdem die Syndrome einer Homogensyntrix synkoliert. Derartige Homogensyntrizen müssen demnach die universellsten Syntrixformen überhaupt sein, so daß es zu untersuchen bleibt, ob und in welche Bestandteile eine solche kombinierte Homogen¬ syntrix mit mehrfach asymmetrischem homometralen Synkolator durch Anwendung kontraopera¬ tiver Korporatoren gespalten werden kann, denn diese letzten Spaltprodukte müssen syntrome- trische Elementarstrukturen sein, aus denen jede beliebige Syntrix durch Korporationsprozesse aufgebaut werden kann. Offenbar sind diese Korporatoren rein synkolativ |^ s ^ s | , weil das Synkolationsgesetz den Synkolationsverlauf der Syndrome bestimmt. Ist ((fa) m) eine solche Homogensyntrix, so besteht auf jeden Fall die Möglichkeit f als Ergebnis der Komposition aus Seite 51 einem pyramidal und einem homogen wirkenden Synkolator P und H mit den Synkolations- stufen mp und rn.H aufzufassen. <(f a) m), 11 , ((Ha) mn) ,||, (P_a mp) eine kombinierte Pyramidalsyntrix abgespalten werden kann. Ganz analog kann vom Homogen¬ fragment wieder eine Pyramidalsyntrix abgespalten werden, denn das Homogenfragment ist auch eine spaltbare Homogensyntrix. Das gleiche Verfahren kann dann auf den übrig bleibenden Homogenteil wieder angewendet werden, und dieses Verfahren kann nach der Schlußweise der vollständigen Induktion immer weiter fortgeführt werden, bis schließlich eine Nullsyntrix mit dem Metrophor a übrig bleibt, die aber immer als Pyramidalsyntrix mit leeren Syndromen aufgefaßt werden kann, da diese Nullsyntrizen nach (10a) eindeutig existieren, und der ganze Prozess inver¬ tierbar ist, weil zu jedem Kontraoperator ein Kooperator gehört (beide Begriffe sind relativ und daher vertauschbar), wird das Homogenfragment durch eine Folge synkolativer Korporationen <(ELa) mn) = (Pi a m p i) { } ... (p k a m pk ) {}...{} a] aus Pyramidalsyntrizen aufgebaut, woraus aber unmittelbar folgt, daß wegen <(f a) m) j D s l ((Ha) m H ), 11, 2 ist dieses erste Syndrom enthalten, so daß durch eine enthomogenisier- ende Dekomposition oder aber durch eine kontraoperative Entkoppelung der Synkolator aus den Syndromen Y > 1 eliminiert und mit ihm Y = 1 voll besetzt werden kann. Auf diese Weise kann demnach jede Homogensyntrix durch kontraoperative Korporatoren in Pyramidalsyntrizen aufgelöst werden. Die Umkehrung dieses Satzes, also der Aufbau beliebiger Homogensyntrizen aus Pyramidalsyntrizen mit Hilfe kooperativer Korporatoren, wird durch die Beziehung (11b) zum Ausdruck gebracht, deren Allgemeingültigkeit und Eindeutigkeit nachgewiesen worden ist. Zur Kombinatorik der Syndrombesetzungen dieser, eine Homogensyntrix aufbauenden Pyramidal¬ formen, kann keine allgemeine Theorie entwickelt werden, denn diese Kombinatorik hängt von der Wirkungsweise der synkolativen Korporatoren ab. Gibt es l 1 der Pyrami¬ dalformen mit n,, aber der Homogenform mit n H voll besetzt, und ist p die Vollbesetzung p des ersten Syndroms der Homogenform, dann gilt offenbar der Zusammenhang n H - p = y^n i , j=i wenn die kooperativen Korporatoren rein kompositiv so wirken, daß die pyramidalen Syndrom- Seite 53 besetzungen additiv zur Homogenform zusammengefiigt werden. Auf jeden Fall zeigt die all¬ gemeingültige Beziehung (1 lb), daß die Pyramidalformen syntrometrische Elementarstrukturen sind. Im Folgenden genügt es demnach stets ohne Einschränkung der Allgemeinheit kombinierte Pyramidalsyntrizen a] = (fa m) als syntrometrische Elemente zu betrachten. Eine allgemeine Pyramidalsyntrix wiederum ist hinsichtlich des komplexen Synkolationsgesetzes so aufgebaut, daß im allgemeinen die Besetzung irgendeines ihrer Syndrome aus homometralen und heterometralen Synkolationen mit symmetrischen und asymmetrischen Eigenschaften besteht. In völliger Analogie zur Entwicklung der Beziehung (11b) kann nun die allgemeine Pyramidalsyntrix a] in sogenannte pyramidale Elementarstrukturen durch kontraoperativ wirkende synkolative Korporatoren zerlegt werden. Eine solche pyramidale Elementarstruktur ist durch die Eigenschaft der Syndrom¬ besetzungen ausgezeichnet, jeweils nur Synkolationen einer Grundform zu enthalten. Nach der Synkolatortheorie, die eine Präzisierung der Funktortheorie darstellt, kann es aber nur vier synko¬ lative Grundformen, nämlich homometralsymmetrisch, homometralasymmetrisch, heterometral- symmetrisch und heterometralasymmetrisch geben, woraus unmittelbar folgt, daß es auch nur vier pyramidale Elementarstrukturen geben kann. In diese vier Elementarstrukturen ka nn aber in völliger Analogie zur Auflösung einer beliebigen Homogensyntrix in Pyramidalsyntrizen jede Pyramidalsyntrix aufgelöst werden, was mit Hilfe kontraoperativer Synkolationskorporatoren der ersten und zweiten Klasse möglich ist. Die Beweisführung sowie der Eindeutigkeitsnachweis laufen dabei der zur Beziehung (11b) führenden Entwicklung völlig parallel, was aber soviel bedeutet, daß der Auflösungsprozess umkehrbar sein muß, also jede beliebige Pyramidalsyntrix mittels Synkola- torkorporationen aus den vier pyramidalen Elementarstrukturen a] (k) mit 1 < k < 4 aufgebaut werden kann, weil zu jedem kontraoperativen Korporator ein inverser kooperativer existiert. Die Beziehung (11b) wäre demnach zu ergänzen durch al,ll,ald) {} 31(2) {} 31(3) {} 31(4) (11c) und dieser Zusammenhang charakterisiert zusammen mit (11b) einen Satz, der die pyramidalen Elementarstrukturen als die eigentlichen syntrometrischen Elemente charakterisiert. Jede Pyramidalsyntrix der Beziehung (11b) ka nn nämlich wegen (11c) als Korporation der Elementar¬ strukturen dargestellt werden, woraus der Satz folgt, daß jede beliebige Syntrix durch Synkolator- korporationen aus den vier pyramidalen Elementarstrukturen a| (k) mit 1 < k < 4 aufgebaut werden kann, wobei die Entscheidung darüber, ob eine Homogen- oder Pyramidalsyntrix entsteht, durch die speziellen Korporationsgesetze entschieden wird. Die allgemeinen Formen der Seite 54 Elementarstrukturen sind kombinierte Pyramidalsyntrizen, welche die natürlichen Formen einschließen. Außerdem wird eine Elementarstruktur immer (und zwar in jedem subjektiven Aspekt eines jeden Aspektiv-systems) durch eine mehrfach unendliche Schar von Pyramidalsyntrizen manifestiert, denn es müssen alle in dem betreffenden subjektiven Aspekt möglichen spezifischen elementaren Synkolator- und Metrophorformen in der entsprechenden Elementarstruktur zum Ausdruck gebracht werden. 3.4. Konzenter und Exzenter. Im Vorangegangenen sind Syntrixkorporationen mit metrophorischen Korporationselementen durchgeführt worden. Dies bedeutet, daß von zwei Syntrizen die Metrophore korporieren und die Synkolation der Syndrome einer solchen korporierten Syntrix wieder von dem neuen Metrophor ausgeht, das heißt, um die Metrophore der Ausgangssyntrizen liegen die Syndrombesetzungen konzentrisch, und die Korporation erfolgt derart, daß auch um den Metrophor der korporierten Syntrix die Syndrome konzentrisch synkoliert werden. Alle in dieser Art konzentrisch wirkenden Korporatoren j!5 s 5? s 1 werden daher als Konzenter bezeichnet, wobei die Eindeutigkeit des Korporatorproblems vorausgesetzt werden muß. Es ist nun noch der Fall denkbar, daß eine Korporation von a] mit b| zu einer c| anders verläuft, wenn ein metrophorischer Korpora¬ tionsanteil vorhanden ist, denn jedes Syndrom einer Syntrix könnte als Pseudometrophor aufgefaßt werden. Ist Y die laufende Syndromziffer als Argument des Synkolationsverlaufs, so ke nn ¬ zeic hn et Y > 1 die echten synkolierten Syndrome, so daß der Metrophor mit Y = 0 als 0 -Syndrom aufgefaßt werden kann. Y = 0 ist von Y > 0 dadurch ausgezeichnet, daß seine Besetzungen aus apodiktischen Elementen besteht. Läßt man die Forderung der Apodiktik fallen, so kann jedes Syndrom Y > 0 die Funktion eines Pseudometrophors übernehmen, d.h. es kann stets ein Korporator mit metrophorischem Anteil konstruiert werden, welcher das Syndrom k > 0 der al mit 1 > 0 der bl (im allgemeinen k ^ 1 ) pseudometrophorisch korporiert. Die zugehörige synkolative Korporation muß dann ebenfalls bei den Syndromen k und 1 aus al und b| beginnen, weil sonst in den Synkolationsverläufen 0 < Y < k aus a| oder 0 < Y < 1 aus H| wegen a ^ b keine Eindeutigkeit vorliegt. Ein metrophorischer Korporationsanteil muß bei dieser exzentrischen pseudometrophorischen Korporation immer vorhanden sein, mit der eine entspre¬ chende synkolative Korporation parallel läuft, wenn sich von den Syndromen k und 1 an die Synkolationsgesetze in a] und bl nicht decken, denn sonst kann keine Eindeutigkeit Seite 55 dieser exzentrischen Korporation vorliegen. (k) fK s C s ' 0) K kl C kl symbolisiert eine solche pseudometro- phorische Korporation, welche als exzentrisch bezeichnet wird, weil in a\ (k) { } (1) b], 11 ,c| die korporierte Syntrix c| für die Syndrome 0 < Y j < k,l aus a| und H| zunächst zwei getrennte Äste bildet, die nicht korporiert sind, während es erst in dem aus den Syndromen k und 1 gebildeten gemeinsamen Konflexionsfeld zur gemeinsamen Synkolation kommt. Im allgemeinen Fall ist k ^ 1 und die exzentrische Korporation regulär exzentrisch, während sie für k = 1 äquilongitudinal (bezieht sich auf die Argumentwerte k = 1 des jeweiligen Synkolationsverlaufes) wird. Für den Sonderfall k = 1 = 0 geht die äquilongitudinale exzentrische Korporation in die konzentrische über, woraus folgt, daß diese konzentrische Korporation k = 1 = 0 ein Sonderfall der Äquilongitudinalen k = 1 > 0 ist, während k = 1 wiederum eine Spezialisierung der regulär Exzentrischen k ^ 1 ist, woraus folgt, daß die regulär exzentrische Korporation die größtmögliche Allgemeingültigkeit hat. Alle in dieser Weise exzentrisch wirkenden Korporatoren S| “{>"> b], II, cl ( 12 ) werden als Exzenter und zwar k ± 1 als reguläre , aber k = 1 > 0 als äquilongitudinale Exzenter bezeichnet, die für k = 1 = 0 in die Konzenter übergehen. Die exzentrisch korporierte c| wird dabei als zweigliedrig konflexiv bezeichnet, weil die beiden nicht korporierten Synkolations- verläufe 0 < Yd < k,l erst im Konflexionsfeld zusammenlaufen. Wegen der Allgemeingültigkeit des regulären Exzenters sollen die im Folgenden verwendeten Korporatoren immer als reguläre (k) lK r 1 (1) Exzenter aufgefasst werden, weil die übrigen Korporatorarten Spezialfälle von S l K ki j sind. Diese exzentrische Korporation kann pyramidal, homogen oder gemischt verlaufen, d.h. korporiert nur das Syndrom k mit 1 , so ist das Konflexionsfeld pyramidal, was voraussetzt, daß die Syndrome k und 1 nicht leer sind. Im zweiten Fall des homogenen Konflexionsfeldes korporiert die Gesamtheit der Besetzungen aller 0 < Y < k Syndrome mit der aller 0 b ja) vor, dann ist, wenn a ^ b gilt, die Korporation hinsichtlich der Metrophore zweideutig, doch verschwindet diese Zweideutigkeit, wenn man die beiden Metrophore als die beiden Elemente eines metropho¬ rischen Pseudosyndroms auffaßt. Geschieht dies, und wirkt der korporierte Synkolator auf dieses metrophorische Pseudosyndrom ein, dann wird der Synkolationsverlauf in dem speziellen Fall dreiteilig, denn der korporierte Synkolator synkoliert eine Syndromfolge aus a , die andere aus b und eine dritte gemischt aus a und b . Da a und b ein metrophorisches Pseudosyndrom bilden, wird ein nicht eindeutig wirkender Korporator der Form { } (S ) als Pseudoexzenter bezeichnet, weil die drei Synkolationszweige exzentrisch um das metrophorische Pseudosyndrom hegen. Im entgegengesetzten Fall hegt ein zweideutiges aber metrophorisches Korporationsgesetz der Form (f_a m) { } (m) (g> b ja) mit (f,m) £ (g>,ja) vor. Hier korporieren die beiden verschie¬ denen Metrophore zu einem neuen, der ein Zentrum bildet, während die beiden nicht korporier- enden Synkolatoren um dieses echte Zentrum als Metrophor zwei konzentrische Syndromfolgen induzieren, so daß ein zweideutiger Korporator { } (m ) als Pseudokonzenter bezeichnet werden kann. Ein Pseudokonzenter muß also stets ein metrophorischer, ein Pseudoexzenter dagegen ein synkolativer Korporator sein, und beide Korporatoren dürfen höchstens zur zweiten Klasse gehören. Mit Hilfe des Pseudokonzenters und Pseudoexzenters besteht also die Möglichkeit, mehr¬ deutige metrophorische oder synkolative Korporationen der ersten und zweiten Korporatorklasse in eindeutiger Weise zu interpretieren und zu veranschaulichen. Seite 57 3.5. Syntropodenarchitektonik mehrgliedriger Konflexivsyntrizen. Offenbar kann stets eine regulär exzentrische Korporation der Form a|i w {}®a| 2 ,TT,a| 3 eine weitere Korporation angeschlossen werden, vorausgesetzt, daß die verbindenden Prädikate identisch sind, so daß die Substitution 5h (k) { } (1) ä| 2 (m) { } (n) a] 4 ,jy, a]s möglich wird. Auf diese Weise kann eine ganze Kette von Korporationen durchgeführt werden. Sind in einer solchen Korporatorkette 1 < i < N Syntrizen a|, zusammengeschlossen, und ist das Ergebnis dieser Korporatorkette durch das Prädikat 11 mit c| verknüpft, dann kann die Korporatorkette durch diese Symbolisierung dargestellt werden 2 : Ist das Prädikat eine Identität, dann ist c| grundsätzlich dann konflexiv, wenn mindestens ein Exzenter in der Kette liegt. Ist s < N - 1 die Zahl der Exzenter innerhalb der Kette, so ist c| notwendig, und hinreichend eine s + 1 -gliedrige Konflexivsyntrix. Für s = 0 gibt es also keine Exzenter, sondern nur Konzenter, d.h., für alle Korporatoren ist K, = 1, = 0 und cl wird ein- 2 Im Original steht hier ein Satzflagment: “ ... verknüpft, dann soll für die Korporatorkette die Symbolisierung” Seite 58 gliedrig konflexiv, also konzentrisch. Mithin sind die kombinierten oder natürlichen Syntrizen mit konzentrischem Synkolationsverlauf spezielle Sonderfalle der allgemeinen mehrgliedrigen Kon- flexivsyntrix, deren Konflexionsfeld^ r aber nur durch exzentrische Korporationen konzentrisch synkolierender Syntrizen entstehen können, umgekehrt besteht also immer die Möglichkeit durch geeignete Exzenter jede mehrgliedrige Konflexivsyntrix aus konzentrisch synkolierenden Syntrizen zu konstruieren, welche sich wiederum stets durch Konzenter aus den vier pyramidalen Elementar¬ strukturen aufbauen. Die anschauliche Bedeutung einer solchen Konflexivsyntrix ist die folgende: Sind die 1 < i < N exzentrisch korporierten Syntrizen a], alle konzentrisch, d.h. synkolieren die Syndrombesetzungen konzentrisch um die Metrophore a, , so müssen alle a, , wenn überhaupt keine konzentrischmetrophorische Korporation stattfindet, im gleichen Aspektivsystem liegen, d.h. jeder dieser Metrophore liegt über einem eigenen, auf das betreffende Aspektivsystem bezogenen Bereich und bildet die Idee des als syllogistisch orientierte Kategorie dargestellten Bereiches. Durch die rein exzentrische Korporatorkette werden aber diese Bereiche nicht in ihren apodik¬ tischen Elementen und den Syndromen 1 < Yi < k; korporiert, sondern erst in den höheren Syndromen Yi > k; , und zwar beginnt das pseudometrophorische Konflexionsfeld bei Yi = k* . Die Einzelglieder einer mehrgliedrigen Konflexivsyntrix sind demnach die nicht korporierten Fußstücke der Syntrix, welche als Syntropoden bezeichnet werden sollen. Diese Syntropoden bestehen aus dem jeweiligen Metrophor des Bereiches und den ersten Syndromen 1 < Yi < k, - 1 , wobei ki — 1 (letztes Syndrom vor dem Konflexionsfeld) die Syntropodenlänge des betreffenden Gliedes der Konflexivsyntrix angibt. Ist die Kette völlig exzentrisch, so bildet ein Abbruch der Kette nach irgendeinem Glied X" < N - 1 bereits eine Konflexivsyntrix, die wiederum mit den N - X" restlichen Syntrizen korporiert. Hieraus folgt aber notwendig und hinreichend, daß das konzentrische und exzentrische Korporationsgesetz allgemeiner Korporatorketten auch für Konflexivsyntrizen beliebiger Syntropodenzahl seine Gültigkeit behält. Aufgrund dieser Tatsache kann eine architektonische Klassifikation aller Syntrizen durchgeführt werden. Diese Klassifikation erfolgt nach der Syntropodenzahl und dem Synkolationsverlauf bzw. nach dem strukturellen Aufbau der Konflexionsfelder. Zunächst zeigt sich, daß eine Kette aus regulären Exzentem eine Konflexivsyntrix liefert, in welcher alle Syntropoden verschiedene Längen haben, während äquilongitudinale Exzenter zu identischen Syntropodenlängen führen müssen, die von 0 ver¬ schieden sind. Werden schließlich alle diese äquilongitudinalen Syntropoden mit 0 identisch, also alle k; = 1 , dann kann die Kette nur aus Konzentern bestehen, weil dann s = 0 , und die Syntrix eingliedrig konflexiv, also konzentrisch ist. Darüber hinaus ist aber für eine derartige Architektonik von Konflexivsyntrizen die Art der Exzenter der betreffenden Kette wesentlich. So können in ein und derselben Konflexivsyntrix pyramidale, homogen oder gemischte Korporationsanteile enthalten Seite 59 sein. Im gemischten Fall wechseln homogen und pyramidal korporierte Syntrizen ab, so daß also hinsichtlich der Syntropoden nur zwei Klassen architektonisch auftreten können. Alle pyramidal korporierten Anteile liefern Syntropoden mit vollbesetzten Syndromen. Bei homogener Korporation dagegen besteht die Möglichkeit, daß die höheren Syndrome der betreffenden Syntropode leer bleiben, weil der Syndromabschluß tiefer liegen kann als die syndromatisch nicht bestimmte Lage des Konflexionsfeldes. Zur begrifflichen Verfeinerung können Syntropoden homogener Korporationen auch als Syndrombälle bezeichnet werden, wenn der Syndromabschluß tiefer liegt als die Syntropodenlänge, die stets um den Wert 1 kleiner ist als die syndromatische Länge des Konflexionsfeldes. Der Begriff Syndromball wird dadurch gerechtfertigt, daß inn erhalb der Syntropode zwischen dem Syndromabschluß und dem Konflexionsfeld eine möglicherweise unbestimmte Zahl (mindestens 1) leere Syndrome liegt. In völliger Analogie zu den Pseudokonzentem und Pseudoexzentem können auch in Konflexivsyn- trizen Exzenter der ersten oder zweiten Klasse rein synkolativ oder rein metrophorisch wirken, so daß im Konflexionsfeld Mehrdeutigkeiten auftreten. Ist der Exzenter rein metrophorisch, dann liegt zwar das Konflexionsfeld eindeutig fest, doch bleibt in Analogie zum Pseudokonzenter das Synkolationsgesetz mindestens zweideutig, während bei synkolativem Exzenter das Synkolations- gesetz eindeutig wird, und die das Konflexionsfeld aufbauenden Syndrome zu einem vieldeutigen Pseudokonflexionsfeld überlagern, was wiederum zu mehreren Synkolationszweigen über dem Pseudokonflexionsfeld führt. Demzufolge wird die erste Gruppe von Exzentem als pseudokon- flexive Konzenter, die zweite dagegen als pseudokonflexive Exzenter bezeichnet. In den Korpora¬ torketten der Konflexivsyntrizen gibt es also grundsätzlich sechs Typen von Korporatoren, nämlich Konzenter, Exzenter, Pseudokonzenter, Pseudoexzenter, sowie pseudokonflexive Konzenter und pseudokonflexive Exzenter. Besteht die Kette (] nur aus einem Korporatortyp, und werden in ihr N > 1 Syntrizen korporiert, dann liegt eine N -gliedrige reine Korporatorkette vor. Die konzen¬ trische Kette, deren Korporatoren also nur Konzenter sind, kann immer nur eine konzentrische Syntrix sein, wenn die Glieder solche konzentrische Syntrizen sind, d.h., die Synthesen (12) und (12a) sind solche konzentrischen Ketten. Exzentrische Ketten dagegen ergeben grundsätzlich Konflexivsyntrizen, und zwar N -gliedrige, wenn die Einzelglieder konzentrische Syntrizen sind. Die entstandene Konflexivsyntrix hat dann stets N Syntropoden, die hinsichtlich ihrer Syntropo- denlängen regulär exzentrisch oder äquilongitudinal sein können. Liegt eine pseudokonzentrische Kette vor, deren Glieder konzentrische Syntrizen sind, dann ist der Metrophor der pseudokonzen¬ trischen Syntrix eindeutig, doch liegen über ihm N Synkolationszweige, von denen jeder einen eindeutigen Synkolationsverlauf kennzeichnet. Bei der pseudoexzentrischen Kette würde dagegen unter der gleichen Voraussetzung konzentrischer Glieder der Synkolationsverlauf eindeutig werden, Seite 60 während der Metrophor aus einem mehrgliedrigen metrophorischen Pseudosyndrom besteht, dessen Einzelglieder als Pseudosyntropoden mit der äquilongitudinalen Syntropodenlänge 0 aufgefaßt werden können. Dies bedeutet aber, daß es wiederum zu mehreren Synkolationszweigen kommt, und zwar ergibt sich die Zahl dieser Zweige kombinatorisch zu N + = -N(N +1) . Für die pseudokonflexivkonzentrische Kette gilt das gleiche wie für die exzentrische Kette, doch liegen hier über dem Konflexionsfeld der Vieldeutigkeit des Synkolationsgesetzes entsprechend insgesamt N Synkolationszweige, während bei der pseudokonflexivexzentrischen Kette zwar das Synkola- tionsgesetz jenseits des Pseudokonflexionsfeldes eindeutig ist. Das Konflexionsfeld dagegen wird 1 zum Pseudosyndrom, was wiederum -N(N + 1) Synkolationszweige über dem Pseudokonflex- ionsfeld ermöglicht. Im allgemeinen liegen keine reinen Korporatorketten vor, vielmehr sind alle sechs Korporatortypen in einer solchen gemischten Kette enthalten. Mit der selektiven Operation ();, al = ali wird also \~,a\, \ | ,cl wenn r-(( ), (kil { }< w () N-l i=l die gemischte Korporatorkette kennzeichnet. Offenbar können diese Ketten nur dann alle 6 Kor¬ poratortypen enthalten, wenn N - 1 > 6 ist. Offenbar wird die architektonische Struktur einer als Korporatorkette dargestellten Konflexivsyntrix hinsichtlich des Syntropodenbaues der Konflexions- feldstruktur und der darüber liegenden Syndrome ausschließlich durch die Natur der Kette und die Kettenglieder bestimmt, d.h. aus (13a) muß die gesamte Syntropodenarchitektur der mehrgliedrigen Konflexivsyntrix |~,a| hervorgehen. Zunächst muß festgestellt werden, daß die Gliedfolge in (13a) nicht kommutativ ist, denn eine Transposition von Gliedern würde stets eine Strukturänderung der Syntropoden und Konflexions- felder zur Folge haben, weil es auf Grund der Korporationsgesetze nicht belanglos ist, wie ein konzentrischer Anteil mit einem konzentrischen Korporator (Konzenter, Pseudokonzenter und Pseudoexzenter) an einen schon vorhandenen Konflexivanteil korporiert wird. Die Syntropoden- Seite 61 zahl wird im wesentlichen durch die Natur der konflexiven Glieder und die Zahl der exzentrisch wirkenden Korporatoren (Exzenter und die beiden Pseudokonflexiven) bestimmt, während der Syntropodenbau die Konflexionsfeldstruktur und der Verlauf der darüber liegenden Synkolations- zweige darüberhinaus noch von den konzentrischen Gliedern und den konzentrisch wirkenden Korporatoren bestimmt wird. Auch muß die spezielle Art der exzentrischen Korporatoren ihren Ausdruck in der Syntropodenarchitektonik finden. So bestimmt die Zahl der regulären und äqui- longitudinalen Exzenter, sowie die durch sie bestimmte syndromatische Lage der Konflexions- felder, die Verteilung der Syntropodenlängen und die Form der exzentrischen Korporation als pyramidal, homogen oder gemischt, die innere Struktur der Syntropoden, bzw. Syndrombälle, sowie die innere Struktur der Konflexionsfelder, während die Pseudoformen die Vielfalt der Synkolationszweige wesentlich gestalten usw. So mannigfaltig die Architektonik mehrgliedriger Konflexivsysteme nach (13a) auch i mm er sein mag, so gibt es doch grundsätzlich nur drei generelle architektonische Strukturen, nämlich die der Syntropodenverteilung, die der Konflexionsfeld- verteilung und die der Verteilung aller darüber liegenden Synkolationszweige. Neben dieser äußeren Architektonik beschreibt (13a) noch die innere Struktur der Syntropoden, Konflexions¬ felder und diejenige der über diesen Konflexionsfeldem liegenden Syndrome. Seite 62 4. Enyphansyntrizen 4.1. Syntrixtotalitäten und ihre Generativen. Die Elemente jeder Syntrixarchitektonik sind die pyramidalen Elementarstrukturen und die Gesamtheit aller deijenigen Formen, welche durch konzentrische Korporationen aus ihnen hervor¬ gehen. Die vier Klassen dieser Elementarstrukturen (es sind dies die eigentlichen syntrometrischen Elemente) können demnach Syntrixmannigfaltigkeiten erzeugen, die sich aus beliebigen konzen¬ trischen Syntrizen aufbauen, wenn irgendwelche Konzenter verfügbar sind, welche diese elemen¬ taren Formen der Pyramidalsyntrizen in beliebig vorgebbarer Weise korporieren. Ist A das zu Grunde gelegte Aspektivsystem und S ein zu ihm gehöriger subjektiver Aspekt, so kann eine beliebige Zahl von begrifflichen Bereichen auf A bezogen werden, derart, daß über jedem Bereich ein Metrophor hinsichtlich A steht. Zu jedem dieser Metrophore wiederum gibt es eine im allgemeinen unendliche Folge von pyramidalen Synkolationsgesetzen, deren Art von S ab¬ hängt, also eine im allgemeinen unendliche Folge pyramidaler Syntrizen. Da die Zahl der auf A beziehbaren Bereiche ebenfalls unbegrenzt ist, gibt es in A eine mehrfach unendliche Schar von Pyramidalsyntrizen, von denen jede einzelne wiederum in die vier pyramidalen Elementarstruk¬ turen destruierbar ist. Es entstehen auf diese Weise 1 < i < 4 unendliche Mannigfaltigkeiten P, von Pyramidalsyntrizen von jeweils einer Elementarform. Diese Pi seien nun jeweils linear zu Wertevorräten einer Elementarform angeordnet. Offenbar gibt es keine Korporatoren, welche irgendeine Relation zwischen diesen Elementarstrukturen in Form von Syntrixtransformationen ermöglichen, so daß die vier Wertevorräte P, eines S in A voneinander unabhängig sein müssen, denn wäre dies nicht der Fall, dann wäre auch der elementare Charakter dieser Pyrami¬ dalsyntrizen nicht gewahrt, was aber im Wiederspruch mit den Ergebnissen der vorangegangenen Untersuchungen über pyramidale Elementarstrukturen stünde. Demzufolge spannen also die vier Werte Vorräte Pi der Elementarstrukturen über S in A einen metaphorisch vierdimensionalen Raum auf, den sogenannten vierdimensionalen Speicher aller in S möglichen konzentrischen Syntrizen derart, daß jeder subjektive Aspekt eines Aspektivsystems über einen solchen Syntrix- speicher verfügen muß. Konzentrische Korporationen der pyramidalen Elementarstrukturen bauen aber jede beliebige konzentrische Syntrix auf. Gibt man also noch eine Anordnung von Q Kon- zentem vor, welche als Korporatorsimplex bezeichnet wird, so bezeichnet dieser Simplex mit dem vierdimensionalen Syntrixspeicher die Generative Seite 63 in A,S , denn die Q Elemente des Korporatorsimplex erzeugen durch Korporation der Elemen¬ tarformen des Speichers alle übrigen in A,S unter Verwendung des Simplex möglichen konzen¬ trischen Strukturen, d.h., diese Generative erfüllt eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit mit einer hinsichtlich des Simplex vollständigen Gesamtheit von Syntrizen, also mit einer Syntrixtotalität. Zu jedem subjektiven Aspekt gehört zwar ein Syntrixspeicher, doch kann jeder Syntrixspeicher eine im allgemeinen unendliche Schar von Syntrixtotalitäten erzeugen, denn jeder Korporatorsimplex kenn- Q zeichnet in S die Generative einer Syntrixtotalität und für die Definition von { } (j) I gibt es in S im allgemeinen unendlich viele Möglichkeiten. Für die Wirkungsweise der Simplexelemente gibt es verschiedene Möglichkeiten, nämlich a) die endogene, b) die reguläre und c) die extrare¬ guläre. Im endogenen Fall erzeugen Korporationen des Simplex innerhalb eines P, wieder Pyramidalsyntrizen aus dem Wertevorrat , im zweiten und dritten also, dem regulären und extrare¬ gulären Fall, entstehen durch Anwendung des Korporatorsimplex beliebige konzentrische Syntrizen. Im Bilde der vierdimensionalen Metapher können die ( 2 ) = 6 Flächen zwischen P, und P k durch Korporation von je zwei Syntrizen aus P, und P k regulär belegt werden. Diese Belegung der sechs Flächen fällt Q -fach aus, da für jede Korporation nur ein Konzenter des Simplex benötigt wird und Q Konzenter im Simplex vorhanden sind. Die = 4 von P i; Pj, P k aufgespannten Kuben dagegen, werden durch Korporationen von jeweils drei Syntrizen aus Pj, P, und P k angefüllt, wozu zwei Konzenter des Simplex nötig sind, d.h., die Belegung dieser Kuben ist ^ j = y(Q _l ) -fach, korporativ nicht identisch, doch kommen noch Q korporativ identische Belegungsvielfache hinzu, weil die beiden Korporatoren auch identisch sein können. Schließlich verbleibt noch die Belegung des vierdimensionalen Gebietes durch Syntrizen, welche durch Korpo¬ ration von Elementen aus Pi, P 2 , P3 und P 4 entstehen. Zu diesen Korporationen sind drei Kon¬ zenter notwendig, derart, daß die Belegung dieses einen vierdimensionalen Gebietes Q^l Q ( = —(Q — l)(Q —2) -fach korporativ nicht identisch ist. Daneben gibt es noch korporativ v 3 y 6 \ 2 J zweifach identische Belegungsvielfachheiten, denn in dem Korporatortripel können zwei oder auch alle drei Konzenter identisch sein. Auf diese Weise ist der vierdimensionale Speicher regulär ausgefüllt worden, derart, daß alle so entstandenen konzentrischen Syntrizen das reguläre Syntrixgerüst der Totalität bilden. Darüber hinaus sind noch beliebige andere Korporatorketten mit 4 Q ermöglicht), Konzenter des Simplex möglich, welche ebenfalls Mannigfaltigkeiten von Syntrizen bilden und das reguläre Seite 64 Syntrixgerüst der Totalität extraregulär ergänzen. Während das reguläre Gerüst vom speziellen Bau des Korporatorsimplex abhängt und somit ein typisches Charakteristikum der Totalität darstellt, ist dies für die extrareguläre Ergänzung nur hinsichtlich der zur Diskussion stehenden Konzenter, nicht aber für die Belegung durch Korporatorketten der Fall. Für die Struktur einer Totalität gibt es grundsätzlich zwei Möglichkeiten, nämlich, entweder liegen in den vier Syntrixspeichem Pi die elementaren Pyramidalstrukturen überall dicht, d.h., die Verteilung längs der P, ist kontinuierlich oder aber diese Verteilung entspricht irgend einem Auswahlprinzip und ist infolgedessen diskret. Im ersten Fall ist die Syntrixtotalität selber konti¬ nuierlich, d.h, die Syntrizen innerhalb der Totalität liegen überall dicht, während dies bei der diskreten Verteilung nicht der Fall ist, denn solange der Simplexinhalt beschränkt ist, also nur eine endliche Zahl von Konzentem den Simplex aufbaut, kann ein endlicher Bereich der Totalität immer nur eine endliche Zahl von Syntrizen enthalten, wenn die Verteilung längs der P, diskret ist. Es gibt also grundsätzlich kontinuierliche und diskrete Totalitäten, welche aber noch bestimmte Extremfalle zulassen. Bei der kontinuierlichen und diskreten Form ist der Simplexinhalt beschränkt, und die P; sind unbegrenzt, aber entweder kontinuierlich oder diskret besetzt. Wächst der Simplexinhalt über alle Grenzen, d.h., ist der Simplex offen, dann wird bei kontinuierlich besetzten P; die Totalität hyperkontinuierlich begrenzt oder unbegrenzt, je nachdem, ob die P, begrenzt oder unbegrenzt sind. Die diskrete Totalität wird dann bei offenem Simplex diskret pseudokon¬ tinuierlich begrenzt oder unbegrenzt. Die real kontinuierliche oder real diskrete bzw. hyperkon¬ tinuierliche, oder diskret pseudokontinuierliche Totalität wird demnach auf die Begriffsbildungen der kontinuierlichen und der diskreten Totalität reduziert, wobei die Real- oder Pseudoformen erscheinen, wenn der Korporatorsimplex beschränkt oder offen ist. Jede Syntrixtotalität bildet also ein vierdimensionales Syntrizenfeld, dessen Struktur durch das reguläre Syntrixgerüst bestimmt wird. Dieses Syntrizenfeld kann kontinuierlich oder diskret sein, wobei im offenen Fall des Simplex immer ein syntrizenhaftes Feldkontinuum vorliegt, welches nur im beschränkten Fall des Simplex zu einem diskreten Syntrizenfeld werden ka nn . Die metaphorische Veranschaulichung einer Syntrixtotalität durch einen vierdimensionalen Raum hat tatsächlich nur den Wert einer Metapher, denn eine Syntrix ist sowohl qualitativ als auch quantitativ etwas grundsätzlich anderes als ein Punkt eines vierdimensionalen Raumes, es sei denn, man würde das den Punkt beschreibende Zahlenquadrupel als Metrophor auffassen, so daß die Syndrome von Funktionalwerten besetzt werden. Dies wäre der Ansatzpunkt einer anthropo- morphen Syntrometrie, doch muß auf diese Weise der Begriff des geometrischen Punktes wiederum qualitativ erweitert werden, woraus folgt, daß die vierdimensionale Syntrixtotalität niemals exakt aus einem vierdimensionalen Punktkontinuum hergeleitet werden kann. Diese Unmöglichkeit wird Seite 65 umso deutlicher, wenn man berücksichtigt, daß auf diese Weise auch der Punktbegriff im n -dimensionalen Raum anthropomorph syntrometrisch erweitert werden kann, und daß alle diese Syntrizen wiederum die Belegungen vierdimensionaler Totalitäten sind. Im Hinblick auf das spezielle anthropomorphe Aspektivsystem können die Syntrixtotalitäten noch in zwei Gruppen, nämlich Quantitäten und Qualitäten, gegliedert werden, wobei die Quantitäten solche Syntrixtota¬ litäten darstellen, welche im subjektiven Aspekt der rationalen analytischen Formallogik möglich sind, während die Qualitäten in den übrigen subjektiven Aspekten des anthropomorphen Aspektiv- systems als Syntrixtotalitäten liegen. Neben diesen allgemeinen vierdimensionalen Syntrixtotalitäten gibt es noch die drei Sonderfälle, bei denen 1,2 oder 3 Vorräte pyramidaler Elementarformen ausfallen. So entstehen die degenerierten drei-, zwei- oder eindimensionalen Totalitäten. Für die erste Degeneration gibt es = 4 Ausfallmöglichkeiten der einzelnen P,. Für die zweite Degeneration (zweidimensionale Totalität) gibt es = 6 Ausfallmöglichkeiten der zum Abbau ko mm enden Vorratspaare P,, Pj mit i ^ j und für die dritte Degeneration (eindimensionale Totalität) ( 3 ) = 4 Ausfallmöglichkeiten von Vorratstripeln P i; Pj, P k mit i^j^k . Neben diesen Degenerationen, deren drei Klassen insgesamt vierzehn Degenerationsmöglichkeiten umfassen, hat die vierdimensionale nicht degene¬ rierte Totalität universellen Charakter. Es bleibt noch zu untersuchen, wie sich die Nullsyntrizen in einer solchen Syntrixtotalität verteilen. Ist der Korporatorsimplex beschränkt, und in ihm kein Korporator enthalten, der in den einzelnen regulären Belegungen des Gerüstes eine Nullsyntrix erzeugen könnte, so kann es in der Totalität keine Nullsyntrizen geben, wenn in den Speichern der pyramidalen Elementarformen keine Null¬ syntrix enthalten ist. Da aber in diesem Fall das Syntrixgerüst keine Nullsyntrix enthält, und die extrareguläre Auffüllung der Totalität durch Korporationen des Simplex erfolgt, kann auch in diesem extraregulären Teil keine Nullsyntrix enthalten sein, woraus folgt, daß unter diesen Voraussetzungen die ganze Totalität von Nullsyntrizen frei bleibt. Wenn also der Simplex beschränkt ist und seine Korporatoren keine Nullsyntrix erzeugen können, dann kann es in der Totalität keine Nullsyntrizen geben, wenn zugleich die Speicher von Nullsyntrizen frei sind. Solche Nullsyntrizen sind dagegen in der Totalität vorhanden, wenn diese letzte Bedingung nicht erfüllt ist oder wenn es sich in der Generative um einen offenen Korporatorsimplex handelt, denn dann sind alle in dem zu Grunde gelegten Aspektivsystem möglichen Korporatoren zugelassen, was durchaus zur Erzeugung von Nullsyntrizen im regulären oder extraregulären Teil der Totalität fuhren kann. Alle Ausführungen können auch auf mehrparametrige primigene Äondynen ausgedehnt werden. So können primigene Äondynentotalitäten definiert werden, und zwar in völliger Analogie zu den Seite 66 Syntrixtotalitäten, denn jede primigene Äondyne kann als kontinuierliche, mehrparametrige unendliche Schar von Syntrizen, also als Bandsyntrix aufgefaßt werden, auf welche die Korporationsgesetze angewendet werden können, denn die Bandsyntrizen genügen den gleichen syntrometrischen Gesetzen wie die übrigen Syntrizen. Primigene Äondynentotalitäten zeigen aber neben der Belegungsstrukturierung der Syntrixtotalitäten noch eine von den primigenen Äondynen- verläufen abhängige Struktur. Nach der Theorie primigener Äondynen sind aber diese Äondynen nichts anderes als Syntrizen, deren Elemente Funktoren bestimmter syntrometrischer Parameter längs irgendwelcher Definitionsbereiche sind. Dies bedeutet aber, daß zu jeder Äondynentotalität ein mehrdimensionaler syntrometrischer Trägerraum gehört, welcher die Gesamtheit aller Para¬ meterwerte des Definitionsbereiches der Äondynentotalität enthält. Die Dimensionszahl dieses Trägerraums wiederum ist identisch mit der Zahl der Argumentparameter aller Äondynen innerhalb der Totalität. Hier gelten der Analysis ähnliche Gesetze von Unterräumen und Hyperflächen, in denen einzelne Äondynen definiert sein können, während die Korporationen in den übergeordneten Bereichen verlaufen. 4.2. Die diskrete und kontinuierliche Enyphansyntrix. Jedes Korporationsgesetz charakterisiert im Sinne eines Funktors die Verbindung von Syntrizen, die zu irgendeiner anderen syntrometrischen Form führt, derart, daß die durch die Prädikatrix eines subjektiven Aspektes vermittelten Funktorverknüpfungen stets den universellen Quantorcharakter haben. Offenbar gehören die so korporierten Formen nur dann als echte Elemente zur Belegung einer Syntrixtotalität, wenn sie eingliedrig sind, d.h., wenn das Korporationsgesetz Konzentereigen¬ schaften hat. So sei z.B. c] irgendeine Korporatorkette und \~ ein Konzenter, welcher cl mit irgendeiner anderen konzentrischen Syntrix korporiert, d.h., offenbar stellt aj, 11 ,cj | eine syntrometrische Vorschrift dar, welche aus irgendeinem Element bl der Totalität eine neue konzentrische Form, z.B. ßl im Prädikat || erzeugt, derart, daß ßl, ||,a],El gilt. Hierbei bedeutet äl,b|, daß die Vorschrift al in der Form c] \~ b] auf b] einwirkt. Da nur ein Element ( ßl) entsteht, wird al als eine diskrete Enyphansyntrix bezeichnet, wenn ßl zur gleichen Totalität gehört. Dies ist immer dann der Fall, wenn die Enyphansyntrix a| in derjenigen Totalität definiert ist, in welcher bl zur Belegung gehört. Wenn aber al in dieser Totalität definiert sein soll, dann muß offensichtlich cl zur Belegung und |~ zum Korporatorsimplex gehören. Diese diskreten Enyphansyntrizen sind demnach syntrometrische Funktorvorschriften mit Korporatoreigenschaften, welche aus einem Element der Totalität ein neues erzeugen. Dieser Seite 67 Begriff der einfachen diskreten Enyphansyntrix ist zu einer Erweiterung, nämlich der vielfachen diskreten Enyphansyntrix, fähig (n-fach), denn der Korporator könnte durch eine aus 1 < j < n Korporatoren bestehende Kette ( r,( )n ersetzt werden, was zur Wirkungsweise der n -fachen diskreten Enyphansyntrix al, 11,cl(rj( )]”vßl, ||,al,bl (15) führt. In dieser allgemeinen Form der diskreten Enyphansyntrix wird c| als ihr Stamm und (] n als Enyphankette bezeichnet, wobei die einzelnen Bauelemente |~j der Kette im allgemeinen orientiert sind. Liegt eine solche Orientierung des Kettenbaues vor, dann ist zwischen den inneren Korporatoren j < n und dem äußeren Korporator j = n zu unterscheiden, doch erübrigt sich diese Unterscheidung, wenn die beliebig permutiert werden können. Die n -fache Form a| kann nur in der Totalität definiert sein, wenn c\ zur Belegung und alle |~J zum Simplex gehö¬ ren. Gibt es 1 < i < N-l Konzenter i = K„ C. K m CL , welche N Syntrizen a| i+ i in Form einer Korporatorkette korporieren, so ist die Kette f], 11 ,(a|i H al i+1 ] eine konzentrische Syntrix, wenn die ä]i konzentrisch sind. Offenbar hängt f] von den N korporierenden a], ab. Gehören |~”j zum Korporatorsimplex einer Totalität mit kontinuierlicher Belegung, dann liegt auch f] in dieser Totalität, wenn die a|i zu ihrer Belegung gehören. Da in der kontinuierlichen Totalität die Syntrizen überall dicht liegen, besteht die Möglichkeit für beispielsweise 0 a^]k geht, worin %] k eine Syntrix mit leeren Syndromen ist. Diese n -1 < N Syntrizen mit leeren Syndromen können nun mit den zu Gi kontraoperativen G, 1 an die Glieder a| k der Kette korporiert werden, daß, wenn die n-l Glieder benachbart sind, die Kette zu in-l k+1 ll N-l n+1 wird. Bezeichnet man diese Kette mit F] , so kann in Bezug auf ?] ein kontraoperativer Kon- Seite 68 zenter e aus den Konzentem des Simplex gebildet werden, welcher ?] kontraoperativ mit f] korporiert. Offenbar gilt dann F| s fl —> 7| (leere Syndrome). Diese kontraoperative Korporation gibt nun offenbar eine infinitesimale Änderung der Kette f] hinsichtlich der überall dicht liegenden a| k der kontinuierlichen Totalität an. Dieser Prozess wird aber allein durch die G k und s bestimmt, so daß zur Kürzung dieser Prozess durch das Symbol (G k ,e]"=E dargestellt werden kann, wobei E eine Syntrixoperation ist. E,f] bedeutet also, daß E in der dargestellten Weise auf f] einwirkt, und dabei f] infinitesimal in der kontinuierlichen Totalität ändert, weshalb E auch als infinitesimale Enyphane bezeichnet werden kann. Die Einwirkung erfolgt, indem die Argumente al k mit den G k zu a^J k (näherungsweise) korporieren, und diese mit den Kontraoperativen zu G k an die a| k korporiert werden, so daß F] entsteht. Da nn wird mit s kontraoperativ f] korporiert, so daß Fle f],| |,E,f ]—> 7] gesetzt werden kann. Formal wird dieses Schema zusammengefaßt in: ^TT^.n^rvn^ Cs K m C m _ 0r s ( >];■ Seite 74 und diese an sich enyphane Vorschrift wird als Syntrixfunktor der Valenz r bezeichnet. 7| wirkt also auf die Folge a| s derart, daß gemäß f|,(sU;,TT,xi entsteht 3 . Aus dieser Darstellung folgt unmittelbar, daß der so definierte Syntrixfunktor nicht nur als Erweiterung der diskreten Enyphansyntrix aufzufassen, sondern darüber hinaus eine höhere Form des Synkolatorbegriffes darstellt, wodurch eine weit über den Syntrixbegriff hinausgehende Erweiterung der Syntrometrie angedeutet wird, denn so wie der Synkolator begriffliche Einzel¬ elemente im Sinne des Funktors zu höheren Syndrombesetzungen einer Syntrix synkoliert, so synkoliert der Syntrixfunktor seinerseits die Syntrizen einer Totalität zu einfachen oder höheren syntrometrischen Gebilden über dieser Totalität. Ist 1 - <5 - r die vorgegebene Folge der a] ? und kennzeichnet aj s mit 1 < s < r eine Permutation, dann ist im allgemeinen Fall des asymme¬ trischen Syntrixfunktors (analog dem asymmetrischen Synkolator) aber f1,(a1 s )[, \\',A\ mit 11 £ ||' der Prädikatrix. Wird dagegen trotz der Permutation 11 = 11' zur identischen Aussage, dann ist 7] symmetrisch in Analogie zum symmetrischen Synkolator. Schließlich besteht für den Syntrixfunktor der Valenz r noch die Möglichkeit, hetero- oder homometral zu erscheinen. Sind alle a[- voneinander verschieden, dann ist T] heterometral, doch wird 7| homometral, wenn es 1 < n < r identische Syntrizen in der Folge a] ? gibt. Ist dies der Fall ( n -fach homometral), dann ist die Funktorvalenz r nur eine Pseudovalenz, während die faktische Valenz nur r - n + 1 < r beträgt. Auch hieraus wird deutlich, wie der Synkolatorbegriff aus dem des Syntrix- fünktors hervorgehen kann. Baut sich T| nur aus konzentrischen Korporatoren des Simplex auf, und gehört cl ebenfalls zur Totalität, dann muß auch X] eine zur Totalität gehörende konzentrische Syntrix sein, woraus folgt, daß in diesem Fall der Syntrixfunktor in eine diskrete aber r -fach iterierte Enyphansyntrix übergeht. Voraussetzung hierfür ist allerdings, daß auch C zum Simplex gehört, denn dann bildet c|Ca|i ein Element der Totalität, welches mit \~\ des 3 Ich habe den Eindruck, dass nach “gemäß” etwas fehlt - im Originalmanuskript ist dort eine freie Stelle geblieben. Seite 75 Simplex ein weiteres Element a] 2 der Totalität korporiert usw., woraus schließlich folgt, daß auch Al zur Totalität gehört und 7 ] eine iterierte Enyphansyntrix ist. Die Syntrixfunktoren innerhalb der Totalität können demnach stets in Enyphansyntrizen aufgelöst werden. Ist dagegen cl konflexiv, also p -gliedrig, und sind die \~ q nicht mehr im Korporatorsimplex definiert ( q - 1 sind Exzenter), so ist auch 7 ] nicht mehr in Enyphansyntrizen auflösbar. Nun ist 7 ] eine Vorschrift, welche entweder aus Elementen der Totalität (wenn die a^ zu dieser gehören) ein syntrometrisches Gebilde erzeugt, oder aber syntrometrische Gebilde in höhere Form moduliert, dies dann, wenn die a| s solche Gebilde sind. Demnach ist ein Syntrixfunktor i mm er imstande, eine große Anzahl syntrometrischer Gebilde zu erzeugen, was auch zu erwarten ist, weil er in gleicher Weise als Erweiterung des Synkolatorbegriffes, wie auch des Begriffes der Enyphan¬ syntrix, aufzufassen ist. Sind z.B. N > r Gebilde vorgegeben, so kann 7 ] (wenn r seine Valenz ist) hieraus > 1 neue Gebilde im Sinne einer Synkolation erzeugen, wenn 7 ] symmetrisch und heterometral wirkt. Ist 7 | dagegen k < r -fach asymmetrisch, aber heterometral, so entstehen k!(^V, r )>l und für k = r schließlich k = ——— neue l r /\ k / \ r / (N-r)! Gebilde usw. Für N < r kann 7 ] nur homometral sein. Aus dieser Kombinatorik wird wiederum die Beziehung zur Synkolatorkombinatorik ersichtlich. Die Syntropodenzahlen der so entstehenden Gebilde hängen nicht nur vom Stamm, sondern auch von den Korporations¬ vorschriften und den korporierenden Gebilden ab. Der Sonderfall des durch fl,(äij;,n,xivfMc(( )r ? ( )J 1 (18) beschriebenen Syntrixfunktors der Valenz r ist, die r -fach iterierte diskrete Enyphansyntrix, weshalb der Funktor 18 auch als ein diskreter Syntrixfunktor bezeichnet wird, was eine Verfei¬ nerung des Begriffes Syntrixfunktor ermöglicht, denn neben den diskreten Enyphansyntrizen gibt es auch kontinuierliche Formen, was den heuristischen Schluß zuläßt, daß es auch ihre Erwei¬ terungen, nämlich kontinuierliche Syntrixfünktoren, geben muß. Bei der Beschreibung kontinuierlicher Syntrixfunktoren muß berücksichtigt werden, daß die Enyphanen, welche die Darstellung kontinuierlicher Formen ermöglichen, auf Grund ihrer Definitionen nur innerhalb einer Totalität existieren, und daß die Syntropoden der Gebilde in dieser Totalität stehen. Dies bedeutet aber nichts anderes als das Enyphanen, welche die Gebilde beein¬ flußen, aus der Totalität heraus durch die Syntropoden wirken. Ist also a] ? eine p -gliedrige Seite 76 Konflexivsyntrix, so können q < p Enyphanen £ Si; mit 1 < s < q zu einem Enyphanenkomplex zusammengefaßten Operationen E. (s s? jj* auf a| ? einwirken, oder anders ausgedrückt, auf die Elemente der Totalität, welche a| s bilden. Diese Einwirkung kann j -fach erfolgen. Gibt es nun Lr s ( )L vE i= E i( 8 d’ (m zu einem K-L -fach kontinuierlichen Syntrixfunktor der Valenz r . Auf diese Weise ist also das kontinuierliche Gegenstück zu (18) gegeben, so kann dabei jeder Enyphankomplex kombi¬ natorisch mehrfach wirksam sein, so daß T| im allgemeinen vieldeutig ausfällt. Auch der kontinuierliche Syntrixfunktor wird im speziellen Sonderfall zur kontinuierlichen Enyphansyntrix, die innerhalb einer Totalität definiert ist. Schließlich erscheint auch der Funktor (18) als Sonderfall von (18a), und (18a) wiederum ist wie (18) eine höhere Form des Synkolatorbegriffes. Offenbar erscheint nach diesen Ausführungen der Syntrixfunktor als Oberbegriff der allgemeinen Enyphansyntrix. Seite 77 4.6. Transformationen der Syntrixfelder. Die allgemeinsten syntrometrischen Gebilde sind nach dem Vorangegangenen beliebige Syntrix¬ felder in irgendwelchen Syntrixräumen. Diese Syntrixfelder können durch die Einwirkung allgemeiner Syntrixfunktoren auseinander hervorgehen, wobei jedes derartige Feld durch einen Syntrixraum und ein System von Korporatoren, dem Korporatorfeld, bestimmt wird, dessen Elemente nicht zum Simplex der Totalität zu gehören brauchen, und welches den Raum mit beliebigen Syntrizen ausfüllt. Wirkt nun auf die erzeugende Konflexivsyntrix des Raumes ein Syntrixfunktor, so kommt es zu einer Deformation dieses Raumes hinsichtlich der Syntrometrik, und damit zu einer Transformation des ganzen, von ihm aufgespannten Feldes. Auf diese Weise stehen dann die beiden Felder durch den Syntrixfunktor in einem transformatorischen Zusammen¬ hang, doch können durch den Syntrixfunktor auch r > 1 Felder zu einem einzigen Syntrixfeld zusammengefaßt werden, nämlich dann, wenn der Syntrixfunktor die Valenz r hat und r>l ist. Man kann demnach die Syntrixfunktoren in Transformationsgruppen einteilen, und die durch diese Gruppen erzeugten Syntrixfelder klassifizieren. Ganz offensichtlich sind drei Hauptklassen zu unterscheiden, nämlich die synthetisierenden, die analysierenden und die isogonalen Transforma¬ tionen. Im ersten Fall faßt der Syntrixfunktor r > 1 Felder entsprechend seiner Valenz zusammen, im zweiten Fall dagegen, löst er ein Feld invers in r Unterfelder auf, und im dritten Fall schließlich wird jedes Syntrixfeld in ein anderes transformiert, was nur für r = 1 möglich ist, und nur in diesem Fall kann eine Eindeutigkeit der Transformation existieren. Auch die Wirkungsweise der Syntrixfunktoren selbst ist dreideutig, und zwar kann der Funktor die Syntrometrik, also die erzeugende Konflexivsyntrix, beeinflussen (konflexiv) bzw. tensoriell wirken in Bezug auf das Syntrixtensorium (in beiden Fällen kommt es zur Transformation des Syntrixraumes, weshalb diese beiden Wirkungsweisen als raumeigen bezeichnet werden sollen), oder aber der Syntrixfunktor wirkt nur auf das Korporatorfeld, was einer feldeigenen Transformation entspricht. Es gibt demnach neun Transformationsklassen der Syntrixfelder, denn für jede der drei Hauptklassen gilt diese Dreideutigkeit. Kennzeichnet a* eine solche Transformationsklasse, wobei der erste Index die Haupt- und der zweite die Unterklasse angibt, dann sind alle Transformationsklassen der Syntrixfelder normal im Matrixschema ä = (aj k ) 3 enthalten, so daß nunmehr die Elemente dieses Schemas analysiert werden können. Die Eigenschaften dieser Transformationsklassen können kurz Umrissen werden. Seite 78 An: Synthetisierende Funktoren mit konflexiver Wirkung. Diese Transformationen erscheinen unter der Voraussetzung gleicher Syntropodenzahl regulär. An: Synthetisierende Funktoren mit tensorieller Wirkung vermindern die Dimensionszahl des Syntrixraumes, so daß diese Transformationsklasse singulär ist. Ai 3 : Synthetisierende Funktoren mit feldeigener Wirkung ändern den Syntrixraum dimensionell nicht und sind daher regulär. A 2 i: Analytische Funktoren mit konflexiver Wirkung können nur unter der Voraussetzung regulär wirken, daß alle Spaltprodukte die gleiche Syntropodenzahl haben, welche mit derjenigen identisch sein muß, welche das ursprüngliche Syntrixfeld gekennzeichnet hat. A 22 : Analytische Fu nk toren mit tensorieller Wirkung sind immer singulär, weil durch den Einfluß dieser Transformationsklasse die Dimensionszahl des Syntrixraumes erhöht wird. A 23 : Analytische Funktoren mit feldeigener Wirkung sind stets regulär. A 31 : Isogonale Funktoren mit konflexiver Wirkung, sowie die isogonalen Funktoren A 32 und A 33 mit tensorieller und feldeigener Wirkung können wegen ihrer Isogonalität ebenfalls nur regulär wirken. Hieraus wird ersichtlich, daß der die Indizierung 3 enthaltende Rand von ä nur reguläre Transformationsklassen enthält, weil durch den Einfluß der Syntrixfunktoren diese Klassen die Dimensionszahl des Syntrixraumes ungeändert bleibt ohne die Notwendigkeit zusätzlicher Voraussetzungen. 4.7. Affinitätssyndrome. Wenn es 1 < i < N beliebige Syndrome a], mit den Syndromziffem 1 < Yi < k gibt, und wenn außerdem noch irgendein System B existiert, derart, daß alle diese Syntrizen mit B in irgendwelchem korrelativen Zusammenhängen stehen, dann besteht die Möglichkeit, daß in dem jeweiligen Syndrom Yi der zugehörigen a|i insgesamt m-y, Synkolationen liegen, die tatsächlich mit B korrelieren, aber noch nicht die Vollbesetzung des Syndroms ausmachen, so daß es noch Synkolationen gibt, die keinerlei Affinität zu B haben. Insgesamt gibt es also N ki n = ^ ^ Synkolationen in dem Syntrizensystem ä], , die irgendeine Affinität zu B i=l Yi=l hinsichtlich der Korrelation haben. Anstatt die Wechselbeziehung des Syntrizensystems mit B zu untersuchen, genügt es also in diesem speziellen Fall, die affinitiven Synkolationen aus den Syntrixsyndromen herauszunehmen und zu einem hiervon gesonderten Syndrom S dieser affinitiven Synkolation in Bezug auf B dem sogenannten Affinitätssyndrom zusammenzufassen. Auf diese Weise wird die Korrelation einer Syntrizenmannigfaltigkeit mit einem System B auf Seite 79 die Korrelation des Affinitätssyndroms beschränkt, welches naturgemäß wesentlich weniger Elemente umfaßt. Dieses durch f 31: N kj X I I y m, i t i i=i V i= i J ( 19 ) vollständig beschriebene Affinitätssyndrom kennzeichnet demnach die Korrelation der Syntrizen- mannigfaltigkeit mit dem System B und muß als ein Pseudosyndrom angesprochen werden. Wenn allerdings auch apodiktische Elemente Yi = 0 Affinitäten zu B zeigen, dann besteht die Möglichkeit, das Affmitätssyndrom, welches nunmehr auch apodiktische Elemente enthält, zu einer Affinitätssyntrix im Sinne einer Pseudosyntrix auszubauen. In einer solchen Affmitätssyntrix kann es dann im allgemeinen keinen eindeutig definierten Synkolator geben, doch besteht grundsätzlich die Möglichkeit, sowohl den Affinitätssyntrizen als auch den Affinitätssyndrom eine Innenstruktur zu geben, denn es können immer Elemente gleichen Affinitätsgrades hinsichtlich B zu einem Untersyndrom zusammengefaßt werden, die wiederum in Analogie zum Episyllogismus eines Synkolationsverlaufs nach einer Änderung des Affinitätsgrades orientiert werden können. In diesem Falle läge also ein orientiertes Affinitätssyndrom vor, welches die Affinitätssyntrizen impliziert. Wenn es 1 < X < L genau definierte Affinitätsgrade gibt, derart, daß mit wachsendem X die Affinität hinsichtlich B steigt oder fällt und kennzeichnet m^i die zu einem Affinitätsgrad X L affmitiven Elemente, so, daß ist, dann kann grundsätzlich für das orientierte a.=i Affinitätssyndrom ^ ali N v m (^) Y i i=1 I Vi=o A=i (19a) geschrieben werden, weil hiervon die Affinitätssyntrizen impliziert werden. Seite 80 5. Metroplextheorie. 5.1. Der Metroplex ersten Grades als Hypersyntrix. Die Beschreibung der allgemeinen Syntrixfunktoren hat gezeigt, daß jeder synthetische Syntrix¬ funktor der Valenz r imstande ist, r Syntrizen, welche beliebig mehrgliedrig sein können, zu einer neuen Form eines höheren syntrometrischen Gebildes zu synthetisieren. Völlig analog spielt sich der Synkolationsvorgang ab. Ein Synkolator der Stufe m (dies entspricht der Funktorvalenz) synthetisiert m Synkolationen des nächsttieferen Syndroms zu einer neuen Synkolation. Diese Synkolatoreigenschaft des Syntrixfunktors legt eine radikale Erweiterung des Syntrixbegriffs nahe, denn allmählich, wie das Synkolationsgesetz einer Syntrix die Syndrombesetzungen aus begriff¬ lichen Elementen induziert, wäre ein synthetisch wirkender Syntrixfunktor denkbar, der Syndrom¬ besetzungen höherer syntrometrischer Gebilde aus Syntrizenmannigfaltigkeiten im Sinne einer Synkolation induziert. Da die Prädikatverknüpfung von Syntrizen grundsätzlich universelle Quantoreigenschaften haben muß, wäre das apodiktische Verhalten der Syndrombesetzung einer solchen Hypersyntrix evident. Wenn es 1 < i < N beliebige Syntrizen a|i gibt, die entweder zu einer Totalität gehören, oder aber als Konflexivformen mit ihren Syntropoden in dieser Totalität stehen, dann besteht offenbar grundsätzlich die Möglichkeit, diese N Syntrizen zu einem metro- phorischen Komplex a\ = (aji) N zusammenzufassen, weil alle Syntrixverknüpfungen Universal¬ quantoren sind. Diese N Syntrizen des Hypermetrophor a| können dabei über q < N ver¬ schiedenen subjektiven Aspekten definiert sein, denn es besteht kein Grund, warum alle Syntrizen zum gleichen subjektiven Aspekt gehören sollen, weil der synthetisierende Syntrixfunktor Syntrizen aus verschiedenen subjektiven Aspekten verbinden kann, vorausgesetzt, daß die ent¬ sprechenden Bauelemente des Funktors in allen diesen Aspekten definiert sind. Wenn also a über q < N subjektiven Aspekten des betreffenden Aspektivsystems A gegeben ist, dann umfassen diese q Aspekte ein begrenztes Untersystem B , welches auf jeden Fall von A impliziert wird. Nach den Untersuchungen über Syntrixfunktoren besteht immer die Möglichkeit, einen solchen synthetisierenden Syntrixfunktor beliebiger Valenz r überdemUntersystem B zu definieren. Wird die Valenz nur der Bedingung r < N unterworfen, und soll dies für alle weiteren Funktoren F gelten, die unmittelbar auf die Besetzung von a] einwirken, dann besteht weiter die Möglichkeit, in völliger Analogie zum allgemeinen Komplexsynkolator der den Synkolations- verlauf einer konzentrischen komplexen Syntrix bestimmt, einen Komplexsynkolator F mit der komplexen Synkolationsstufe r aus synthetisierenden Syntrixfunktoren zu konstruieren, wobei r_ den Valenzverlauf längs des Komplexes F von Syntrixfunktoren angibt. Dieser allgemeine aus Seite 81 Syntrixfunktoren aufgebaute Komplexsynkolator (F,r) kann nunmehr wie in einer gewöhnlichen Syntrix auf den metrophorischen Komplex a] einwirken, und die mit Syntrizen besetzten Syndrome einer Hypersyntrix synkolieren. Eine solche Hypersyntrix soll im folgenden als Metroplex, und zwar als Metroplex ersten Grades, bezeichnet werden, weil das Syndrom 0 ein metrophorischer Komplex ist, dessen Elemente gewöhnliche Syntrizen sind. Der so definierte Metroplex ersten Grades kann demnach durch ral=((F,a|)l)vals(ali) N ( 20 ) symbolisiert werden, wenn der allgemeine Fall des homogen wirkenden Synkolationsgesetzes vorliegt. Da jeder Metroplex ersten Grades aus konzentrischen und konflexiven Syntrizen aufgebaut ist, müssen hinsichtlich der Existenz und der Eindeutigkeit des Metroplex die gleichen Gesetze gelten wie für Syntrizen, denn wäre der Metroplex a nicht existent, dann dürfte auch in a] keine Syntrix existieren, und es dürfte auch keinen Syntrixfunktor geben, d.h., im ganzen Untersystem B könnte keine Syntrix konstruiert werden, was aber im Widerspruch mit der Voraussetzung stünde. Außerdem sind Prädikatverknüpfungen von Syntrizen nach der Quantor¬ theorie stets Universalquantoren, was wiederum für die Existenz des Metroplex evident ist, wenn in B ein Syntrixsystem existiert, welches a] ausfüllt. In völliger Analogie hierzu folgt die Eindeu¬ tigkeit des Metroplex aus derjenigen der Syntrix, und die Syntrixfunktoren des Komplexsynkola- 1 tors eindeutig wirken, dann muß auch [¥1 eindeutig determiniert sein, weil seine Bestimmungs¬ stücke eindeutig sind. Die Eindeutigkeit von a| und (F r) ist aber auf Grund der Syntrixtheorie unmittelbar evident, so daß auf diese Weise Existenz und Eindeutigkeit des Metroplex ersten Grades nachgewiesen worden ist. Da die Elemente eines jeden Metroplex ersten Grades, also die Besetzung aller Syndrome einschließlich des metrophorischen Komplexes (also der syntrizenhaften Idee dieser Hyperkategorie) beliebige Syntrizen sind, müssen metrophorische Koppelungen und Kompositionen eines Metroplexkorporators stets Syntrixfunktoren sein, unabhängig davon, ob dieser Korporator als Konzenter oder Exzenter zur Wirkung kommt. Die synkolative Koppelung und Komposition dagegen ist nur im Sinne einer Korporation von Syntrixfunktoren denkbar, weil die Metroplexsynkolatoren nur solche Syntrixfunktoren sein können. Allerdings muß bei der Metroplexkorporation der Korporator ebenfalls in B ausdrückbar sein. In der Metroplexkor- poration Seite 82 (20a) rin K s C s K m C m nh,iB|,fri 1 1 werden die beiden Metroplexe 1X1 und |X1 sowohl synkolativ als auch metrophorisch korpo- _ i riert und diese Korporation ist durch das Prädikat 11 aus B mit fei verknüpft, und diese Prädikatverknüpfung muß nach der Quantortheorie ebenfalls ein Universalquantor sein, weil jeder Metroplex aus einer Folge von Syntrizen aufgebaut ist und die Prädikatverknüpfung von Syntrizen oder Syntrixfunktoren immer Universalquantoren sind. Auf diese Weise wird aus der Beziehung 20a ersichtlich, daß unter Wahrung des universellen Quantorcharakters der Metroplexbegriff die eindeutige Erweiterung des Syntrixbegriffes ist. Analog den Syntrixkorporatoren gibt es, weil der Syntrixfunktor als Erweiterung des einfachen Synkolators aufzufassen ist, ko- und kontraoperative Korporationen. Da außerdem der Metroplex ersten Grades als Hypersyntrix aufgefaßt werden kann, besteht auch für ihn die Möglichkeit der Dekomposition und Entkoppelung und dies bedeutet, daß der Metroplex beliebiger homogener Natur (gemäß (20)) in eine Folge von Pyramidalstrukturen und ein Homogenfragment gespalten werden kann, wobei wie in der Syntrixtheorie dieses Homo¬ genfragment wiederum als Korporationsergebnis einer weiteren Folge von Pyramidalstrukturen aufgefaßt werden kann. Mithin trägt auch im Metroplex ersten Grades der pyramidale Synkola- tionsverlauf elementaren Charakter, und jeder pyramidale Metroplex muß wiederum in die Grund¬ typen pyramidaler Synkolation spaltbar sein. Wie in der Syntrixtheorie können die Korporatoren, da es sich um das gleiche Schema handelt, als Konzenter (gemäß (20a)) oder allgemeiner als Exzenter 1X1 (0 K s C s 1 H K m C m J nh,n,rxi (20b) 1 1 wirken, wobei das Syndrom 1 von |XI mit dem Syndrom m von pbl korporiert. Im Fall der Exzenter müssen also mehrgliedrige Konflexivmetroplexe entstehen, deren Syntropoden als Metroplexsyntropoden ersten Grades bezeichnet werden, weil die exzentrisch korporierten Metroplexe vom ersten Grad sind. Auf jeden Fall sind die Metroplexe ersten Grades sowie ihre konflexiven Formen syntrometrische Gebilde, welche nicht in der zu Grunde gelegten Syntrix- totalität definiert sind. Es läßt sich jedoch i mm er eine Syntrixtotalität durch Variation des Korpo- Seite 83 ratorsimplex konstruieren, derart, daß alle Metrophore a|, aus a| in dieser Totalität liegen, d.h., i [TI steht mit p > N Syntropoden in der betreffenden Totalität, wobei p = N nur dann erreicht wird (Syntropodenminimum des Metroplex), wenn a] keine Konflexivsyntrizen, sondern nur konzentrische Formen enthält. Neben der Zahl der Metroplexsyntropoden einer Konflexivform gibt es demnach noch die Zahl der Basissyntropoden eines Metroplex, die von der Zahl derjenigen Syntrixmetrophore bestimmt wird, durch welche die Metroplexsyntropoden, also die entsprechen¬ den metrophorischen Komplexe, aufgebaut werden. Der Metroplex ersten Grades ist demnach grundsätzlich über derjenigen Syntrixtotalität definiert, in welcher alle seine Basissyntropoden stehen, d.h., diese Totalität muß alle Syntrizen enthalten (zumindest die Syntropoden der Kon- flexivformen), welche im allgemeinen Fall die metrophorischen Komplexe der Konflexivformen aufbauen. Wegen dieser Analogie der Metrophore ersten Grades und Syntrizen, können letztere als Metro- plexe vom Grade 0 aufgefaßt werden, also ai^nn ( 21 ) was auch bei allen übrigen Begriffen der Syntrixtheorie durchgeführt werden kann. So würde z.B. die Syntrixtotalität als solche vom Grade 0 oder (T 0) zu bezeichnen sein usw. Die Syntrix- korporatoren sind solche vom Grade 0 , weil ihre Korporationsanteile alleinstehende Begriffs¬ elemente verbinden, während die Korporatoren der Metroplexe ersten Grades, weil ihre Korpora¬ tionsanteile im Sinne von Syntrixfunktoren Syntrizen korporieren, als Korporatoren ersten Grades bezeichnet werden können. Analog wäre der Synkolator einer Syntrix ein Syntrixfunktor vom Oten Grad (S 0) und der Syntrixfunktor als Synkolator eines Metroplexes, ein solcher vom ersten Grad (S 1) , weil die (S 1) die Synkolation der Metroplexe ersten Grades übernehmen. 5.2. Hypertotalitäten ersten Grades, Enyphanmetroplexe und Metroplexfunktoren. Da der Metrophor ersten Grades die konsequente begriffliche Erweiterung des Syntrixbegriffes ist, und im Prinzip an der Syndromstruktur, sowie am Synkolationsvorgang, nichts geändert wurde, könnte der Metroplex ersten Grades als eine Hyperkategorie, also als eine Kategorie von Kate¬ gorien, aufgefaßt werden, deren Idee der metrophorische Komplex ist. Diese Idee des Metroplex Seite 84 ersten Grades besteht demnach aus den N Syntrizen, also aus den N einfachen Kategorien, die durch irgendeinen Syntrixfunktor S 1 in wechselseitige Korrelation gebracht werden, derart, daß diese Korrelationen nach wachsenden Bedingtheiten geordnet, ebenfalls einen Episyllogismus ergeben. Elemente gleicher Bedingtheit bilden dabei die Besetzung einzelner Syndrome, so daß mit wachsender Syndromziffer wie bei der Syntrix der Grad der Bedingtheit anwächst und in Richtung wachsender Syndromziffer der Episyllogismus verläuft. In Richtung abnehmender Syndromziffer fällt demnach der Grad der Bedingtheit, so daß in dieser Richtung ein entsprechender Prosyllo¬ gismus ansteigt, der im metrophorischen Komplex, also der Idee des Metroplex, seinen Gipfel erreicht. Wenn also die Schemata des Metroplex und der Syntrix identisch sein sollen, dann muß gefordert werden, daß die Elemente von a\ nicht durch irgendwelche andere Syntrizen bedingt werden, d.h., es darf keinen Syntrixfunktor geben, und auch keinen Korporator, der irgendwelche andere Syntrizen b|k so miteinander verknüpft, daß auf irgendeine Weise die a], von a\ aus diesen b| k entstehen. Wäre dies nicht so, dann könnte durch dieses Funktorgesetz (F,r) ergänzt und die Folge der Syndromziffem entsprechend verändert werden, so daß ein neuer metro- phorischer Komplex entsteht. Da aber keine Aspekttransformation durchgeführt wurde, was im Sinne des Prinzips der Aspektrelativität möglich wäre, stünde dieses Verhalten der al; im Wider¬ spruch mit der Definition einer Idee als System von Elementen ohne wechselseitige Bedingtheiten. Auf diese Weise wäre also der Begriff der Apodiktik zu begrenzen, denn Prädikatverknüpfungen von Syntrizen sind Universalquantoren, so daß alle Syntrizen apodiktisch sind (also auch die Synkolationen der Metroplexsyndrome), doch müsste der metrophorische Komplex zugleich dem Kriterium der Idee als System von unabhängigen Elementen genügen. Diese Zusatzforderung ist im Fall des Metrophor einer Syntrix unwesentlich, weil apodiktische Begriffselemente bereits ihrer Definition entsprechend unabhängig sind, während die von Natur aus apodiktischen Syntrizen grundsätzlich wegen dieser Apodiktik einen metrophorischen Begriff bilden können, doch brauchen sie dabei nicht notwendig dem Kriterium der Idee zu genügen. Es folgt demnach der allgemeine Satz für den Metroplex ersten Grades: Die Syntrizen des metrophorischen Komplexes dürfen nicht durch andere Syntrizen bedingt werden, weil sonst dieser Metrophor nicht als Idee des Metroplex gewertet werden kann. Dieser Satz fordert zunächst grundsätzlich für die Basissyntropoden des Metroplex p = N , denn Konflexivformen müssen in a| ausgeschlossen werden. Von den zugelassenen konzentrischen Syntrizen wiederum ko mm en nur solche in Betracht, die durch keinen Konzenter aus anderen Strukturen erzeugt werden können, d.h., in al sind nur die pyramidalen Elementarformen zugelassen; denn jede andere konzentrische Syntrix ist die Korporation solcher Elementarstrukturen. Diese Elementarstrukturen p](k) mit l 1 Me¬ troplexen an einen metroplektischen Stamm ersten Grades korporieren kann, ist damit bereits ein Metroplexfunktor, also ein Syntrixfunktor zweiten Grades S 2 in diskreter Form gegeben, der selber ein Metroplex ersten Grades ist und über einer T 1 höhere Metroplexgebilde erzeugt, die mit ihren Metroplexsyntropoden in irgendwelchen Bereichen der T 1 stehen, im Gegensatz zu den Basissyntropoden, die nur im Speicher der T 0 liegen. Diese höheren Metroplexgebilde können dabei konzentrische oder exzentrische Konflexivmetroplexe sein, die hinsichtlich i hr er Syntropodenzahl, Syntropodenlänge und der metroplektischen Konflexivfelder der gleichen Klassifikation unterworfen sind wie die entsprechenden Konflexivsyntrizen über einer T 0 . Der so definierte Metroplexfunktor S 2 kann nunmehr, da auch der Nullmetroplex eindeutig definiert worden ist, zu einem kontinuierlichen Funktor erweitert werden, weil wegen der Existenz des Nullmetroplex ein Enyphanmetroplex auch in inverser Form, und damit eine Enyphane gegeben ist, die in völliger Analogie zum Syntrixfunktor an den diskreten Metroplexfunktor korporiert werden kann. Die durch die diskreten S 2 korporierten Konflexivmetroplexe können nicht zur T 1 gehören, weil im Korporatorsimplex nur Konzenter zugelassen sind, aber Konflexivformen nur durch Exzenter möglich werden, doch stehen alle diese Gebilde, wie schon gezeigt, mit ihren Metroplexsyntropoden in der T 1 , vorausgesetzt, daß das erzeugende Korporatorfeld nur auf Elemente der T 1 einwirkt. Da Funktoren der Form S 2 ebenfalls Metroplexe ersten Grades sind, unabhängig davon, ob es sich um diskrete oder kontinuierliche Formen handelt, können diese Seite 87 Funktoren auf irgendwelche vom Korporatorfeld induzierten Metroplexgebilde über der T 1 einwirken (die Elemente dieses Feldes gehören nicht zum Simplex), und auf diese Weise über der T 1 Metroplexräume und Metroplexfelder aufspannen. Für diese metaphorischen Räume und ihre Syntrometrik gilt dabei der gleiche Formalismus wie für die entsprechenden Syntrixräume und Syntrixfelder, denn der Metroplex ersten Grades ist nach der vorangegangenen Analyse nichts anderes als eine Erweiterung des Syntrixbegriffes, derart, daß es sich bei ihm um das gleiche formale Strukturschema handelt. 5.3. Der Metroplex höheren Grades i Das Synkolationsgesetz von [¥1 ist immer ein S 1 , also ein Syntrixfünktor und demnach eine i i _ Syntrix, so daß die Definition von Pal exakt in der Form Pal = < a.sij> geschrieben werden muß. Ähnlich wie a] = Pal mit dem S1 zum Metroplex 1. Grades [TI = erweitert 2 wurde, können diese Metroplexe mit dem metroplektischen S 2 zum pal verallgemeinert werden, denn der S 2 ist als Funktor nach dem Vorangegangenen ähnlich wie der Syntrixfünktor S 1 selber ein Metroplex ersten Grades, der beliebige Metroplexe zu höheren Metroplexgebilden korporieren und somit als Metroplexsynkolator ersten Grades aus einem metrophorischen Komplex wiederum Syndrome höherer Metroplexgebilde induziert, wodurch aber ein Metroplex 2. Grades 2 [TI definierbar wird. Diese Definition geschieht in folgender Weise: Immer können aus dem i Speicher der T 1 irgendwelche metroplektischen pyramidalen Elementarstrukturen m ä mit i l 1 < i < N entnommen und zu einem metrophorischen Komplex m = ( Pal ; ) N zusammengesetzt werden. Die Elemente dieses Komplexes können sich nicht gegenseitig bedingen, weil sie aus dem Speicher aller T 1 stammen und mit ihren Basissyntropoden im Speicher aller T 0 stehen. i Aus diesem Grunde kann fTl also als formale Idee aufgefaßt werden, weil zwischen den Eie- I menten keine Bedingtheiten auftreten können. Auf dieses System Pal kann ebenfalls ein System von Metroplexfunktoren S 2 im Sinne von Enyphanmetroplexen ersten Grades als allgemeiner i Komplexsynkolator [fI mit den zugehörigen Synkolationsstufen r (dies sind die Valenzen der Enyphanmetroplexe) einwirken, was zu Syndrombesetzungen mit höheren Metroplexgebilden ersten Grades führt, deren Grad der Bedingtheit mit wachsender Syndromziffer im Sinne des syntrometrischen Episyllogismus anwächst. Seite 88 Die Symbolik [1h = ( Hfl, [11,1.) sagt aus, daß die Metroplexe ersten Grades des Metrophors durch einen komplexen Metroplexfunktor ersten Grades synkolieren, und so die Syndrome eines Metroplex 2. Grades besetzen. Nach dem allgemeinen syntrometrischen Formalismus muß es aber 2 auch für diese [XI Konzenter und Exzenter geben, denn die Besetzungen aller Syndrome ein¬ schließlich des Metrophor sind Metroplexgebilde ersten Grades, die immer durch Funktoren der Klasse S 2 gekoppelt werden können, woraus unmittelbar folgt, daß allgemeine Korporatoren, 2 sowohl als auch ihre Inversen für IXI existieren müssen. Wenn dies so ist, dann muß es aber auch möglich sein, Korporatorketten dieser Metroplexe zu konstruieren, und dies bedingt wiederum 2 eine Spaltbarkeit dieser 1X1 in Elementarstrukturen, denn die Funktoren S 2 können wiederum nur homogen oder pyramidal einwirken, und bei jeder dieser Arten der Einwirkungen besteht wiederum die Möglichkeit der Homometralität, der Heterometralität sowie der Symmetrie und Asymmetrie. Es konnte im Vorangegangenen gezeigt werden, daß es analog den Nullsyntrizen auch Nullmetroplexe ersten Grades gibt, deren Existenz auf Grund der Metroplexdefmition unmittelbar aus der Existenz der Nullsyntrix hervorgeht. Diese Schlußweise kann nun weiter geführt werden, so daß die Existenz des Nullmetroplex ersten Grades unmittelbar die Existenz des Nullmetroplex zweiten Grades begründet. Wenn aber der Nullmetroplex zweiten Grades existiert und zugleich Korporatorketten konstruierbar sind, dann muß grundsätzlich die Möglichkeit der Spaltung eines 2 jeden 1X1 in pyramidale Elementarstrukturen möglich sein, die nicht mehr voneinander abhängen, weil alle bei diesen Operationen verwendeten eindeutig durch diejenigen der Syntrix- theorie bedingt werden. Diese Syndrome von sind also Syndrome, die mit Formen ersten Grades 2 belegt sind, d.h., diese Formen sind in Hfl assoziiert, woraus unmittelbar hervorgeht, daß 2 [XI niemals in der T 1 definiert sein kann, zumal die Synkolation bereits Konflexivformen sein können, von denen nur die Syntropoden in der T 1 stehen. Auf jeden Fall können aber mit den vier Klassen pyramidaler Elementarstrukturen zweiten Grades vier Wertevorräte gefüllt, und ein vierdimensionaler Metroplexspeicher zweiten Grades aufgespannt werden. Diesem Speicher kann dann wiederum irgendein Korporatorsimplex aus Konzentem zugeordnet werden, so daß die Generative einer Metroplextotalität zweiten Grades (T 2) entsteht. In dieser T 2 kö nn en wiederum Enyphanmetroplexe zweiten Grades definiert werden, und die exzentrisch korporierten Konflexivformen erzeugen syntrometrische Gebilde zweiten Grades, über der T 2 , welche mit ihren Metroplexsyntropoden im Speicher dieser T 2 stehen, denn diese Syntropoden gehören zu Metroplexen zweiten Grades der T 2 . Wenn aber solche Enyphanmetroplexe existieren, dann Seite 89 muß es auch Metroplexfunktoren S 3 geben, welche die Belegungen der T 2 , und insbe¬ sondere ihre Speicherelemente zu beliebigen Metroplexgebilden zweiten Grades synkolieren, wobei die S 3 der Funktordefinition entsprechend ebenfalls Metroplexe zweiten Grades sind. Insbeson¬ dere dann, wenn dieses Synkolationsgesetz zweiten Grades in beliebiger Synkolationsstufe auf ein apodiktisches System von Elementen aus dem Speicher der T 2 einwirkt, wird ein Metroplex dritten Grades entstehen, denn alle seine Syndrome sind mit Metroplexgebilden zweiten Grades und jeweils gleicher Bedingtheit belegt. Für diese Metroplexe dritten Grades müssen zwangsläufig die gleichen Gesetze gelten (i.B. auf die T 3, S 3, die Metroplexfelder und -räume usw.) wie für 3 den Metroplex zweiten Grades, denn 1X1 ist eine unmittelbare Konsequenz von T 2 und der 2 Möglichkeit der Korporation ihrer Belegungen. Da stets der Funktor S 3 ein fn und S 2 ein o sowie S 1 ein [f1=f| ist, bedingen sich die Metroplexe vom Grad drei bis zum Grad Null, wenn allgemeine Komplexsynkolatoren angenommen werden, im Sinne der Folge [a1= a] = (F,ä,r) Xl = (fTl,[al,r) Pal = < m,[a 1 , 1 ) Pal = < [XI, 1 X 1 , r) begründet T 0 und S 1 begründet T 1 und S 2 begründet T 2 und S 3 begründet T 3 und S 4 =nh 2 = [f\ 3 s |f1 Diese Folge kann nun nach der Schlußweise der vollständigen Induktion rekursiv fortgesetzt werden, so daß schließlich ein Metroplex beliebigen Grades n > 0 entsteht, was aber nach dem vollständigen Induktionsschluß bedeutet, daß auch ein Metroplex vom Grad n + 1 existiert. Diese Schlußweise ist immer möglich, denn nach dem Vorangegangenen bedingt eine T n für n alle n>0 stets die T(n+1) in allen Konsequenzen. Ein Metroplex [XI ist offenbar durch ein Funktorgesetz S n aus der Speicherbelegung einer T (n - 1) entstanden, und diese n T(n-l) hat auch den Funktor Sn definiert, der in [XI als Synkolator wirkt. Die Gesamt¬ belegung der T (n - 1) entsteht wiederum aus einer T (n - 2) , in welcher die Metroplexsyntro- poden aller Elemente der T (n - 1) stehen usw. Die rekursive Fortsetzung führt schließlich in die Seite 90 T 0 zurück, so daß hier, und zwar im Speicher der TO , die Basissyntropoden von [al stehen. Da es in der T 0 eindeutig die Nullsyntrix gibt, wird die allgemeine Enyphansyntrix, und schließlich der allgemeine Metroplexfunktor, mit enyphanen Eigenschaften möglich. Dies hat zur Folge, daß in allen Totalitäten T k mit 0 < k < n ein Nullmetroplex existiert, und das alle Metroplexe beliebigen Grades k in pyramidal synkolierende Anteile, und ein Homogenfragment gespalten werden können, welches wiederum auf die Einwirkung eines Metroplexfunktors auf einen Pyramidalanteil zurückgeht. Wie auch immer die Funktoren S k vom Metroplexgrad k - 1 beschaffen sein mögen, die das Synkolationsgesetz eines pyramidalen Metroplex vom Grade k ausmachen, es kann bei pyramidaler Synkolation nur homo- oder heterometral mit symmetrischen oder asymmetrischen Eigenschaften sein. Dies bedeutet aber, daß es auch für beliebige k > 2 immer nur vier pyramidale Elementarformen gibt, d.h., jede T k wird von einem vierdimensio¬ nalen Speicher aufgespannt. Schließlich sind auch die Korporatoren als Funktoren S (k + 1) vom k Grade k durch die Hfl definierbar, so daß auch für beliebige k ein Korporatorsimplex aus Konzentem zusammen mit dem vierdimensionalen Speicher die Generative der T k liefert. Die Belegungen der so entstandenen T k (auch der Nullmetroplex vom Grade k , nämlich k m gehört dazu), können beliebigen Exzentem und exzentrischen Funktoren S (k + 1) ausgesetzt werden, was zu mehrgliedrigen Konflexivformen über der T k führt. Diese Konflexiv- formen wiederum bedingen Metroplexfelder und Metroplexräume vom Grade k, welche einer deformierten Metrik gleichen Grades unterworfen sind. Im Fall k = n liegt die T n mit ihrem n vierdimensionalen Speicher pyramidaler Elementarformen Pal (p) (es ist 1 < p < 4 die Ziffer des jeweiligen Wertevorrates) in der T (n - 1) steht. Eine Korporation der Elemente von T n wird möglich durch Funktoren S (n + 1) vom Grade n und beliebiger Valenz. Ein solcher n Funktor kann schließlich als Komplexsynkolator S (n + 1) , entspricht m der Synkolations- stufe r und vorgegebenem Synkolationsverlauf, ausgebildet werden, der ein erstes Syndrom aus n den l0 formal eindeutig beschrieben werden ka nn . In diesem Metroplex sind offenbar 0 < k < n Unter- metroplexe der Grade k < n + 1 aus den T k zu einem übergeordneten Gebilde assoziiert, weshalb die Metroplexe vom Grad n > 0 auch als assoziierte syntrometrische Formen bezeichnet werden können. Aus dem Schema (24) wird unmittelbar der induktive Charakter der Schlußweise zu höheren Graden ersichtlich. Da der Metroplex nicht nur für n = 1 , sowie n = 2 und n = 3 , sondern auch für n > 3 und n+l definiert ist, muß diese Definition für alle ganzzahligen n n < co richtig sein. Es genügt mithin, die Formen fXI in und über einer T n zu untersuchen. Da es Korporatoren gibt, welche als Konzenter den Simplex der T n aufbauen, oder als beliebige Exzenter wirken, und da weiter diese Korporatoren die Elemente der T n verbinden, müssen die Korporationsglieder eines solchen Korporators jj^ s q s j vom Grade n aus Koppelungs- und Kompositionsanteilen vom Grade n - 1 bestehen, weil sie die Syndrombesetzungen der Metro¬ plexe vom Grade n verbinden, diese Synkolationen aber nach (24) vom Grad n - 1 sind. Korporieren zwei Metroplexe aus T n und ist diese Korporation durch eine Aussage mit einem dritten Metroplex gleichen Grades verknüpft, wie z.B. in Pal{ } I b 1, 11 ,Fc1 , dann ist zu untersuchen, in welchem Aspektivsystem oder Aspektivkomplex das Prädikat liegt. Hierbei ist zu berücksichtigen, daß alle Basissyntropoden für n > 0 in einer T 0 stehen, und daß diese verschiedenen T 0 über verschiedenen Aspektivsystemen definiert sein können. Da weiter alle Operationen für n = 0 auch für n > 0 möglich sind, können für n > 0 ebenfalls metropho- rische Zirkelschlüsse durchgeführt werden, was aber zur Folge hat, das alle Prädikatverknüpfungen von Metroplexen Universalquantoren sind, wie für n = 0 . Wegen dieses Charakters der Prädikat¬ verknüpfungen können aber die Funktoren, welche die Assoziation der 0 < k < n syntrometri- schen Formen ermöglichen, in mehreren Aspektivsystemen simultan existieren, woraus unmittelbar folgt, daß die T 0 aller Basissyntropoden tatsächlich in verschiedenen Aspektivsystemen n ** _ n liegen können. In Hfl { } I b 1, 11,Fel muß also das Prädikat in einem Aspektivkomplex liegen, der sich aus denjenigen Aspektivsystemen zusammensetzt, über denen die T 0 aller Basissyntro- 11 r^l 11 podenvon FTI{ } Ibl und Fel liegen. In jeder Tn gibt es konzentrische und exzentrische Korporatoren, also Korporatorfelder vom Grad n , welche nicht zum Korporatorsimplex gehören, und deren Korporationsglieder, wie schon erwähnt, vom Grad n - 1 sind. Aus solchen Korpora- Seite 92 toren können aber immer Korporatorketten entwickelt werden, welche einer ihrer Valenz ent¬ sprechende Zahl von Metroplexen der T n konzentrisch oder exzentrisch korporiert. Da immer ein Metroplex der T n als Metroplexstamm verwendbar ist, an den die Korporatorkette gekoppelt werden kann, ist auf diese Weise bereits ein diskreter Metroplexfunktor S (n + 1) als Metroplex vom Grade n definiert. Andererseits enthält die T n aber auch den Nullmetroplex, was einen enyphanen Metroplex, und damit einen kontinuierlichen Metroplexfunktor S (n + 1) mit seiner Inversen ermöglicht. Mit Hilfe dieser Funktoren können mehrgliedrige Konflexivformen über der T n korporieren, deren metroplexe Syntropoden vom Grad n in der T n stehen, während sich diejenigen der nächsthöheren Assoziation n + 1 im Speicher der T n befinden (hier wird der n Funktor gemäß S (n + 1) = fn zu einem Synkolator). Die mehrgliedrigen Konflexivformen über der T n , welche durch den Metroplexfunktor erzeugt worden sind, wenn er als synthetisierender Funktor wirkt, bilden höhere syntrometrische Gebilde vom Grade n , nämlich entsprechende Metroplexfelder und Metroplexräume, welche durch eine Syntrometrik vom Grad n geprägt werden. Wirkt dagegen dieser Metroplexfunktor als Komplexsynkolator (dessen jeweilige Synkolationsstufe durch die Funktorvalenz gegeben ist) nur auf die Speicherelemente der T n , dann ist damit nach 24 bereits das Element einer T (n + 1) gegeben, für welche nach dem Rekursionschluß die gleichen Gesetze gelten wie dir für T n . Wesentlich ist, daß die Elemente einer Metroplextotalität mit ihren Syntropoden grundsätzlich in dem vierdimensionalen Speicher einer Metroplextotalität stehen, deren Grad um 1 tiefer liegt. Durch diese assoziativen Metroplexe kommt es aus diesem Grunde zu einer syndromatischen Verschachtelung der Totalitäten. So bestehen die Syndrombesetzungen der Elemente einer T n oder über ihr definierten syntrometrischen Gebilde aus den Elementen der T (n - 1) oder ihren n syntrometrischen Gebilden vom Grad n - 1 usw. Dies bedeutet, daß jeder Pal sowohl eine graduelle, als auch eine syndromatische Architektonik hat. Dabei ist die graduelle Tektonik der Verlauf der inneren Baustruktur in Richtung des fortschreitenden Metroplexgrades. In Analogie zum Synkolationsverlauf in Richtung irgendeines Syllogismus könnte diese graduelle Strukturän- n derung als gradueller Verlauf der Tektonik bezeichnet werden, denn es gibt in fal immer 0 < k < n Strukturzonen von jeweils gleichem tektonischen Grad k , die sich aber untereinander unterscheiden und zwar durch den Grad ihrer Assoziation. Jede dieser Strukturzonen k muß außerdem noch eine zur graduellen Tektonik orthogonale syndromatische Tektonik aufweisen, welche mit dem Synkolationsverlauf der Syndrombesetzungen in der betreffenden graduellen Strukturzone des Metroplex identifiziert werden kann. Dieser als Syndromatik bezeichnete Verlauf der syndromatischen Tektonik ist also das direkte Äquivalent zum Synkolationsverlauf einer Seite 93 Syntrix. Ein jeder assoziative Metroplex n > 0 hat also eine duale Tektonik, die auf den assoziativen Charakter seiner Struktur zurückgeht. Ein weiteres Kennzeichen dieses Charakters ist die Existenz der Basissyntropoden in den T 0 (eventuell in verschiedenen Aspektivsystemen des Aspektivkomplexes), so daß jeder Metroplex als höheres syntrometrisches Gebilde über einem T 0 aufgefaßt werden kann, wodurch die ganze Metroplextheorie auf die syntrometrischen Elemente reduziert worden ist. Die Existenz dieser Basissyntropoden, also die Reduktions¬ möglichkeit auf die TO , ist eine unmittelbare Folge der Existenz der graduellen Tektonik. Ein anderes Charakterisktikum des assoziativen Metroplexes n > 0 ist die Tatsache, daß jede graduelle Strukturzone k aus Synkolationen besteht, welche in oder über einer T k liegen. Diese Synkolationen sind in den jeweiligen Strukturzonen in Form der zugehörigen syndroma- tischen Tektonik assoziiert, was wiederum die Bezeichnung assoziativer Metroplex rechtfertigt. 5.4. Syntrokline Metroplexbrücken Neben der assoziativen Form des Metroplex mit seiner dualen Tektonik ist prinzipiell noch eine andere Strukturform möglich. Ist a] irgendein Element einer T 0 , deren Syndromabschluß bei Y < oo liegt, so können von den 1 < Y - x Syndromen 1 < Y - k mit 1 > 0 und k < x zur Beschreibung neuer Metrophore verwendet werden. Diese Syndrombesetzungen liefern jedoch nur Pseudometrophore, denn in Bezug auf den subjektiven Aspekt, über welchem der Metrophor von a| apodiktisch ist, sind diese Syndrombesetzungen wegen ihrer Bedingtheit nicht apodiktisch. Allerdings können zu jedem der k-1+1 Syndrome Y ein System aus 1 < j < A/ transfor¬ mierenden Funktoren cpjy aufgefunden werden, welches in Xy - facher Weise die Besetzungen von g funktorisch zusammenfaßt, so daß k-1+1 Systeme apodiktischer Elemente cty nach dem Prinzip der Aspektrelativität entstehen. Die Funktorvalenz von cpjy darf jedoch niemals die Zahl der Syndrombesetzungen Y überschreiten, es sei denn, daß cpjy auch homometral sein darf. Jedes dieser Systeme besteht wiederum aus Yy - Metrophoren ö.y 5 S o daß aus den k k-1+1 Syndromen von al insgesamt SG Metrophore ö-y durch das Wirken der trans¬ formierenden Funktoren cpjy entstanden sind. Dieses nach dem Prinzip der Aspektrelativität definierte System transformierender Funktoren (pp/ werde als syntrokline Fortsetzung bezei¬ chnet, während die apodiktischen Systeme cry mittels der Fortsetzung ® syntroklin induzierte Metrophore sind, die aus den k-1+1 ausgewählten Syndromen von a| entstanden sind. Zu jedem Element bildet. Die syntrokline Fortsetzung, kombiniert mit entsprechenden Komplexsynkolatoren, hat also über jedem der k -1 + 1 Syndrome 1 < Y < k von a| ein System aus l mit o]y = ( a] p/ )r/ entstehen. Wenn dies der Fall sein soll, muß an ® die Forderung gestellt werden, daß die tx jY zusammen mit ( fpy, my) elementare Pyramidalformen aus dem Speicher einer TO bilden, denn sonst können die o]py keine metrophorischen Komplexe bilden. Geht i diese Forderung schließlich so weit, daß auch die k -1 + 1 Strukturen Pal Y im Speicher einer T 1 liegen, dann besteht immer die Möglichkeit, einen Metroplexfunktor S 2 als Komplex- synkolator m der Valenz p zu definieren und die Pal Y zu einem metrophorischen i i 2 i i Komplex ral Y = (ral Y ) k _ 1+1 zusammenzufassen, so daß nunmehr f~5l = < PfI , rötl, p ) ensteht. 2 Hier kennzeic hn et das Symbol Pal , daß dieser Metroplex zweiten Grades mit Hilfe einer syntro- klinen Fortsetzung aus den Syndromen von ä\ induziert worden ist, d.h., das Syndromsystem 0 2 1 < Y < k aus a] = Hfl wurde syntroklin zu Pal fortgesetzt. In Symbolen kann dieser Prozess der syntroklinen Fortsetzung eines Elementes der T 0 in dasjenige einer T 2 ausgedrückt werden durch P| - ^1 [ViY (£jY m jY ) 11 ly nh,p ]' . j=i Der so entstandene Metroplex zweiten Grades wird als einfacher syntrokliner Metroplex der Fort- Seite 95 setzungsstufe 2 bezeichnet, weil die graduelle Tektonik vom Wert 0 auf den Wert 2 ansteigt. Ohne weiteres kann von n = 0 abstrahiert und das Verfahren der syntroklinen Fortsetzung auf n n > 0 erweitert werden. Ist [TI konzentrisch so kann immer ein Funktor S n in der Form n-1 [cpljY als Element einer syntroklinen Fortsetzung und ein dazu gehöriges Synkolationsgesetz [Ci (I f l jY ,m ) aufgefunden werden, wodurch über dem Syndrom Y von [TI ein System von Ay neuen Metroplexen syntroklin induziert wird. Alle diese Metroplexe sind vom Grad n , so daß n wiederum k - 1 + 1 weitere Synkolationsgesetze ( m Y , lY ) möglich sind, die über jedem Syndrom Y von zwischen 1 und k einen Metroplex vom Grad n + 1 synkolieren. Dies n+l bedeutet aber, daß auch ein Metroplexfunktor S (n + 2) als Komplexsynkolator ([ 71 , p) n+2 existiert, der diese k -1 + 1 Metroplexe vom Grad n+l zum syntroklinen Metroplex [dfl assoziiert. Für diesen allgemeinen syntroklinen Metroplex der Fortsetzungsstufe 2 gilt demnach n+2 n-1 n-1 n+l R*1 = _[ (I 9 I jY ) (fTI jY , m jY ) ( [T1 y , r Y ) ([TI, £)] Y=1 IT1 (25) In dieser Definition der allgemeinen Fortsetzungsstufe 2 wird [TI als syntrokline Wurzel und die ausgewählten k -1 + 1 Syndrome Y als syntrokliner Ansatz innerhalb der Wurzel bezeichnet. Die innere Struktur dieses syntroklinen Metroplexes wird wesentlich durch das Verhalten der Ay bestimmt. Sind alle V/ > 1 , dann kommt es zu dem normalen Bau mit der Fortsetzungsstufe 2 .Gilt dagegen Ay=l für alle Y , dann gibt es nur k-1+1 syntroklin induzierte metrophorische Komplexe vom Grad n-1 , auf welche ein Sn - Synkolator einwirkt, so daß die gleiche Zahl k-1+1 von Metroplexen des Grades n entsteht, die, als metrophorischer Komplex, nur durch einen S (n + 1) - Synkolator zu einem syntroklinen Metroplex vom Grade n+l assoziieren. Wenn also alle Ay = 1 sind, kommt es zur Fortsetzungsstufe 1 . Schließlich gibt es noch die Möglichkeit, daß einige Ay = 1 , aber übrigen Ay > 1 sind. Auf diese Weise wird der syntrokline Metroplex mehrdeutig, denn die Syndrome mit Ay = 1 als syntrokline Ansätze können im Metroplexgrad n in vielfacher Weise mit den Metroplexen gleichen Grades, aber Ay > 1 assoziieren. Eindeutige syntrokline Metroplexe der Fortsetzungsstufe 2 gibt es also nur, wenn alle Ay > 1 und solche der Fortsetzungsstufe 1 , wenn alle Ay = 1 sind. In allen anderen Fällen liegt Mehrdeutigkeit vor. Jede höhere Fortset- Seite 96 zungsstufe N > 2 kann aus der syntroklinen Wurzel [TI nur dann entstehen, wenn der Fortset¬ zungsprozess iteriert wird. D.h., bei dieser Iteration entsteht eine syntrokline Kette einfacher Fortsetzungen derart, daß der syntrokline Metroplex des vorangegangenen Gliedes als Wurzel der n+N nächsten Fortsetzung benutzt wird, usw. Enthält das Symbol S die sogenannte syntrokline n Kettenkoppelung aller Angaben über die syntroklinen Ansätze und syntroklinen Fortsetzungen der einfachen Kettenglieder, dann wird der allgemeine syntrokline Metroplex einer beliebigen Fortsetzungsstufe N > 2 symbolisch dargestellt durch n+N [gl = n Mn) Y n- fal [ (1^1* j(n)= n+1 00 +“W (If^l, r Y ) (ff^l,p)]^ (n) (25a) Es werden demnach soviele einfache Glieder im Rahmen der Kettenkoppelung aneinandergesetzt, bis die Fortsetzungsstufe N > 2 entsteht. Ob N gradzahlig oder ungradzahlig ist, hängt davon ab, wie oft in der Kette die Fortsetzungsstufe 1 auftritt, vorausgesetzt, daß alle Kettenglieder eindeutig sind. Treten mehrdeutige Kettenglieder auf, so addieren sich alle Mehrdeutigkeiten im syntroklinen Metroplex der Fortsetzungsstufe N . Hinsichtlich der Metroplextotalitäten haben n diese syntroklinen Metroplexe eine besondere Bedeutung. Die Wurzel Pal einer solchen Form gehört zu einer T n , während das letzte Fortsetzungselement in einer T (n + N) liegt. Alle da¬ zwischen liegenden Glieder der syntroklinen Kette liegen in den Totalitäten von T (n + 1) bis n+N n bis T (n + N—1), so daß ral der Wurzel [al alle diese Metroplextotalitäten von Tn bis T (n + N) , also insgesamt N - 1 syntrometrisch überbrückt. Die syntrokline Kette, also der allgemeine syntrokline Metroplex der Fortsetzungsstufe N , durchdringt demnach alle zwischen n und n + N liegenden Totalitäten. Wegen dieser Eigenschaft, Metroplextotalitäten verschie¬ denen Grades zu überbrücken, erscheint es zweckmäßig, die Bezeichnung syntrokliner Metroplex nur für die Brückenglieder mit der maximalen Fortsetzungsstufe 2 zu übernehmen, und die allgemeinen Formen (25a) für N > 2 als syntrokline Metroplexbrücken zu kennzeichnen. Im Gegensatz zu den assoziativen Metroplexen sind die Korporationsgesetze syntrokliner Formen nicht mehr eindeutig bestimmt, denn weil jedes syntrokline Kettenglied in einer Totalität liegt und sich alle in den metroplektischen Graden unterscheiden, kann jedes Glied selbständig mit einem anderen Metroplex gleichen Grades korporieren. Die Deutigkeit einer Korporation syntrokliner Brücken ergibt sich aus der folgenden Untersuchung. Sind Hfl und I b I zwei syntrokline Seite 97 Formen, deren Wurzeln die Grade m und n haben, und geben die Ziffemfolgen 0 < k < p und 0 < 1 < q die laufenden Brückenglieder an, dann wird eine Korporation nur zwischen den Gliedern möglich, für welche m + k = n + 1 , also k - 1 = n - m ist. Die Zahl dieser zur gemeinsamen Korporation fähigen Glieder von zwei syntroklinen Metroplexbrücken ist dann die Deutigkeit der syntroklinen Korporation. Auch die Einwirkung von Metroplexfunktoren ist vieldeutig, weil ein solcher Funktor immer an den Metroplexgrad gebunden ist. Es ist jedoch möglich, daß ein synthetisierender Funktor höherer Valenz in einer Mannigfaltigkeit syntrokliner Brücken diejenigen Glieder gleichen und seinen Eigenschaften adäquaten Grades synkoliert, wobei die Zahl der so assoziierten syntroklinen Brücken von der Funktorvalenz bedingt wird. Bei der Korporation syntrokliner Brücken kann es auch zur Bildung von Konflexivformen kommen, denn die Korporation der Brückenglieder, welche der Korporationsbedingung (gleicher Metroplexgrad genügen), kann sowohl konzentrisch als auch exzentrisch erfolgen, so daß ein Konflexivfeld entsteht. Handelt es sich dabei schließlich noch um einen korporierenden Funktor im Sinne einer Korporatorkette, die auch Exzenter enthält, dann entstehen Konflexivformen syntrokliner Brücken, deren Syntropodenzahl von der Zahl der in der Kette wirksamen Exzenter abhängt. In Analogie zur Tektonik assoziativer Metroplexe muß es auch eine syntrokline Tektonik geben. Hinsichtlich dieser Tektonik gibt es nur eine Möglichkeit, welche sich auf die jeweilige Wahl der syntroklin induzier¬ enden Syndrome bezieht. Ist L im Intervall n < L < n + N irgendein Glied der syntroklinen Kette, in welcher es 0 < Yl < x L Syndrome gibt, von denen k L - 1 l +1 zur syntroklinen Induk¬ tion der nächsthöheren Stufe ausgewählt sind, so hängt die syntrokline Tektonik des Gliedes L von der Lage dieser induzierenden Syndrome ab. Die syntrokline Tektonik ist z.B. metrophorisch zentriert, wenn die Syndrome 0 < Yl < k L induzieren. Wird k L = x L , so ist sie total, für 0 < 1 L < Yl < x L peripher, für l L P > p in ihrer tektonischen Struktur. Im Fall 0 < ß < K ist das elementare Kombinat tektonisch partiell relevant von der Ordnung ß .Ist ß = 0 , dann ist es irrelevant, während es für ß = K totalrelevant ist. Offenbar setzt ß = 0 als Kombinatkorporator grundsätzlich einen Exzenter voraus, der die gesamte syntrokline Tektonik in der Syntropode des Brückengliedes läßt, während Konzenter grundsätzlich ß = K verursachen. Nur für p = n + N ist i mm er ß = 0 , denn hier hegt das Ende der Metroplexbrücke und damit das Ende der tektonischen Folge. Aus elementaren Metroplexkombinat , welches nur eine assoziative Struktur mit einer syntroklinen kombiniert, können offenbar durch passende Korporationsgesetze und Funktoren alle übrigen höheren Metroplexkombinate erzeugt werden. Charakteristisch für alle diese Varianten ist die exogene Verknüpfung von syntrometrischen Gebilden definiert in den einzelnen T p mit n < p < n + N durch syntrokline Metroplexbrücken, weshalb diese Kombinate als exogen Seite 99 bezeichnet werden. Tektonisch ist bei diesen Kombinaten zwischen der assoziativen und der syntroklinen Korporation zu unterscheiden. Eine exogen assoziative Tektonik liegt vor, wenn in den einzelnen T p assoziative Strukturen an das syntrokline System korporieren, oder wenn Funktoren S (p + 1) diese assoziativen Strukturen zusätzlich synkolieren. Die Tektonik ist dagegen syntroklin korporiert, wenn mehrere Metroplexbrücken des Kombinates durch syntrokline Korporatoren oder passende Funktoren verknüpft werden. Im allgemeinen ist die exogene Tektonik eines Metroplexkombinates gemischt, d.h., sie ist sowohl assoziativ als auch syntroklin korporiert. Eine andere tektonische Variante dieser exogenen Kombinate sind die einfachen und mehrfachen syntroklinen Transmissionen. Die einfache Transmission verbindet in einem Weg Metroplexgebilde in verschiedenen Totalitäten durch einen syntroklinen Brückenzug. Diese Transmissionsbrücken n+N n können graduell steigen, aber auch nach dem Anstieg fallen, TI verbindet z.B. [TI in T n n+N n+N mit IT1 in T (n + N) im Sinne einer steigenden Brücke. Es kann aber auch I b I existieren n+N n+N und in T (n + N) besteht die Korporationsmöglichkeit [TI { } Pb! . In diesem Fall ist also n n [TI und pbl durch eine erst steigende und dann fallende syntrokline Transmission in T (n + N) durch { } miteinander verbunden. Diese Transmission kann auch zyklisch werden, n n nämlich wenn es einen Exzenter gibt, der gemäß ITI { } 1 1 Pbl die beiden syntroklinen Wurzeln irrelevant korporiert. Diese Irrelevanz ist aber keine notwendige Bedingung. Ist die Korporation der Wurzeln tektonisch relevant, so bedeutet dies nur eine tektonische Änderung der Transmission. Alle relevanten Korporationen, die in dieser Weise tektonisch Femwirkungen in einem Metroplexkombinat verursachen, also sich nicht nur auf eine syntrokline Metroplexbrücke beschränken, werden daher als tektonische Koppelungen bezeichnet. Die mehrfachen syntroklinen Transmissionen sind die konsequente Erweiterung des Begriffes der einfachen Transmission. Jedes Brückenglied kann nämlich zur syntroklinen Wurzel einer weiteren Induktion werden, so daß auf diese Weise vieldeutig verzweigte syntrokline Metroplexe als rein syntrokline Kombinate entstehen. Wenn nun ein solches syntroklines Brückenkombinat als Transmission verwendet wird, so ist diese Transmission offensichtlich mehrfach, und zwar wird die Transmissionsziffer, also die Zahl der möglichen Metroplexanschlüsse, durch die Deutigkeit des syntroklinen Kombinats bestimmt. Die Transmissionsziffer t ist im Fall der einfachen Transmission t = 2 , denn im Fall der erst steigenden und dann fallenden syntroklinen Brücke oder des zyklischen Verlaufes wurden zwei einfache Transmissionen assoziativ korporiert. Bei mehrfachen Transmissionen ist stets t > 2 , so daß allgemein für die Transmissionsziffer t > 2 gilt. Alle diese exogenen strukturierten Metroplexkombinate sind dadurch charakterisiert, daß die syntroklinen Brücken in Richtung der Seite 100 syndromatischen Tektonik der assoziativen Strukturen verlaufen, denn stets beginnt die syntrokline Induktion in irgendeinem Syndromintervall, um in irgendeiner anderen Totalität an einen anderen Metroplex gekoppelt zu werden. Neben diesen exogenen Metroplexkombinaten mit assoziativen oder syntroklinen Korporationen bzw. einfachen oder mehrfachen Transmissionen und tektonischen Koppelungen wird noch die Definition eines endogenen Metroplexkombinates möglich. Die syntrokline Brücke führt stets von einer T n in eine andere höheren Grades, also sie überbrückt das vierdimensionale Tensorium einer assoziativen Struktur zu demjenigen einer Struktur höheren Grades. Im exogenen Fall erfolgt diese Überbrückung in Richtung einer syndromatischen Tektonik der assoziativen Strukturen, derart, daß voneinander verschiedene Strukturen im Kombinat mitei- n nander verbunden werden. Ein assoziativer Metroplex, z.B. [TI , steht mit seinen Basissyntro- poden im Speicher einer T (n - 1) und diese Pyramidalstrukturen in einer T (n - 2) usw., bis schließlich die letzten Syntropoden im Speicher der T 0 stehen. Da syntrokline Metroplex- n brücken stets Totalitäten verschiedenen Grades verbinden, muß in ITI auch eine innere , also endogene Metroplexbrücke, möglich sein, die im Gegensatz zur exogenen Form zwangsläufig in Richtung der graduellen Tektonik der assoziativen Struktur verlaufen muß. Die syntrokline Induk- n tion wird möglich, weil stets [TI aus den Elementen aller T p mit 0 < p < n besteht, wobei jeder Wert p eine syndromatische Tektonik kennzeichnet. Jedes Element einer jeden syndro- n matischen Strukturzone p von ITI ist offensichtlich zu einer syntroklinen Induktion fähig, wenn eine entsprechende syntrokline Fortsetzung für dieses Element existiert, und diese syntrokline Metroplexbrücke braucht nicht notwendig nach außen zu einem anderen assoziativen Metroplex zu greifen. Vielmehr besteht die Möglichkeit, daß die syntrokline Metroplexbrücke im Sinne einer n einfachen oder mehrfachen Transmission im Inneren von ITI bleibt, also in Richtung der gradu¬ ellen Tektonik der assoziativen Form (orthogonal zu den tektonischen Syndromzonen p ) Metro- n plexelemente der Zone p und der Zone q > p verbindet. Diese in ITI endogen verlaufenden n Brücken superponieren also der Struktur von ITI , so daß auf diese Weise auch ein Metroplex- kombinat, nämlich ein endogenes Metroplexkombinat entstanden ist. Ein solches Kombinat mit endogener Tektonik kann jedoch im Gegensatz zum exogenen Kombinat nur syntroklin korporiert, oder syntroklin unkorporiert sein, weil nur eine assoziative Struktur vorhanden ist, und diese sich nicht selbst korporieren kann. Syntroklin tektonische Koppelungen kann es ebenfalls nicht geben, weil die syntroklinen Wurzeln der endogenen Tektonik Syndrombesetzungen sind, die nur in vorgegebener Weise synkolieren können. Es besteht jedoch die Möglichkeit, daß einzelne Zweige mehrfacher Transmissionen exogen werden, so daß auf diese Weise ein syntroklinenhafter exogener Anschluß des exogenen Seite 101 Kombinats gegeben ist. Andere exogene Anschlußmöglichkeiten wären die assoziative Korpora¬ tion, oder die Induktion exogener syntrokliner Fortsetzungen. Zur symbolhaften Darstellung eines p solchen endogenen Metroplexkombinats werde angenommen, daß [bl die Wurzel einer n syntroklinen Brücke in der tektonischen Syndromzone p < n aus Hfl ist, und daß die syntro- kline Brücke bis zur Syndromzone p + q < n mit q > 0 läuft. Die syntrokline Brücke wäre dann P+q n P+q M I b I und die Schreibweise Hfl E N Pbl soll dann angeben, daß I b I mit p + q < n und n q > 0 in [TI endogen verläuft. Das Metroplexkombinat in elementarer Form mit endogener Tektonik wird demnach definiert durch: 6 n P+q fal = Pal EN fblvp + q0 (26) was zusammen mit (25) und (25a) explizit geschrieben werden ka nn . Die allgemeine Tektonik eines beliebigen Metroplexkombinates kann nach der vorangegangenen Beschreibung der tektonischen Elemente klassifiziert werden. Zunächst sind zwei tektonische Grundtypen von Kombinaten zu unterscheiden, nämlich die exogenen und die endogenen Strukturen. Die exogenen Strukturen wiederum können syntroklin offen verlaufen, d.h., von einem korporativen Komplex assoziativer Formen gehen syntrokline Metroplexe von den einzelnen syndromatischen Zonen aus. Diese syntroklin offenen Kombinate können wiederum assoziativ oder syntroklin korporiert sein. Eine andere Klasse exogener Formen ist aus syntroklinen Transmissionen zusammengesetzt, die ebenfalls assoziativ und syntroklin korporiert sein können. In jedem Fall liegt bei exogener Tektonik des Kombinates die Möglichkeit einer tektonischen Koppelung vor, durch welche die syntrokline Tektonik der Brücken verändert werden kann, was wiederum eine Rückwirkung auf die syndromatische Tektonik der assoziativen Strukturen hat. Im Gegensatz zu diesem exogenen tektonischen Grundtyp gibt es im Fall des endogenen tektonischen Grundtyps keine Möglichkeit einer syntroklin tektonischen Koppelung, denn während exogen die syntroklinen Brücken in Richtung der syndromatischen Tektonik verlaufen, geschieht dies im Fall der endogenen Strukturen in Richtung der graduellen Tektonik von nur einer assoziativen Form. Das allgemeine Metroplex¬ kombinat ist aus allen diesen Varianten gemischt zusammengesetzt. Beliebige Exogenformen mit offenen Syntroklinen, beliebigen Syntroklinentransmissionen, weiterhin in beliebigen assoziativen und syntroklinen Korporationszuständen unter dem Einfluß irgendwelcher tektonischer Koppelungen, stehen im syntroklinen Zusammenhang mit beliebigen endogenen Systemen. Die Seite 102 Wechselbeziehung zwischen solchen allgemeinen exogenen und endogenen tektonischen Systemen kommt dabei in dreifacher Weise zustande. Das endogene System kann durch einen Korporator mit dem exogenen System verbunden sein, oder aber seine Zonen syndromatischer Tektonik werden zu n syntroklinen Wurzeln. Schließlich besteht noch die Möglichkeit, daß in [TI die syntrokline n Brücke eine mehrfache Transmission ist, von welcher einige Zweige aus [TI hinauslaufen und so als syntrokline Metroplexbrücken in das exogene Kombinat eingreifen. Im allgemeinen Fall sind alle diese Möglichkeiten zugleich verwirklicht. Schließlich besteht noch die Möglichkeit, daß ein Syntroklinenbündel in einer T (m - 1) einen assoziativen Metroplex vom Grade m durchdringt, derart, daß einzelne Syndrombesetzungen Y > 0 oder einzelne Metrophorenelemente Y = 0 mit syntroklinen Glieder identisch sind. Im allgemeinen Fall ^>0 einer solchen Metroplexdiabatik sind die Fälle der metrophorischen (Y = 0) und der syndromatischen (Y > 0) Diabatik als Sonderfälle enthalten. Eine tektonische Koppelung würde im Fall Y = 0 den Metroplex ändern, während umgekehrt eine Änderung dieses Metroplexes bei Y > 0 eine tektonische Koppelung verursacht. Dies bedeutet aber, daß im allgemeinen Fall Y > 0 jede Koppelung durch die Metroplexdiabatik eine syntrokline Rück¬ koppelung zur Folge haben muß. Die Metroplexdiabatik ist also als ein weiteres tektonisches Element der allgemeinen Metroplexkombinate aufzufassen. Seite 103 6. Die televariante äonische Area 6.1. Mono- und Polydromie der Metroplexäondyne und ihre Telezentrik Jedes allgemeine Metroplexkombinat (assoziative und syntrokline Formen sind als Sonderfälle anzusprechen) kann grundsätzlich nach dem Vorangegangenen als höheres syntrometrisches Gebilde aufgefaßt werden. Dies bedeutet aber, daß die Basissyntropoden des ganzen Gebildes im Speicher T 0 stehen, d.h., es gibt l 2 entsteht, die folgerichtig in der Form (T 2 ) AR q = A R [(A R (q-1))^ (T,) r ?-i definiert ist, wenn TI und T2 die Telezentren der A R q sind. Die allgemeine Definition der Seite 108 Area lautet also: A R q = A R (A R (q - l)) Yq __ vARUAR fTl (t,)? ] (27) Aus dieser allgemeinen Definition geht hervor, daß eine Area q > 2 nur dann existieren kann, wenn alle Unterareale über dem gleichen Q -dimensionalen Tensorium definiert sind wie die pi Areale, (A R 1) Y d.h., auch für die ARq gilt die Parameterabhängigkeit vom gleichen Tensorium, so daß die Hauptarea in gleicher Weise dimensioniert erscheint wie alle Unterareale bis zu A R 1 . Diese Identität des Areatensoriums ist für alle äonischen Areale der Ordnung q > 1 charakteristisch. 6.2. Transzendenzstufen und Transzendentaltektonik Ist über irgendeinem Tensorium eine äonische Area beliebiger Ordnung definiert, dann gibt es innerhalb dieser Area stets M < oo monodrome äondynische Wege zwischen den Haupttele- zentren. Da jede dieser monodromen Partialäondynen ein Metroplexkombinat ist, laufen längs dieser Äondyne auch alle Synkolationen des Kombinats als Funktoren der Begriffsparameter des Tensoriums. Wegen dieser Struktureigenschaft der Area besteht aber grundsätzlich die Möglichkeit, daß in 2 < Y < N < M monodromen Läufen Affinitätssyndrome a-y isolierbar sind, die untereinander Affinitäten aufweisen. Wenn aber solche Affinitäten in Form von äondynischen Affinitätssyndromen ay in Bezug auf irgendeinen subjektiven Aspekt des betreffenden Aspek- tivkomplexes existieren, dann müssen die affinen Korrelationen grundsätzlich durch geeignete Metroplexfunktoren im Sinne von Synkolatoren ausdrückbar sein. Es muß also ein System von 1 < i < P Funktoren |~"j der Synkolationsstufe K, < N geben, durch welche die Korrelation der Affinitätssyndrome in der Form P(a Y )l‘ mit K < N ausdrücken. Hieraus folgt, daß jeder i- f N l Synkolator | i in v -facher Weise wirksam wird. Die so entstandenen Synkolationen sind offenbar ebenfalls monodrome Äondynenverläufe zwischen den Haupttelezentren, doch ist evident, daß diese aus den Affinitätssyndromen synkolierten Zustände nicht mehr zur ursprünglichen Area gehören sondern als transzendente Struktur über dieser verlaufen. Das mögliche System der fl hängt offenbar außer von den ay und N auch noch wesentlich vom Klassifikationsdiagramm p fN A der Area ab. Da die synkolierten Verläufe, von denen es insgesamt z (1) = ^ gibt, in Bezug l K; Seite 109 auf die ursprüngliche Area transzendent sind, werden die fl a ^ s Transzendenzsynkolatoren bezei¬ chnet. Zur Unterscheidung zwischen der synkolierten transzendenten Area und der ursprünglichen Struktur werde die A R q als Area der Transzendenzstufe 0 symbolisiert durch C (0 ) bezei¬ chnet, während die transzendente Form die Transzendenzstufe 1 haben muß. Dieses Transzen¬ denzfeld C(i) (A R q) in der ersten Transzendenzstufe wird durch das System der Transzendenz¬ synkolatoren erster Transzendenzstufe p = P ( i). synkoliert, von denen es nach dem Klassifika¬ tionsdiagramm 1 < i < P(i) gibt. Mit (1) wird also die Transzendenzstufe 1 bezeichnet. In der C(i) , also im Transzendenzfeld erster Stufe, kann es wieder Affinitätssyndrome geben, derart, daß von den Z m Verläufen des Feldes C ( i) insgesamt N ( i) 0 möglich, so daß über der A R q eine Folge von Transzendenzfeldem wachsender Transzendenzstufe hegt, was durch C( m ) (A R q) symbolisiert werden kann, wenn C (m) alle transzendenten Synkolationsgesetze im Intervall 0 < p < m der Transzendenzstufen enthält. Da bereits bei der Synkolation des Feldes C(i) (A R q) nur monodrome Äondynenäste mit Ausnahme der durch echte Nebentelezentren begrenzten Unterareale synkolieren, und sich dieser Prozess in allen m > 1 fortsetzt, gibt es in allen C (m ) (A R q) mit m > 0 im Gegensatz zur Area C (0 ) (A R q) = A R q neben den Neben- und Haupt telezentren weder Polydromiezentren noch Kollektoren, d.h., alle transzendenten Äondynen in monodromer Form divergieren für m > 0 von einem Telezentrum, um im anderen zu konvergieren. Der beschriebene Prozess der Transzendenzstufensynkolation bezog sich auf die Struktur einer A R q und trägt daher einen intrasynkolativen Charakter. Da Metroplexkombinate stets korporieren können, besteht grundsätzlich immer die Möglichkeit, verschiedene Areale durch Korporatoren in einen wechselseitigen Zusammenhang zu setzen, wodurch neue äonische Areale entstehen können. Bei dieser Korporation der Areale gehen also die korporierenden Areale wie bei der Korporation von Metroplexkombinaten in einem neuen Areal auf. Existieren jedoch diese verschiedenen Areale ohne korporativen Zusammenhang nebeneinander, so können doch, ähnlich wie bei der intrasynkolativen Erzeugung von Transzendenzstufen, zwischen den monodromen Äondynenverläufen verschiedener Areale Affinitäten existieren, so daß sich längs dieser Äondynen wiederum Affinitätssyndrome isolieren, welche durch Transzendenzsynkolatoren transzendente Äondynen in nächsthöherer Stufe synkolieren. Auf diese Weise kann es also zu einer extrasyn- kolativen transzendentalen Korrelation einzelner monodromer Äondynenverläufe verschiedener äonischer Areale kommen, die nicht im Sinne eines korporierenden Funktors der C ( o) wirkt. Derartige extrasynkolative Transzendentaläondynen, die verschiedene Areale transzendent Seite 110 verknüpfen können, sind in allen Transzendenzstufen möglich. Ist der Funktor r® ein Transzen- denzsynkolator, der in der Transzendenzstufe j extrasynkolativ wirkt, und sind C (k| (A R r) so wie C ( i) (A R s) zwei Areale mit intrasynkolativen Transzendenzstufen verschiedener Ordnung r s , und gibt es weiter in diesen Arealen innerhalb der Transzendenzstufe j jeweils eine Äon- dyne, die in Bezug auf die andere ein Affmitätssyndrom isoliert, dann wird offenbar die extrasyn- kolative Äondyne der Transzendenzstufe j + 1 beschrieben durch C (k ) (A R r) f”,, C© (A R s) , und hierauf wird unmittelbar evident, daß 0 < j < 1 gelten muß, wenn 1 < k ist. Sind k = 1 = 0 , dann ist die transzendente Äondyne der Transzendenzstufe 1 rein extrasynkolativ, doch ist sie gemischt für k > 0 und 1 > 0 , denn in diesem Falle hegen auch intrasynkolative Transzen¬ denzfelder vor. Hieraus folgt unmittelbar, daß rein extrasynkolative Transzendenzfelder nur in der Transzendenzstufe 1 auftreten können. Nach dem Vorangegangenen muß jedem äonischen Areal eine Transzendentaltektonik zugespro¬ chen werden, die intra- oder extrasynkolativ bzw. gemischt sein kann. Die gemischte Tektonik bildet offenbar ein Analogon zu den Metroplexkombinaten. Grundsätzlich existent ist in jedem Fall eine graduelle Transzendentaltektonik in Richtung der Transzendenzstufen, deren Verlauf von der Komplexstruktur der zur Anwendung gebrachten Komplexen der Transzendenzsynkolatoren abhängt und sich in die drei genannten Klassen unterteilt. Weiterhin gibt es eine hierzu orthogonale syndromatische Transzendentaltektonik, deren Verlauf von den jeweiligen Elementen des Komplexsynkolators bestimmt wird. Diese beiden Formen der Transzendentaltektonik gehen in der Transzendenzstufe 0 in die graduelle und syndromatische Tektonik derjenigen Metroplex- kombinate über, die als polydrome Äondynen der Area über dem betreffenden Tensorium aufspannen. Schließlich muß es noch eine zu den beiden ersten orthogonale telezentrische Transzendentaltektonik geben, deren Verlauf unmittelbar aus der Areastruktur C (0| und dem zugehörigen Klassifikationsdiagramm folgt. Die Begrenzung dieser telezentrischen Transzen¬ dentaltektonik erfolgt in jedem Fall, und für alle Transzendenzstufen durch die Lage der Telezentren der Area C (0 ) in dem Tensorium dieser Area. Diese drei tektonischen Richtungen kennzeichnen die tektonische Struktur, also die Architektonik des betreffenden Transzendenzfeldes, vollständig. Im Fall der extrasynkolativen Transzendenzfelder kommt es zu Transzendenzsyn- kolationen verschiedener Areale untereinander, d.h., die Individualität der Einzelarea geht in der Transzendentalstufe 0 in diejenige einer partiellen Struktur über, was auch für die Synkolation der höheren Stufen des Tranzendenzfeldes gilt. Eine Pseudoform extrasynkolativer Transzendenz¬ felder entsteht intrasynkolativ, wenn innerhalb der Area Unterareale existieren, die durch Neben- telezentren begrenzt sind. Diese Form der Architektonik wird immer dann erscheinen, wenn die Area eine Ordnung q > 1 hat. Seite 111 6.3. Tele- und Dysvarianten Jede Äondyne hat als Area im monodromen als auch im polydromen Fall eine dreifache Tektonik, nämlich graduell, syndromatisch und telezentrisch. Diese drei tektonischen Strukturen in ihrer Gesamtheit mit der Verteilung der Polydromiezentren nach dem Klassifikationsdiagramm bilden die Architektonik der Area mit ihren Transzendenzfeldem. Alle diese tektonischen Formen können beim Fortschreiten längs der Parameter Strukturänderungen stetig oder unstetig erfahren, d.h., die Area kann einer tektonischen Varianz unterworfen sein. Dies muß auch für jede Art der Trans¬ zendentaltektonik synkolierter Transzendenzfelder gelten. Offensichtlich nimmt die telezentrische Tektonik innerhalb der Area eine Ausnahmestellung ein, denn sie muß als Folge der telezentri- schen Polarisation nach den Telezentren orientiert sein, so daß immer die graduelle und syndroma- tische Tektonik auf die telezentrische zu beziehen ist. Diese telezentrische Tektonik wird durch die Änderung der Zahl der syndromatischen Strukturzonen bestimmt wenn die Parameter des Tensoriums von einem zum anderen Telezentrum durchlaufen werden. Ändert sich diese telezen¬ trische Tektonik, also die Zahl der syndromatischen Strukturzonen, nicht, so ist die betreffende Area televariant, denn die Synkolationsverläufe in der syndromatischen Tektonik, sowie der Verlauf in der graduellen Tektonik, können sich ändern, doch ist die Änderung (welche als Sonder¬ fall auch ausbleiben darf) bereits durch die konstant bleibende telezentrische Tektonik lamellenhaft vorwegbestimmt, weil die Area ein telezentrisch polarisiertes Äondynenpanorama ist. Aus diesem Grunde wurde der Begriff der Televarianz geprägt. Diese Televarianzbedingung ist aber nur dann vollständig erfüllt, wenn sie für alle Äondynenstrukturen der Area gilt. Ist diese Konstanz der telezentrischen Tektonik nicht gegeben, d.h., ändert sich die Zahl der syndromatischen Struktur¬ zonen, so kommt es innerhalb der Architektonik zu Verwerfungen der syndromatischen Zonen und die Area erfährt eine Dysvarianz. Diese kann total oder partiell sein, und zwar ist sie immer dann total, wenn jeder polydrome Zweig eine Dysvarianzstelle hat. Gibt es aber einzelne televariante Zweige, so ist die Dysvarianz partiell. Kommt es bei dieser Dysvarianz zu einer Ausdehnung der graduellen Tektonik, d.h., erhöht sich in Richtung dieser graduellen Tektonik die Zahl der syndro¬ matischen Zonen, so ist die Dysvarianz in diesen zusätzlichen Zonen erfüllt und steigt graduell. Im anderen Fall vermindert sich die Zahl dieser Zonen, was zu einer dysvarianten Extinktion führt. Wie auch diese Dysvarianz beschaffen sein mag, stets gibt es im allgemeinen neben dieser dysva¬ rianten Tektonik noch eine Tektonik televarianter Zonen, denn nicht alle syndromatischen Struktur¬ zonen in gradueller Bewertung brauchen in einem monodromen Äondynenzweig zwischen den Telezentren derartige dysvariante Verwerfungen aufzuweisen. Nur wenn diese Zahl der televarian- ten Zonen den Wert 0 erreicht, ist der betreffende Äondynenzweig absolut dysvariant. Die Area Seite 112 kann daher nach dieser begrifflichen Verfeinerung total und absolut, total, partiell und absolut, sowie partiell dysvariant bzw. televariant sein. Nach diesem Zusammenwirken tele- und dysvarian- ter Äondynenverläufe innerhalb der Area ist also zusammen mit dem Klassifikationsdiagramm eine innere Strukturklassifikation äonischer Areale gegeben. Die Möglichkeiten der dysvarianten Extinktion in einer Äondyne haben ebenfalls verschiedene Charaktere. Grundsätzlich kann es nur drei Arten dieser Extinktion geben: a) der relative Beginn (bezogen auf die Basissyntropoden in der TO) der graduellen Tektonik erfährt von irgendeiner Dysvarianzstelle an eine Extinktion. b) Diese Extinktion betrifft die obere Grenze der graduellen Tektonik. c) Irgendein Zonenbereich innerhalb des graduellen Tektonikverlaufes wird dysvariant im Sinne einer Extinktion, ohne die obere oder untere Grenze der Tektonik zu betreffen. In allen drei Fällen kann die Dysvarianz absolut werden. Im allgemeinsten Fall können innerhalb eines Äondynenweges der Area alle drei Dysvarianzformen , nämlich a: initial, b: final und c: inter¬ mittierend der Extinktion mehrfach zusammen auftreten. Dies bedeutet eine nochmalige Verfeinerung der architektonischen Klassifikation äonischer Areale. Alle Untersuchungen über Tele- und Dysvarianz wurden für die Transzendenzstufe C(<» entwickelt, doch können sie oh n e weiteres auch auf Transzendenzfelder höherer Transzendenzstufe über der Area übertragen werden, denn die graduelle Tektonik der Area C (0 ) ist direkt an die graduelle Transzendentaltektonik ange¬ schlossen. Bei dieser Übertragung ist aber zu berücksichtigen, daß es nach den Untersuchungen der Transzendenzfelder im Bereich höherer Transzendenzstufen als 0 zwischen den Telezentem nur monodrome Äondynenäste ohne Polydromiezentren oder Kollektoren gibt. 6.4. Metastabile Synkolationszustände der Extinktionsdiskriminanten Es bleibt noch die Frage zu klären, wie die Extinktionsdiskriminante, also die tektonische Begren¬ zung in gradueller Richtung (hinsichtlich der telezentrischen Tektonik) eines dysvarianten Strukturbereiches einer Äondyne (im Sinne der Extinktion) verläuft und wie diese Begrenzung hinsichtlich der Synkolationen in den syndromatischen Strukturzonen zu verstehen ist, von denen die dysvariante Extinktionsstruktur begrenzt wird. Es wäre also zu untersuchen, wie sich die einzelnen Synkolationen in der jeweiligen dysvarianten syndromatischen Tektonik im Bereich der Extinktionsdiskriminante ändern, damit es überhaupt zu einer dysvarianten Extinktion kommt und wie diese Synkolationszustände in der Diskriminanten hinsichtlich ihrer Parameterabhängigkeit beschaffen sein müssen, damit sie in einem geeigneten Parameterintervall metastabil bleiben, bis es bei weiterem Fortschreiten längs der Parameter zu einer Änderung der Dysvarianz kommt. Offen- Seite 113 sichtlich müssen die Synkolationszustände in der Extinktionsdiskriminanten im allgemeinen Fall immer metastabiler Natur sein, denn eine parameterabhängige Änderung der dysvarianten Extinktion bedingt immer eine mit ihr konform laufende Änderung des Diskriminantenverlaufes in gradueller Tektonik. Nur wenn die Extinktionsdiskriminante im speziellen Fall televariant ist, können ihre Synkolationszustände stabil sein. Die Begriffe metastabil und stabil beziehen sich dabei immer auf die diskutierten Parameterintervalle im Tensorium der Area. Wie diese metasta¬ bilen Synkolationszustände auch immer beschaffen sein mögen, auf jeden Fall verläuft die Extinktionsdiskriminante im Fall der initialen und finalen Dysvarianz einfach, aber bei intermittier¬ ender Dysvarianz zweifach. Ist die Dysvarianz nicht absolut, so müssen die Synkolationszustände der Diskriminanten in einer televarianten Zone enthalten sein, wenn die Diskriminante an der betreffenden Stelle des Tensoriums ihr absolutes graduell-tektonisches Extremum durchläuft. Diese televariante Zone enthält dann im diskriminanten Extremum ebenfalls metastabile Synkolationen der Diskriminante. Ist die Dysvarianz absolut, so kann überhaupt keine televariante Zone in der Diskriminanten liegen. Nur im intermittierenden Fall besteht wegen des zweifachen Diskriminan¬ tenverlaufs die Möglichkeit, daß der eine Diskriminantenzweig die Äondyne absolut dysvariant schneidet, während der andere Zweig eine televariante Zone enthält. Jede intermittierende dysvaria- nte Extinktion trennt eine Äondyne in Bereiche höherer gradueller Tektonik und solche tieferer gradueller Tektonik, derart, daß der Diskriminantenzweig, der die höher graduierten Bereiche begrenzt, einer initialen, der andere dagegen einer finalen dysvarianten Extinktion entspricht. Das Metroplexkombinat an einer Äondynenstelle, an welcher eine solche intermittierende Dysvarianz herrscht, kann demnach im Sinne syntropodenhafter Syndrombälle verstanden werden, unabhängig davon, ob es sich um konflexive Formen handelt oder nicht. Jede Extinktionsdiskriminante kann monoton steigen oder fallen im stärkeren oder schwächeren Sinn, oder aber Dysvarianzmaxima und -minima durchlaufen, Dysvarianzbögen ausschneiden, konstant bleiben usw. Demnach sind also alle Möglichkeiten vieldimensionaler Funktionsverläufe gegeben, wenn das Tensorium der Area metaphorisch durch einen vieldimensionalen abstrakten Raum veranschaulicht wird. Stets durch¬ läuft die Diskriminante ein Dysvarianzextremum, wenn Gebiete steigender und fallender Dysva¬ rianz aneinander anschließen. Nimmt die Dysvarianz ab, so erhöht sich die Zahl der Strukturzonen, was eine Resynkolation der metastabilen Synkolationszustände bedingt. Durch auf diese Weise entstehende Dysvarianzbögen und Resynkolationen kann also eine televariante Tektonik durch¬ brochen werden, unabhängig davon, ob dieser Durchbruch initialer, finaler oder intermittierender Natur ist. Der Elementarprozess einer Extinktion geht dabei im initialen oder intermittierenden Fall nicht notwendig auf eine Änderung des äondynisch verlaufenden Metroplexkombinats zurück, vielmehr sind die dysvarianten Syndrome so beschaffen, daß sie längs des zur Diskussion Seite 114 stehenden Parameterintervalles nicht definiert sind. Nur im Fall finaler Extinktion kann die Dysva¬ rianz auf eine Strukturänderung der Synkolatoren zurückgehen, doch kann die Dysvarianz auch in Analogie zum initialen, oder intermittierenden Fall zustande kommen. Demnach erfahrt also der Dysvariantenbegriff durch die, auf diese Weise notwendig gewordene, Unterscheidung zwischen struktureller und funktioneller Dysvarianz eine weitere Verfeinerung. Bei struktureller Dysvarianz kommt es an der Dysvarianzstelle des Tensoriums zu einer inneren Strukturänderung des Metroplexkombinats, während bei funktioneller Dysvarianz diese Struktur erhalten bleibt, und nur die Besetzungen bestimmter Syndrome längs des Extinktionsintervalls nicht mehr definiert sind. 6.5. Televarianzbedingung der telezentrischen Polarisation Nach den vorangegangenen Untersuchungen über Tele- und Dysvarianz wird es möglich, ein Kriterium für die telezentrische Polarisation einer Area aufzustellen. Für die Dysvariantenstruktur einer Area gibt es die verschiedensten Klassen, wie absolut total, partiell usw., von denen jede in der initialen, finalen oder intermittierenden Form auftreten und struktureller oder fu nk tioneller Natur sein kann. Formal gibt es nach dieser Klassifikation offenbar nur eine einzige Klasse, nämlich die absolut totale Dysvarianz, in welcher es keine affine telezentrische Polarisation geben kann, weil hier nur projektive Telezentren existieren. Eine solche projektiv telezentrierte Area entspricht demnach der Definition des Panoramas einer polydromen Äondyne, so daß ein solches Panorama immer nur durch die absolut totale Dysvarianz bestimmt wird. In allen anderen Klassen besteht die Möglichkeit der telezentrischen Polarisation affiner Areale, doch handelt es sich um eine pseudotelezentrische Polarisation, wenn die einzelnen Polydromiezweige zwar durchgängig sind, aber in keinem Zweig televariante Strukturzonen Vorkommen, d.h., wenn der dysvariante Abbruch der totalen Absolutdysvarianz nur durch eine Folge steigender Dysvarianz und fallender Extinktionsbereiche erreicht wird. In einer solchen pseudotelezentrisch polarisierten dysvarianten Area existiert also überhaupt kein Äondynenzweig, der eine televariante Strukturzone enthält. Wenn es dagegen möglich ist, mindestens einen Äondynenzweig anzugeben, der mindestens eine televariante Zone enthält, dann liegt eine televariante äonische Area vor, denn durch die televarian¬ te Zone ist die Lage der Telezentren im Tensorium in televarianter Weise fixiert. Die echte telezen¬ trische Polarisation der televarianten Area muß also im Gegensatz zur dysvarianten Area mit pseudotelezentrischer Polarisation diesem Televarianzkriterium genügen. Alle vorangegegangenen Tele Varianzuntersuchungen gelten für eine Televariantentheorie der Transzendenzstufe 0 , doch gilt diese Theorie auch für beliebige höhere Transzendenzstufen T > 0 , denn alle diese Transzendenzfelder müssen ebenfalls eine dreifache Transzendentaltektonik haben, wobei die Seite 115 graduelle und syndromatische Form derjenigen von synkolierenden Metroplexkombinaten im S inn e von Affinitätssyndromen entspricht, während die telezentrische durch die Polarisation der Transzendenzstufe 0 , also die Lage der Haupttelezentren, bedingt wird. Die ganze tektonische Untersuchung höherer Transzendenzfelder wird insofern vereinfacht, als es in ihnen neben den Neben- und Haupttelezentren weder Polydromiezentren noch Kollektoren gibt, denn die transzendenten Äondynen sind wegen ihrer Eigenschaft, Affinitätssyndrome zu sein, zwischen den Telezentren stets monodrom. Die Televarianz allerdings braucht nicht notwendig erfüllt zu sein durch die Televarianz der betreffenden, im Affinitätssyndrom synkolierenden Zweige der nächsttieferen Transzendenzstufe T-l , denn der Verlauf in T wird allein durch den Verlauf des Affinitätssynkolators bestimmt. Alle Transzendenzfelder über einer Area müssen also auch eine Transzendentaltektonik televarianter Äondynenzonen haben, und zwar neben der transzendentalen Architektonik, die nach den vorangegangenen Untersuchungen, wie für die Transzendenzstufe 0 definiert ist. Damit ist aber eine Erweiterung der Tele- und Dysvariantentheorie gegeben, derart, daß diese Theorie auch auf alle Zonen der Transzendenzfelder anwendbar ist. Da die Transzen¬ denzfelder der Panoramen durch exogene Transzendentalsynkolatoren miteinander in Zusam¬ menhängen stehen können, derart, daß sie noch höhere Strukturen synkolieren, erscheinen die Begriffe der Haupt- und Nebentelezentren relativ, d.h., von der jeweiligen Transzendenzstufe abhängig. So können z.B. für T = 0 die Haupttelezentren eines Panoramas festliegen, doch besteht die Möglichkeit, daß sie für T > 0 zu Nebentelezentren werden, nämlich dann, wenn durch die Synkolation mit anderen Arealen in höherer Transzendenz eine transzendente Area höherer Ordnung entsteht. Wenn es also 1 < 1 < L transzendente Areale Q r ) (A R qi)i der Transzendenzstufe r und der Ordnung qi gibt, die nicht Bestandteile einer Area höherer Ordnung, aber gleicher Transzendenzstufe sind, dann verfügt jede dieser Areale über eine transzendente Architektonik aus einer graduellen, einer syndromatischen, und einer telezentrischen tektonischen Komponente. Darüberhinaus kann es aber endogene als auch exogene Transzenden¬ talsynkolatoren geben, welche diese L Areale in der Transzendenzstufe r + 1 zu einem übergeordneten Transzendenzfeld mit televarianten Strukturzonen synkolieren usw. Dies bedeutet aber, daß es neben der transzendenten Architektonik und der Arealordnung noch eine hierarchische Tektonik televarianter Transzendentalzonen geben muß, wenn es in jedem diskutierten Transzen¬ denzfeld televariante Zonen gibt. Während die drei Komponenten der transzendenten Architek¬ tonik, nämlich graduell in Richtung des Metroplexgrades, syndromatisch hierzu orthogonal in Richtung einer Strukturzone, und telezentrisch in Richtung der Areapolarisation verläuft und die Areaordnung durch die Unterscheidung zwischen Haupt- und Nebentelezentren bedingt wird, verläuft die hierarchische Tektonik televarianter Transzendenzzonen in der Richtung steigender Seite 116 Transzendenzstufen. Erst durch diese hierarchische Tektonik wird der Begriff der Haupt- und Nebentelezentren relativ, und zwar bezogen auf das nächsthöhere Transzendenzfeld. Es muß also möglich sein, eine solche telezentrische Transzendenzstufenrelativität zu entwickeln, welche die allgemeinsten Aussagen über transzendente Areale und ihre hierarchische Tektonik gestatten muß. 6.6. Transzendente Telezentralenrelativität Da die Telenzentren einer Area Sonderfälle von Polydromiezentren sind, müssen auch diese Telezentren Untertensorien des Parametertensoriums der Area sein, von dessen metaphorischen Dimensionen die Area in ihrem Verlauf abhängt, d.h., diese Telezentren müssen ebenfalls meta¬ phorisch dimensioniert sein. Ist n diese metaphorische Dimensionszahl des Tensoriums, dann liegen die Dimensionszahlen Yk der beiden Telezentren mit k = 1 bzw. k = 2 für die Area der Transzendenzstufe T = 0 im geschlossenen Intervall 0 < Yk n - 1 . Die Unmöglichkeit Yk < 0 wird hier unmittelbar evident, während Yk > n zwar denkbar ist, aber ebenfalls ausfällt, weil in diesem Fall das Telezentrum k teilweise in einem Untertensorium der metaphorischen Dimensionszahl Yk - n > 0 läge, das nicht mehr zum Parametertensorium gehört und somit einen Widerspruch bildet. In geometrischen Metaphern könnten die Telezentren mit Yk < 3 als Punkt (0) , Linien (1) , Flächen (2) oder Raumtelezentren (3) bezeichnet werden. Im allgemeinen liegt eine beliebige Yk -Polarisation in 0 < Yk < n - 1 vor, die als symmetrisch bezeichnet werden soll, wenn Yi = Y 2 ist, aber als unsymmetrisch für Yi ^ Y 2 • Ist z.B. Y 2 > Yi , ist also die unsymmetrische Polarisation vieldeutig, so deshalb, weil es eine Y 2 - Yi > 0 -fach unendliche Schar von Yi + 1 -dimensionalen verbindenden Untertensorien der Telezentren im Parameter¬ tensorium gibt. Ein solches Y 2 + 1 -dimensionales telezentrisches Verbindungstensorium wird dabei immer dann als Telezentrale definiert, wenn es die kürzeste Verbindung der beiden Haupt- telezentren im Parametertensorium im Sinne einer geodätischen Metapher darstellt. Die Gesamtheit aller Telezentralen im unsymmetrischen Fall Y 2 - Yi > 0 der Dimension Yi + 1 , ist mithin ein Untertensorium der Dimension Y 2 + 1 -Es sind also die Yi + 1 -dimensionalen Telezentralen die Erzeugenden eines Y 2 + 1 -dimensionalen telezentralen Bereiches, dessen syntrometrische Eigenschaften von der relativen Lage der beiden Haupttelezentren im Parametertensorium, ihren Dimensionierungen und der Syntrometrik des Tensoriums abhängen. Der Telezentralenbereich ist also relativ hinsichtlich der Telezentren und des Parametertensoriums. Nur im symmetrischen Fall wird wegen Y 2 = Yi die Telezentrale mit ihrem Bereich identisch und wegen Y 2 - Yi = 0 ein¬ deutig, weil die Telezentrale definitionsgemäß als geodätische Metapher die Haupttelezentren verbindet, und von den unendlich vielen Möglichkeiten nur eine diese Eigenschaft haben kann. Auf Seite 117 diese Weise können also die Eigenschaften dieser Telezentralen und der Syntrometrik des Tensoriums ermittelt werden. Der symmetrische Fall Yi = Y 2 zeigt außerdem, daß Yk = n un¬ möglich ist, weil dann die Telezentrale mit n + 1 außerhalb des Tensoriums läge, woraus unmit¬ telbar die Intervallgrenze Yk < n - 1 folgt. Da die Haupttelezentren die Area abschließen, ist die Telezentrale ein gutes Charakteristikum für die Areaausdehnung in der Richtung telezentrischer Tektonik, bezogen auf eine bestimmte Syntrometrik des Tensoriums. Wegen ihrer Relativität hinsichtlich dieser Syntrometrik bringen sowohl reguläre, als auch singuläre Transformationen der Syntrometrik Änderungen des telezentralen Bereichs mit sich. Dies bedeutet aber, daß es für jede monodrome Äondyne der Area eine solche Transformation des Tensoriums geben muß, derart, daß diese Äondyne nach der Transformation des Tensoriums über dem telezentralen Bereich liegt. Eine solche Transformation des Parametertensoriums ist also eine Charakteristik für die betreffende monodrome Äondyne, woraus folgt, daß jeder monodrome Äondynenzweig der Area eine solche Äondynencharakteristik besitzen muß, und daß alle diese Äondynencharakteristiken wegen der Telezentralenrelativität durch syntrometrische Transformationen hervorgehen können. Auf Grund der Telezentralenrelativität bildet also jede Area der Transzendenzstufe T = 0 ein in sich selbst geschlossenes System ineinander transformierbarer Äondynencharakteristiken, so daß jeder monodrome Äondynenzweig, bezogen auf die richtige Charakteristik, über einer Telezentralen liegt. Neben dieser Basisrelativität der Äondynencharakteristiken, also der Basisrelativität der Telezentralen für T = 0 , muß es aber noch eine transzendente Telezentralenrelativität geben, wenn durch äondynische Affinitätssyndrome Transzendenzfelder T > 0 existieren. Wenn Transzendenzfelder T > 0 existieren, so ändert sich gegenüber T = 0 in den T > 1 zwar die transzendente Äondynencharakteristik nicht, aber die Telezentrale hinsichtlich der Haupttelezentren und Parameterdimensionierungen, weil sich an diesen Bestimmungen der Area nichts ändert, wenn die zu den Transzendenzfeldem führenden Synkolationen nur auf solche äondynischen Affinitäts¬ syndrome wirken, die zur ursprünglichen Area T = 0 gehören. Auch für die von Polydromie- zentren freien Äondynen in T = 1 gibt es demnach eine transzendente Äondynencharakteristik, und eine transzendente Telezentralenrelativität in erster Transzendenzstufe, die unmittelbar aus der Basisrelativität in T = 0 hervorgeht. Wird dagegen das Transzendenzfeld T = 1 aus mehreren Arealen T = 0 synkoliert, so hängen die hier gültige Telezentralenrelativität und die Äondynen¬ charakteristiken von den syntrometrischen Eigenschaften aller Areale T = 0 ab, denn in T = 1 werden ihre Haupttelezentren zu Nebentelezentren, wenn die Areale von höherer Ordnung sind, oder aber die Telezentren werden in T wie T = 1 zu höher dimensionierten Strukturen, weil jede der in T = 1 synkolierten Areale T = 0 über einem anderen Parametertensorium definiert sein kann, deren metaphorische Dimensionen sich sowohl in ihrer Zahl, als auch in ihrer Semantik Seite 118 unterscheiden können. Unabhängig von der speziellen Form der Synkolation des Transzendenz¬ feldes T = 1 existiert also in T = 1 auf jeden Fall eine Äondynencharakteristik und eine Telezentralenrelativität in erster Transzendenzstufe. In völlig analoger Weise kann auf Grund dieses Sachverhaltes von T = 1 auf eine Telezentralenrelativität in T = 2 geschlossen werden und der vollständige Induktionsschluß fährt schließlich zu einer allgemeinen transzendenten Telezentralenrelativität mit syntrometrischen Äondynencharakteristiken in allen Transzendenz- feldem T > 0 . In irgendeinem Transzendenzfeld der Stufe T > 0 gibt es eine Telezentralenrelativität der Äon¬ dynencharakteristiken. Mit diesem Telezentralensystem der Stufe T hängen aber alle Telezen- tralen der Stufe T - 1 zusammen, deren Transzendenzfelder die Stufe T synkolieren usw. Dieser Prozess kann bis zu den Transzendenzfeldem der Stufe T (T - 1) = 1 fortgesetzt werden, welche aus den Arealen der Stufe 0 synkoliert worden sind, wobei zu jeder dieser Areale eine relative Telezentrale gleicher Stufe gehört. In jedem Transzendenzfeld der Stufe T > 0 gibt es also ein ganzes Spektrum hinsichtlich der Transzendenzstufen relativer Telezentralen. In jeder Transzendenzstufe dieses Spektrums wiederum gibt es ebensoviele Telezentralen gleicher Stufe als in sich selbst geschlossene Systeme von Äondynencharakteristiken, wie Transzendenzfelder, welche zum nächsthöheren Transzendenzfeld synkolieren. Jede Äondyne eines Feldes liegt dabei über der relativen Telezentralen, bezogen auf die betreffende Äondynencharakteristik. Im allgemeinsten Fall vieler transzendent synkolierender Areale beliebiger Ordnung kann es also nur in der relativ letzten Transzendenzstufe T eine Telezentrale und ein System von Äondynen- charakterisktiken geben, von welchem ein Spektrum von Telezentralen tieferer Transzendenzstufen im Sinne einer nicht abnehmenden Zahlenfolge bis in die Transzendenzstufe 0 läuft, wo das Maximum von Spektraltermen liegt. In der ursprünglichen Area T = 0 können neben den beiden Haupttelezentren noch Nebentelezentren existieren, d.h., es können Polydromiezentren und Kollektoren auftreten, die der Existenzbedingung des Telezentrums genügen und somit im inneren der Area eine partielle Areastruktur ausgrenzen. Diese Partialstruktur ist aber keine selbständige Area, weil nicht alle monodromen Äondynenzweige der eigentlichen Area durch diese Neben¬ telezentren laufen. Bei diesen, der Existenzbedingung des Telezentrums genügenden Polydromie¬ zentren und Kollektoren, handelt es sich also um Nebentelezentren ersten Grades, zwischen denen eine Pseudotelezentrale ersten Grades definiert werden kann. Gibt 0 0 den Grad dieser Nebentele¬ zentren für T = 0 an, so liefert 0 0 = 0 den Grad der Haupttelezentren 0 0 = 1 , den der ersten Nebentelezentren usw. Innerhalb der nebentelezentrisch begrenzten Partialstruktur 0 0 = 1 der Area können wieder, wenn die Area hinreichend differenziert strukturiert ist, weitere partielle Areale zweiten Grades auftreten, deren Nebentelezentren durch 0 0 = 2 gekennzeichnet sind, usw. Seite 119 Bei hinreichender Differenzierung der Area in der Stufe T = 0 ist also ein ganzes inn eres Spektrum von Nebenarealen 0 0 > 0 möglich, deren letzte Stufen mit dem Maximalwert 0 0 die einfachen Wechselfolgen von Polydromiezentrum und Kollektor sind. Die Zahl der jeweils möglichen monodromen Äondynenzweige, und damit die Zahl der Äondynencharakteristiken in den einzelnen partiellen Nebenarealen, fällt mit wachsendem Grad 0 0 . Eine derartige Dif¬ ferenzierung kann auch in höheren Transzendenzstufen T > 0 auftreten, und zwar liefert dieses Auftreten ein Kriterium dafür, ob die 0 0 aus T = 0 wirklich Nebentelezentren sind, denn zwischen zwei Nebentelezentren verlaufen die monodromen Äondynenzweige in allen T > 0 völlig eindeutig, ohne Polydromiezentren und Kollektoren. Hieraus folgt aber unmittelbar, daß die Maximalwerte von Oo unmöglich bei den einfachen Polydromiezentren und Kollektoren liegen können. Liegt also in den Transzendenzfeldem T > 0 ebenfalls ein Spektrum von transzendenten Nebenarealen vor, deren Nebentelezentren die Grade 0 T > 0 durchlaufen, dann gibt es hierzu stets ein äquivalentes Spektrum von transzendenten Pseudotelezentralen der Grade 0 T > 0 , über denen, den einzelnen Äondynencharakteristiken entsprechend, die transzendenten monodromen Äondynenzweige der jeweiligen Partialstruktur in T>0 stehen. Im Fall 0 T = 0 gibt es überhaupt keine Nebentelezentren, und zwar in keinem Feld T > 0 und nur eine Telezentrale. Ist dagegen 0 T = 1 , so muß es stets eine grade Zahl von p Nebentelezentren und ein System von ^ Pseudotelezentralen ersten Grades geben usw. Handelt es sich um eine Transzendenzfeld¬ struktur über einer Area T = 0 , dann ist der Maximalwert für 0 T in allen Stufen T > 0 identisch, was auf die Eigenart der Synkolation von Affmitätssyndromen zurückgeht. Dieses Gesetz wird aber offensichtlich dann durchbrochen, wenn mehrere Systeme in dieser Form synkolieren, doch müssen die Nebentelezentren auf Grund ihrer Definition in jedem Transzendenzfeld wieder erscheinen. Für die Unterareale muß demnach ein Prinzip diabatischer Projektionen durch alle Transzendenzstufen gelten, wobei der Begriff der perspektivischen Abbildung auch als Metapher nicht in diese Bereiche übertragen werden kann. Da jede Telezentrale in beliebigen Stufen T > 0 stets die Telezentren 0 T = 0 durchgängig verbindet, wird evident, daß jede Nebentelezentrale zwischen 0 T = m > 0 sich in das nächsthöhere Areal 0 T = m - 1 > 0 fortsetzen muß, so daß alle diese Fortsetzungen schließlich die Haupttelezentrale zwischen 0 T = 0 bilden. Seite 120 Burkhard Heim Syntrometrische Maximentelezentrik Teil B Anthropomorphe Syntrometrie Seite 121 7. Anthropomorphe Syntrometrie 7.1. Subjektive Aspekte und apodiktische Pluralitäten Die vorangegangenen syntrometrischen Untersuchungen sind an kein spezielles Aspektivsystem gebunden, d.h., die sind in jedem derartigen System anwendbar, und auch nicht an den zweideutig prädikativen Aspektivkomplex gebunden, welcher ein Ausdruck der spezifischen Struktur des anthropomorphen Intellekts ist. Diese Universalität der syntrometrischen Aussage geht allein auf die Eigenschaft der syntrometrischen Elemente zurück, Syntrizen zu sein, d.h., ihre Prädikatver¬ knüpfungen müssen Universalquantoren sein. Erst hierdurch kommt es zur Aspektrelativität, die zwar eine syntrometrische Aussage vom speziellen Aspektivkomplex unabhängig macht, die aber auf jeden Fall auch über den zweideutig prädikativen Aspektivkomplex anthropomorpher Aussage¬ möglichkeiten richtig sein muß. Hieraus folgt unmittelbar, daß es eine anthropomorphe Syntro¬ metrie geben muß, die grundsätzlich alle Aussagemöglichkeiten dieses Aspektivkomplexes umfassen muß. Wenn also der anthropomorphe Intellekt, dessen Ausdrucksmöglichkeit der zweideutig prädikative Aspektivkomplex ist, auf irgendein Begriffssystem angewendet wird, dann muß, wenn der subjektive Aspekt richtig gewählt wurde, das entsprechende Aussagesystem immer in eine Fassung dieser anthropomorphen Syntrometrie zu bringen sein, die dann auch in beliebigen anderen Aspektivkomplexen Gültigkeit hat, weil alle syntrometrischen Prädikatverknüpfungen Universalquantoren sind. Der anthropomorphe Aspektivkomplex wird durch die spezifische Eigenschaft des anthropomor¬ phen Intellekts gekennzeichnet, zweideutig kontradiktorische Aussagen im Sinne von Vergleichen zu machen. Auf diese Weise enthält die Prädikatrix stets nur zwei diskrete Aussagen, nämlich die Positive ||+ hinsichtlich des betreffenden Vergleiches, und ihre kontradiktorische Negation ||_ . Die Gesamtheit aller dieser Prädikatrix 11 ± möglichen dialektischen und koordinativen Systeme bildet die Gesamtheit aller subjektiven Aspekte im elementaren Aspektivsystem des anthropo¬ morphen Aspektivkomplexes. Im Aspektivsystem erster Aussagestufe sind Aussagen im Sinne von Wahrscheinlichkeitsprädikaten über ||+ möglich, d.h., die Aussage ||+ wird mit einer Wahr¬ scheinlichkeit h± im geschlossenen Intervall 0 < h± < 1 bewertet, was für die kontradiktorische Aussage 11 + die komplementäre Bewertung h+ ermöglicht, wobei aber immer h± + h+ = 1 erfüllt sein muß. Das Aspektivsystem zweiter Stufe wiederum bewertet in völlig analoger Weise die beiden komplementären Prädikatbänder des Aspektivsystems erster Stufe usw., wobei das Komplementaritätsgesetz h+ + h+ = 1 immer dann gelten muß, wenn die Prädikatbänder Wahr- Seite 122 scheinlichkeitsangaben über die Prädikate der vorangegangenen Aussagestufe sind, doch braucht nicht notwendig ein Wahrscheinlichkeitscharakter gefordert zu werden. Jede Größe, für die es ein Komplementaritätsgesetz gibt, muß zu einer Folge von Aspektivsystemen höherer Aussagestufe (kurz als Aspektivfolge bezeichnet) fähig sein. Der anthropomorphe Aspektivkomplex, über welchem eine anthropomorphe Syntrometrie entwickelt werden kann, wird demnach durch ein elementares Aspektivsystem mit der zweideutig kontradiktorischen und diskreten Prädikatrix 11 ± gekennzeichnet, von welchem ebensoviele Aspektivfolgen ausgehen, wie Komplementaritäts¬ gesetze formulierbar sind. Während also die Prädikatrix des elementaren Aspektivsystems immer diskret ist, muß eine Prädikatrix eines jeden Aspektivsystems höherer Aussagestufe aus zwei kontinuierlichen Prädikatbändem bestehen, die nach dem zugehörigen Komplementaritätsgesetz im Zusammenhang stehen. Alle diese Aspektivfolgen machen immer nur komplementäre Aussagen über die Prädikative der vorangegangenen Aussagestufe, während ihre Dialektik durch den jeweiligen Zusammenhang der komplementären Prädikatbänder gegeben ist. Auf diese Weise wird aber an den diskreten Diatropen und Koordinationen, also an den subjektiven Aspekten des elementaren Aspektivsystems nichts geändert, so daß die Gesamtheit aller subjektiven Aspekte dieses Systems für den anthropomorphen Aspektivkomplex charakteristisch ist. Über jedem dieser subjektiven Aspekte S sind aber anthropomorphe Syntrizen möglich, die aus begrifflichen Elementen bestehen müssen, die durch den anthropomorphen Intellekt im Sinne einer verglei¬ chenden Aussage |S|± in Zusammenhang gebracht werden können. Hier bedeutet |S| , daß die Aussage 11 durch den subjektiven Aspekt S dialektisch im Sinne der betreffenden Koor¬ dination geprägt wurde. Jede anthropomorphe Syntrix muß aber einen Metrophor apodiktischer Elemente haben, so daß es über dem diskutierten Aspektivkomplex eine Pluralität apodiktischer Elemente geben muß. Diese apodiktische Pluralität ist dabei durch die Vergleichbarkeit ihrer Elemente im Sinne prädikativer Altemationen gekennzeichnet, und diese Eigentümlichkeit der alternativen Vergleichbarkeit läßt eine charakteristische Eigenschaft der apodiktischen Pluralität erkennen. Im anthropomorphen Sinn können nämlich nur Elemente mit qualitativen oder quantitativen Eigenschaften alternativ verglichen werden. Aus diesem Grunde wird also die gesamte apodiktische Pluralität durch zwei Klassen apodiktischer Elemente, die Qualität und die Quantität, strukturiert. Während die Qualität alle begrifflichen Elemente enthält, die sich qualitativ unterscheiden, umfaßt die Quantität die durch den Zahlenbegriff definierbaren Elemente. Hieraus folgt unmittelbar, daß die Quantität nur über einem einzigen subjektiven Aspekt definierbar ist, der bereits durch den Begriff der Quantität festgelegt wird, denn die Quantität bestimmt die Dialektik des Aspektes als Mengendialektik. Alle übrigen subjektiven Aspekte des elementaren Aspektiv¬ systems machen dagegen die Beschreibung der Qualität möglich. Seite 123 Soll irgendein Sachverhalt syntrometrisch erfaßt werden, so muß diese Erfassung eine Beschrei¬ bung im Rahmen der anthropomorphen Syntrometrie vorangehen, von welcher eine größtmögliche Präzision gefordert werden muß. Da es in der Natur des anthropomorphen Intellekts liegt, die präzisesten Kriterien im Gültigkeitsbereich der Mengendialetkik, also über dem Quantitätsaspekt, zu erfassen, erscheint es zweckmäßig, die anthropomorphe Syntrometrie über diesem subjektiven Aspekt zu formulieren und die Elemente der anthropomorphen Analysis aus dieser Syntrometrie herzuleiten. Diese Deduktion muß schließlich zu einem Übergangskriterium führen, welches angibt, welchen Forderungen ein analytisch quantitativ formulierter Sachverhalt genügen muß, wenn er in die anthropomorphe und schließlich in die allgemeine Syntrometrie übertragen werden soll. Die Pluralitätsstruktur der Quantität kann nur auf den subjektiven Aspekt m einer Mengendialektik bezogen werden, dessen Koordination den Charakter eines Mengenvergleiches hat, wenn das elementare Aspektivsystem zu Grunde gelegt wird. Die dialektisch geprägten Prädikate dieses Quantitätsaspektes m können demnach nur die Gleichheit der Mengen |m|+ = = oder die Mengenungleichheit in |m|_ = ^ ausdrücken. Liegt die Mengenungleichheit vor, so gilt für die beiden Mengen a und b die Aussage a ^ b , dann bestehen wieder zwei Möglichkeiten. Entweder ist a quantitativ größer als b , oder umgekehrt, was im Fall a ^ b symbolisiert wird durch a > b bzw. a < b . Für a ^ b kann die Zweideutigkeit (>) oder (<) wiederum als kontradiktorische Prädikatrix im Sinne einer Aussage und ihrer komplementären Negation aufgefaßt werden. 7.2. Struktur und Interpretation der Quantitätssyntrix Über den Quantitätsaspekt können wegen der Mengendialektik nur Quantitäten verglichen werden. Für die Beschreibung einer Quantität kann es aber grundsätzlich nur eine einzige Methode geben, nämlich die Bewertung der Quantitäten unabhängig von der betreffenden Qualität durch Zahlen, so daß der Zahlbegriff die eigentliche apodiktische Idee aller Kategorien des Quantitätsaspektes ist. Zahlen können stets in zweifacher Weise korporieren, was unmittelbar aus der Mengendialektik folgt, nämlich wegen der Möglichkeiten a > b und a < b im Sinne einer Zahlenmengenver¬ größerung bzw. -Verkleinerung. Hieraus folgen unmittelbar die elementaren Korporationen über dem Quantitätsaspekt als elementare Zahlenoperationen. Die Zahlenmengenvergrößerung kann prinzipiell nur als Zahlenaddition (+) oder als Zahlenmultiplikation (•) durchgeführt werden, während die Zahlenmengenverkleinerung durch die inversen Operationen der Zahlensubtraktion (-) und Zahlendivision (():()= j-j ) möglich wird. Ganz offensichtlich sind diese Zahlen die Seite 124 einzigen apodiktischen Elemente über dem Quantitätsaspekt, da es qualitativ verschiedene Plurali¬ täten von Zahlen gibt. Kennzeichnen die Indizierungen k und 1 die Zahlen a, b und c als zu zwei solchen sich qualitativ unterscheidenden Pluralitäten gehörig, dann kann zwar immer ein funktioneller Zusammenhang im Sinne eines Funktors f (a k ,b k ) = c k oder f (aj, bi) = cj exis¬ tieren, wenn die Vorschrift f aus den vier Grundoperationen aufgebaut ist, doch können auf diese Weise niemals Elemente von k solche von 1 bilden, oder umgekehrt. Hieraus folgt unmittelbar die Feststellung, daß durch Anwendung der vier Grundoperationen auf die Elemente einer quantitativen Pluralität immer nur Elemente der gleichen Pluralität liefern können. Die Gesamtheit aller auf diese Weise möglichen Zahlen wird dann als algebraischer Zahlenkörper definiert. Auf diese Weise kann nunmehr der Begriff der apodiktischen Elemente über dem Quantitätsaspekt präzisiert werden, denn jeder algebraische Zahlenkörper a, muß über diesem Aspekt ein apodiktisches Element sein. Gibt es 1 < i < m Zahlenkörper a, , so sind diese zu einem Metrophor a = (aQm zusammenfassbar. Da die einzelnen a, ganze Zahlenkörper sind, bilden die Metrophorelemente über dem Quantitätsaspekt grundsätzlich apodiktische Bänder, jede aus einem solchen Metrophor hervorgehende Quantitätssyntrix muß daher eine Bandsyntrix sein. Jede Zahl als Bewertung einer Quantität kann entweder ohne semantische Zuordnung undimensioniert verwendet werden, oder ihr wird eine semantische Dimensionierung zugeordnet. Da dies für einzelne Zahlen gilt, muß es auch für alle Zahlen eines algebraischen Körpers und damit für alle Zahlenkörper richtig sein. Diese Körper sind aber die Elemente von a , so daß zwischen zwei metrophorischen Grundformen zu unterscheiden ist. Im nicht semantischen Fall treten in a = (a;) m die e inz elnen Elemente undimensioniert und einzeln auf, d.h., a ohne semantische Zuordnung ist ein singulärer Metrophor. Im semantischen Fall dagegen werden von den m Elementen im allgemeinen n > m Quantitäten bewertet, so daß im Fall n > m einige Elemente iterieren müssen. Ist S n die Iterationsvorschrift, die nach der Iteration allen n > m algebraischen Zahlenkörpem semantische Dimensionierungen zuordnet, dann liefert die Einwirkung dieses semantischen Iterators auf den singulären Metrophor gemäß S n , a = R n den semantischen Metrophor R„ = (yi)„ mit n > m . Da es singuläre und semantische Metrophore über dem Quantitätsaspekt gibt, müssen auch die aus ihnen hervorgehenden Quantitätssyntrizen singulärer oder semantischer Natur sein. In jedem Fall sind die Metrophorelemente algebraische Zahlenkörper, so daß die neben einem Metrophor die Syntrix definierenden Synkolatoren solche Funktoren sein müssen, die aus den vier algebraischen Grundoperationen zusammengesetzt sein müssen, und ihrer Synkolationsstufe entsprechend verschiedene algebraische Zahlenkontinuen (als solche können die Zahlenkörper bezeichnet werden) in funktionelle Zusammenhänge bringen. Diese durch die Synkolatoren bedingten Funktionen bilden dann die Syndrombesetzungen der Quantitätssyntrix. Seite 125 Zur Iteration dieser Quantitätssyntrix muß berücksichtigt werden, daß die semantische Form dann von der singulären impliziert wird, wenn die Syntrix als komplexe Struktur aufgefaßt und der semantische Iterator als Synkolator des ersten Syndroms eingesetzt wird. Wegen S n , a = R„ wäre dann das Syndrom 0 gegeben durch den singulären Metrophor a , aber das erste Syndrom durch den semantischen Metrophor R n . Da die Elemente von R n ebenfalls apodiktisch sind ( S n iteriert im wesentlichen nur), genügt es im Folgenden, nur die semantische Form a] = < f, R„ ,m > zu untersuchen. Auch die Quantitätssyntrizen müssen den allgemeinen syntro- metrischen Gesetzen genügen, d.h., auch hier kann es nur vier Klassen pyramidaler Elementar¬ strukturen geben, von denen alle übrigen pyramidalen und homogenen Syntrizen aufgebaut werden. Aus diesen Gründen genügt es, für al einen pyramidalen Elementarcharakter anzunehmen. Die Tatsache, daß f in al nur aus den vier algebraischen Grundoperationen aufgebaut sein kann, gestattet eine wesentliche Vereinfachung. Wird nämlich f homometral in der Stufe m < n , so sind in f(yj)” mehrere Elemente identisch. Da nun aber diese Elemente y Zahlenkontinuen sind, welche durch die vier Grundoperationen im funktionellen Zusammenhang stehen, kann die funktionelle Abhängigkeit immer auf f(yj)” = F(y 1 )^ 1 mit p (28) aus dem singulären Metrophor a induziert wird. Für die Synkolationsstufe muß grundsätzlich m < n gelten, weil es nach dem vorangegangenen Schluß keine homometralen Quantitätssyntrizen geben kann. Ist m n ist auf Grund der Tensordefinition nicht möglich. Alle Syndrombe¬ setzungen der Quantitätssyntrix, also alle Synkolationen, haben demnach tensoriellen Charakter, und hieraus folgt unmittelbar eine wesentliche Eigenschaft, die von jeder tensoriellen Größe ge¬ fordert werden muß. Eine Bandsyntrix ist offenbar nur dann definiert, wenn sich die Syndrombe¬ setzungen bei einer Deformation der apodiktischen Kontinuen nicht ändern. Bei der Quantitäts- Seite 128 syntrix sind diese apodiktischen Kontinuen aber die kontinuierlichen algebraischen Zahlenkörper, und Deformationen, bezogen auf die lineare Anordnung im semantischen Metrophor, würden Koordinatentransformationen entsprechen. Da aber auf Grund der Natur der Bandsyntrix gefordert werden muß, daß sich die Syndrombesetzungen bei Deformationen dieser Art nicht ändern dürfen, und diese Forderung einer Invarianzbedingung der Syndrombesetzungen gegen Transformationen des semantischen Metrophor entspricht, muß von den Synkolationen ebenfalls diese Invarianzbe¬ dingung erfüllt sein. Die Synkolationen sind aber Tensoren, so daß aus dieser Interpretationsrich¬ tung der Quantitätssyntrix unmittelbar die Invarianz des Tensors gegen bestimmte Gruppen von Koordinatentransformationen folgt. Nach den vorangegangenen Untersuchungen muß die Synkolationsstufe m eines Synkolators f als Dimensionszahl eines Argumentbereichs interpretiert werden, der als m -dimensionaler Unterraum des R n aufzufassen ist, so daß die Tensorgrade der Synkolationen dieser Stufe höchstens den Wert m erreichen können. Der Synkolator f setzt diese m algebraischen Kon¬ tinuen in einen funktionalen Zusammenhang, derart, daß jedem Punkt des m -dimensionalen Argumentbereichs ein Synkolationszustand zugeordnet wird und die Gesamtheit aller dieser Syn- kolationszustände ein synkolatives Strukturkontinuum bildet. Ein solches Strukturkontinuum soll als Feld des betreffenden Synkolationszustands definiert werden. Dieses Feld wird also vollständig durch denjenigen Synkolator beschrieben, der jedem Punkt des m -dimensionalen Argument¬ bereichs (Feldbereich) einen Synkolationszustand zuordnet. Die Feldstruktur hat also die Dimen¬ sionszahl m + 1 , und ihr Bezugsraum entsteht durch Erhöhung der m Dimensionen des Feld¬ bereichs um die eine des Synkolators. In dieser Synkolationsdimension werden dann die Synkola- tionszustände über dem Feldbereich aufgetragen, wodurch dann die Feldstruktur entsteht. Aus diesem Grunde kann also der Bezugsraum als m + 1 -dimensionaler Synkolatorraum des m + 1 -dimensionalen Tensorfeldes definiert werden, dessen Argumente im m -dimensionalen Feldbereich liegen. Die Synkolatoren sind, wie schon erwähnt, Funktionaloperatoren, die auf Zahlenkontinuen wirken, woraus folgt, daß der Feldverlauf bis auf eine endliche Zahl von Singularitäten im Sinne von Extrema stetig ist. Ein geeignetes Extremum, welches höchstens m - dimensional sein darf, kann ausgewählt und durch Parallelverschiebung des Bezugsraums zum Bezugsbereich des ganzen Feldes gemacht werden. Das so ausgezeichnete Extremum wird dann zum Feldzentrum. Ist p die Dimensionszahl eines solchen Feldzentrums, dann kann p auf Grund der Definition des Zentrums auch eine Feldsingularität in Analogie zum Intervall der Tensorgrade nur im Intervall 0 < p < m liegen. Die Feldfunktionen, also die in der Stufe m wirkenden Synkolatoren, haben, da sie als Funktionaloperator zu interpretieren sind, einen bis auf endlich viele Singularitäten stetigen Verlauf. Aus diesem Grunde muß es in jeder Feldstruktur Seite 129 isokline Bereiche geben, über denen die Feldfimktion einen konstanten Wert besitzt. Diese Isoklinen können dann in den m -dimensionalen Feldbereich projiziert werden, wo sie eine Schar von Hyperflächen der jeweiligen Dimensionszahl m - 1 definieren, die als Niveauflächen bezeichnet werden, und im Feldbereich ein topographisches Bild der Feldstruktur ermöglichen. Alle vorangegangenen Untersuchungen der synkolierten Tensorfelder beziehen sich auf das erste Syndrom, doch sind sie so allgemein, daß sie sinngemäß auf alle übrigen Syndrome anwendbar sind. Der Synkolator des zweiten Syndroms (ist die Syntrix komplex, so kann er bereits anders beschaffen sein als derjenige des ersten Syndroms) entnimmt die Zahlenelemente, wenn die allge¬ meine Pyramidalsyntrix vorliegt, nicht aus den apodiktischen Kontinuen, sondern aus der Tensor¬ besetzung des ersten Syndroms usw. Hieraus folgt unmittelbar, daß die Synkolatoren aller Syndrome jenseits des ersten tensorielle Funktionaloperatoren sind, welche die Tensorfeldstruk¬ turen aus der Besetzung des vorangegangenen Syndroms in funktionelle Korrelationen setzen, wobei die Zahl der korrelierenden Tensorfelder von der Synkolationsstufe abhängt. Aus dieser Tat¬ sache folgt unmittelbar, daß nur der Synkolator des ersten Syndroms die Feldbereiche unmittelbar aus dem R n induziert, während die anderen Synkolatoren durch ihre Synkolation der vorange¬ gangenen Syndrombesetzung diese Tensorfelder in Wechselbeziehung setzen, was zu einer Kompo¬ sition der Feldbereiche führt, dies bedeutet aber, daß die Dimensionszahlen der Feldbereiche längs der Besetzung eines Syndroms konstant bleiben und in Richtung des Episyllogismus wachsender Syndromziffem höchstens ansteigen, niemals aber abnehmen kann. Auch kann diese Dimensions¬ zahl der Feldbereiche nur bis zum Wert n der R n anwachsen, was auch die obere Grenze der möglichen Tensorgrade ist. Allgemein umfaßt also eine Quantitätssyntrix alle von dem betreffen¬ den Synkolationsgesetz erfassbaren Tensorstrukturen, die über dem als abstrakten Raum R„ in¬ terpretierten semantischen Metrophor möglich sind. Die Gesamtheit aller Quantitätssyntrizen umfasst demnach grundsätzlich alle überhaupt möglichen Feldstrukturen, die über dem Quantitäts¬ aspekt des anthropomorphen Aspektivsystems definiert werden können. Seite 130 7.3. Syntrometrie über dem Quantitätsaspekt Der Quantitätsaspekt im anthropomorphen Aspektivsystem wird durch die beiden mengenverglei¬ chenden Prädikate = und ^ , sowie durch die mengenändemden Grundoperationen Addition und Multiplikation zusammen mit ihren Inversen der Subtraktion und Division gekennzeichnet. Nach der Beschreibung und Interpretation der über diesem Aspekt möglichen Syntrizen sollen im Folgenden die Elemente einer Syntrometrie über dem Quantitätsaspekt hergeleitet werden. Nach dem Vorangegangenen gibt es für jeden singulären Metrophor eine Schar semantischer Iteratoren, die semantische Metrophore als Bezugsräume induziert. Jeder tensorielle Funktionaloperator kann als Synkolator, oder im komplexen Fall als Synkolatorsystem verwendet werden, wenn die Tensor¬ grade, sowie die Funktionsbeziehungen der Dimensionszahl des Bezugsraumes, also der Beset¬ zung des semantischen Metrophor, angepaßt ist. Hieraus wird deutlich, daß es zu jedem singulären Metrophor ebensoviele R n geben muß, wie semantische Iteratoren definierbar sind. Weiter exis¬ tieren zu jedem so induzierten R„ soviele Quantitätssyntrizen, wie Komplexsynkolatoren im Sinne tensorieller Funktionaloperatoren vorgebbar sind. Auf diese Weise wird deutlich, daß ein einziger singulärer Metrophor über dem Quantitätsaspekt eine vielfach unendliche Schar syllogistisch orientierter Syntrixstrukturen erzeugen kann. Alle apodiktischen Elemente singulärer Metrophore sind nach den vorangegangenen Untersuchun¬ gen algebraische Zahlenkörper, also apodiktische Kontinuen, und daher die R„ Punktkontinuen. Die Quantitätssyntrizen müssen also mindestens Bandsyntrizen sein. Da die algebraischen Zahlen¬ körper nicht begrenzt zu sein brauchen, kann ein R n auch als ein zahlenhaftes Parameterten- sorium aufgefaßt werden, zu welchem die Syntrix eine primigene Äondyne darstellt, zumal die im Quantitätsaspekt diskutierten Begriffe stets Zahlenelemente sind. Zu jedem R n gibt es aber ebensoviele derartige Äondynen wie Komplexsynkolatoren existent sind, also eine mehrfach un¬ endliche Schar. Wegen der Interpretationsnotwendigkeit der Quantitätssyntrix als Äondyne folgt daher unmittelbar der Schluß, daß diese Schar von Syntrizen von jedem Punkt des R n koordiniert werden muß. Jeder Punkt eines R„ trägt mithin eine mehrfach unendliche Schar von Syntrizen, und jeder aus einem singulären Metrophor induzierte R n wird somit als Parametertensorium zum Trägerraum einer Mannigfaltigkeit primigener Äondynen. Jeder semantische Metrophor muß also als ein solcher äondynischer Trägerraum angesprochen werden. Weiter folgt aus der Theorie der primigenen Äondyne, daß die apodiktischen Kontinuen y, des R„ sämtlich über eindimensio¬ nalen Argumenten n; = 1 gemäß yi(xj) definiert sind, weil diese Kontinuen durch algebraische Zahlenkörper dargestellt werden. Die Funktionen y,() können aber wiederum als Synkolatoren angesehen werden, welche die Zahlenkörper transformieren, so daß für die Koordinaten des R n Seite 131 immer die nicht deformierten yi(xj) = x, zu Grunde gelegt werden können. Da es in jedem alge¬ braischen Körper neben der Einheit E auch die Fehlstelle 0 gibt, und alle Xi von 0 ausge¬ hen und unbegrenzt sind, gelten für diese x, die halboffenen Intervalle 0 < x ; < oo , d.h., die äonischen Längen sind mit den Ausdehnungen der algebraischen Körper identisch. Auf diese Weise ist aber der semantische Metrophor dieser primigenen Äondyne, nämlich R n = (xj) n mit 0 < X; < oo vollständig bestimmt. Ist darüber hinaus f ein Komplexsynkolator aus tensoriellen Funktionaloperatoren, dessen Stufe im ersten Syndrom immer ein Intervall 1 < m < n liegt, dann gilt für die als primigenen Äondynen erscheinende Quantitätssyntrix (al) = 0 abgegrenzt, dann liegen innerhalb dieser Umgebung stets noch un- Seite 135 endlich viele Zahlen, auch dann, wenn £; > 0 noch so klein wird. Wegen der Gültigkeit dieses Häufungsstellenprinzipes können also in allen Xi konvergente Folgen und Limesrelationen defi¬ niert werden. Demnach verhalten sich die Xi wie Kontinuen infinitesimal benachbarter Elemente. Ist A x; irgendeine Variation von x; im Sinne der Abgrenzung einer hinreichend kleinen Umge¬ bung, und setzt man x' = x ; + Ax, , dann muß nach diesem Häufungsstellenprinzip hm Ax, = 0 x i -«i gelten. Entsprechend folgt für ein Funktionalgesetz f (x;) die Differenz Af = f (x, + Ax,) - f (x,), so daß die Stetigkeit des Funktionsverlaufes durch hm Af = 0 ausgedrückt wird. Die Limes- Axj—»0 df relation hm-=- vom Differenzen- zum Differentialquotienten liefert demnach wegen der Ax i^° AX; dxj df Kontinuität von Xi für die Synkolatorfelder das Stetigkeitskriterium - < oo und die Mö- dx ; glichkeit linearer Approximation im infinitesimalen Bereich. Die Gesetze der infinitesimalen Ana¬ lysis sind demnach auf die Syndrombesetzungen und Metrophore der kontinuierlichen Syntrizen- folgen innerhalb primigener Äondynen anwendbar. Es sei y| = < f (xi) n m > irgendeine primigene Äondyne und ?| = < f (xi + A Xi) n m > irgendeine Syntrix, welche dem Momentanwert auf (x;) n längs der x, um A x, voranläuft. Zweifellos können y| und y| mit (-) kontraoperativ hinsichtlich der Syndrombesetzungen und Metrophore durch (~’j ohne Komposition gekoppelt werden. Es gilt für diese Koppelung < f (xi + A Xi) n m > < f (Xi)n m > = < A f (A Xi)„ m >, worauf wegen der Kontinuität von x, der Limesprozess Ax, 0 für alle i anwendbar ist. Diese Limesrelation Seite 136 lim 0 folgt dann hm (f (x;,x k + Ax k ^0 Ax k ) n m)||_^-|( ) n-1 ;yl= (^~'dx k ,(dx k )m) j + ’l(-^^-dx k+p (dx k+ Jm) Jl V ^k df “I n-1 + J dx k+1 = (df,(dX;) n , m) = dl,j definiert werden, wenn y| = < f, y , ß > und z| = < g, z , g > in einem Funktorzusammenhang stehen. Die Koppelung j ’’j kennzeichnet dabei in einer dem Differentialfunktor inversen Form diese Funktorbezeichnung. Alle diese Glieder j können als Glieder einer Kette aufgefaßt werden, deren Limes dann dem inversen Differentialfunktor, also dem durch (?) symbolisierten Integral- fimktor entspricht. Für die additive Koppelungskette gilt dann Ca] N-l 1 mit den Gliedern a] j = co für alle j infinitesimalen Abstände Azi —> 0 gelten. Hiermit kann aber die Limesrelation durchgeführt werden, was zu lim«f,y,p)j {■’| 1 und gibt es 1 < k < s Syntrizen, auf welche der Differentialfunktor gemäß d], ( ) k einwirkt, dann kann der Integrationsprozess s -fach wiederholt werden, denn auf Jf],( )j'’jd],( ^ kann ein weiterer Integralfunktor hinsichtlich k = 2 angewendet werden usw. Auf diese Weise kommt es also zur Definition eines s -fachen Integralfünktors, der auf F] einwirkt und durch das Schema (f].( )•(( )J)?=I-IF|.( ){;;}d|,( ),...{;;}ai.( ), (34) beschrieben wird. Da F| die Valenz r > 1 hat und die Integration s -fach erfolgt, wobei auch s > 1 ist, muß die Valenz des gesamten Integralfünktors r + s > 2 sein. Jeder Integralfunktor wird im wesentlichen durch den Integrator bestimmt. Für r + s = 2 können zwei Spezialisier¬ ungsfälle dieses Integrators hergeleitet werden, nämlich der synkolative oder metrophorische Seite 142 Partialintegrator. Werden wieder y| und z| verwendet, dann gilt wegen der Differenzenkon¬ vergenz immer die Limesrelation lim (f,y,P> ( Az i)n->° — ( z i + A Zj ) n , q) (g, z, q> = 5 I=I yl {+’} 31. yl = = =4f 2 .4y;)„P>=i{;;}=iyl{;;}yl=i(yl) 2 , wenn f (y£)f = f 2 ist. Unter dieser Voraussetzung gilt also das Schema X(.N p=j( f. £(y;)f=£ 2 - < 35a > In diesem Sinne ka nn auch d] zu einem Differentialfunktor höherer Ordnung N > 1 erweitert , () kann wiederum d] einwirken usw. Auf diese Weise entstehen Differentialfunktoren beliebiger Ordnung, nämlich werden, denn auf d| Seite 143 d|™,( ) = d|,...d];( ), N> 1. (36) Mit den Infinitesimalfunktoren (34), (35) und (36) kann in Verbindung mit beliebigen Korporator¬ ketten und diskreten Enyphansyntrizen der Begriff des Syntrixfunktors beliebiger Valenz in die über dem Quantitätsaspekt universellste Fassung gebracht werden. Nach der über dem Quantitäts¬ aspekt ohne Einschränkung geltenden Theorie der Syntrixfunktoren, der syntrometrischen Gebilde, und der Syntrixtransformationen haben diese Syntrixfunktoren aber stets die Eigenschaften von Synkolatoren, deren Synkolationsstufen mit den betreffenden Funktorvalenzen identisch sind. Dies bedeutet aber, daß die Bestimmungsstücke eines Metroplex vom ersten Grad über dem Quantitätsaspekt existieren, und, daß die gesamte Metroplextheorie unter der Berücksichtigung zweidimensionaler Totalitäten ohne weitere Einschränkungen (mit Ausnahme der vom Aspekt abhängigen Spezialisierungen) auf den Quantitätsaspekt übertragen werden kann. Da die Quantitätssyntrizen i mm er als primigene Äondynen erscheinen, muß die anthropomorphe Metroplextheorie von vomeherein eine Theorie äonischer Areale sein, zu denen beliebige Transzendenzstufen existieren müssen, weil es, unabhängig vom speziellen Aspekt, immer Affinitätssyndrome geben muß, wenn mindestens zwei syntrometrische Gebilde oder Syntrizen existieren. Diese Voraussetzung ist aber im Fall der anthropomorphen Metroplextheorie stets erfüllt. Seite 144 7.4. Strukturtheorie der Synkolationsfelder Die Syndrombesetzungen einer jeden Quantitätssyntrix sind immer durch den betreffenden Synko- lator aus dem semantischen Metrophor induzierte Synkolationsfelder, die wegen der notwendig geforderten Invarianz gegen Koordinatentransformationen Tensorfelder sind, deren Tensorgrad höchstens die Synkolationsstufe erreichen kann. Aus diesem Grunde genügt zur allgemeinsten Beschreibung der Synkolationsfelder eine nicht syntrometrische zahlenanalytische Theorie allge¬ meiner Strukturfelder. Ist N der Durchmesser des semantischen Metrophor R N und ist weiter n < N die Synkolationsstufe irgendeines Synkolators f , dann ist dieser Synkolator als eine Feld¬ funktion aufzufassen, die jedem Punkt des n -dimensionalen Argumentbereiches einen Funktionalwert zuordnet. Dieser Argumentbereich ist ein Unterraum R n des R N für n < N . Wird zunächst angenommen, daß für alle Punkte des R n i mm er f=0 ist, d.h., daß überhaupt keine Feldfunktion wirkt, und werden mit x; die 1 < i < n Koordinaten bezeichnet, dann gilt, wenn die Xi orthogonal geradlinig sind, für das invariante Quadrat des Liniendifferentials ds 2 = XK ) , d.h. die geodätischen Linien bilden ein Netz paralleler bzw. orthogonaler i=i Geraden. Wirkt nun der Synkolator im Sinne einer Feldfunktion derart, daß f (x ; )“ = y ^ 0 jedem Punkt des R„ einen Funktionalwert y zuordnet, dann kann dieser Vorgang im Synkolations- raum R n +i beschrieben werden, wenn die Funktionalwerte y in einer, zu den Xi orthogonalen Zusatzdimension, gemessen werden. Es besteht jedoch auch die Möglichkeit, die so in Richtung y beschriebene topographische Struktur in den R n zu projizieren, so daß der euklidische R n im Sinne einer regulären Abbildung auf sich selbst abgebildet, also metrisch zum V n deformiert wird. Die Wirkungsweise des Synkolationsgesetzes muß dann in dieser metrischen Deformation zum Ausdruck kommen, wobei aber immer die homogen quadratische Differentialform ds 2 inva¬ riant bleiben muß. Als Folge der metrischen Änderung muß das geodätische Netz des V n bezogen auf dasjenige des R„ in irgendeiner Weise deformiert erscheinen, und auch die geodätischen Koordinaten müssen sich in gleicher Weise von den kartesischen unterscheiden. Werden diese 1 < k , 1 < n geodätischen Koordinaten des V n mit z k bezeichnet, und weiter berücksichtigt, daß die z k in keinem Punkt orthogonal zu verlaufen brauchen, also, daß zwischen Kovarianten (z k ) und Kontravarianten (z k ) Koordinaten zu unterscheiden ist, dann folgt im allgemeinsten Fall n nach den Regeln der Analysis für die invariante quadratische Form ds 2 = ^ a kl dz k dz i , wobei k,l=l die a k] = const invariante Koeffizienten sind, für welche immer die Symmetrie a k i = a^ gilt, weil antisymmetrische Glieder durch den Summationsprozess eliminiert werden. Da grundsätzlich über einen Index summiert wird, wenn er in einem Produkt ko- und kontravariant erscheint, Seite 145 und die Summengrenze stets die Dimensionszahl ist, wird zur Kürzung ^PiQ 1 = Pi 0 ! 1 mit den i=l Einzelgliedem p (i) q (l) gesetzt. In ds 2 = a k i dz k dz 1 , müssen alle geodätischen Koordinaten wegen f(x i ) 1 Funktionen z-^x 1 ^ der Kontravarianten des R„ sein, und zwar Funktionen im Sinne regulärer Koordinatentransformationen, von denen es 1 < k < n gibt. Diese Transformationen drücken die Feldstruktur f aus, und ds 2 kann wegen dz k = V—-dx 1 auf R n bezogen tfdx werden. Dies liefert die Vierfachsumme (hier wurde die Indizierung umbenannt) ds 2 = a,dz i dz 1 = V a ü ■^ i -dx i dx k -gg dz^ dz 1 hierin ist stets 2-i a ji TT VT = § +ik invariant, d.h., die n 2 Koeffizienten bilden einen Tensor, i,k=l dx OX so daß bezogen auf den R n für die invariante Metrik ds 2 = g +ik dx i dx- = g;j j£ dx i dx k geschrie¬ ben werden kann. Stets ist g+ ik = g+ki symmetrisch, bzw. im komplexen Fall hermitesch, weil auch hier die Summation antihermitesche Glieder eliminiert, doch kann immer durch die Ergänzung g ,k = -g-ki der Tensor zu g ik = g+ lk + g-ik ^ gki verallgemeinert werden. Diese Verallgemeinerung zur nichthermiteschen Struktur liefert wegen der Elimination die gleiche Matrix, nämlich gik dx 1 dx k = g+ik dx 1 dx k und dies gilt auch für die kontravarianten Tensorkomponenten g- . Zum Tensorschema zusammengefaßt gilt g = Lg ik J n , wobei wegen g = g++ g sowie g+ = g+ und g_ = - g_ stets g g ist. Da die x 1 für V n nicht geodätisch sind, ist 2 g(x i )" ein tensorielles metrisches Strukturfeld über dem R„ , denn 2 g ist der allgemeine metrische Fundamentaltensor des V n , der bezogen auf den V n zum konstanten Tensorschema 2 g = [a^] = const. wird. Weil das Strukturfeld 2 g(x ; )” die metrische Deformation charakter¬ isiert, wird auf diese Weise die Feldfunktion f in metrischer Fassung wiedergegeben. Die Ergän¬ zung vom 2 g + durch 2 g zu 2 g ist bereits eine in ds 2 nicht erscheinende Erweiterung des metrischen Strukturbegriffes. Dieser Begriff kann aber noch universeller gefaßt werden, denn man kann annehmen, daß 2 g erst durch die Wechselbeziehung von 1 < Y < co allgemeinen nicht¬ hermiteschen Partialstrukturen 2 g ( ,, ) (x k )" ^ 2 g*^ entsteht, so daß der Funktionalzusammenhang 2 g ( 2 g ( Y) )V = 2 §(Y)( x ~)i n ^ 2 §(Y) den Fundamentaltensor als nichthermitesches metrisches Kompo¬ sitionsfeld aus co nichthermiteschen Partialstrukturen beschreibt, wobei für jede Partialstruktur Seite 146 wegen ihres Tensorcharakters die Spaltungsmöglichkeit 2 g^ = 2 g^ + + 2 §(y)- ' n e i nen hermiteschen und einen antihermiteschen Anteil, sowie eine Metrik ds ( 2 Y) =g (Y)ik dx i dx !s =g (Y)+ik dx i dx i existiert. Die metrischen Aussagen über das vom Synkolator induzierte metrische Strukturfeld werden zusammengefaßt in ds 2 = g ik dx i dx- = g—dxjdxj., 2 g(x k )” = 2 g + + 2 g_, 2 g!=- 2 g-, 2 g(x k )i = 2 g( 2 g (Y) )T, 2 g (Y) * 2 g ( x Y) , ds (Y) =8 (VA dxidx "’ £p (i) q (i) = p^q 1 (37) Da für jede Partialstruktur eine Metrik definiert sein muß, ist ein Zusammenhang n (co) zu erwar¬ ten, wenn überhaupt derartige Partialstrukturen existieren, und zwar muß dieser Zusammenhang von den Hermitezitätseigenschaften des Kompositionsfeldes oder der Partialstrukturen unabhängig sein. Für jede Partialstruktur gibt es nach Gleichung (37) eine Metrik, und jede Metrik beschreibt als homogene quadratische Differentialform das Element eines R 2 , woraus unmittelbar folgt, daß der Zusammenhang n (co) nur in der Form n = 2 co (38) 2 — möglich sein kann, wenn g in R n das metrische Kompositionsfeld von Partialstrukturen ist. Die Dimensionszahl solcher Synkolationsfelder kann also nur gradzahlig sein, doch gilt Gleichung (38) nicht, wenn 2 g ein mehrfacher Fundamentaltensor und kein metrisches Kompositionsfeld ist. Im Folgenden sollen zunächst die metrischen Eigenschaften des nichthermiteschen Kompositions-feldes und dann die eigentlichen Kompositionen der Partialstrukturen untersucht werden, für welche ebenfalls in allgemeinster Fassung ein antihermitescher Tensorenanteil angenommen wird. Zur Untersuchung des Kompositionsfeldes wird zunächst eine Präzisierung des Begriffes der Geodäsie im Kompositionsfeld notwendig. Alle x 1 des R n können gemäß x 1 (p) Seite 147 ■ ■ durch einen geeigneten Parameter p dargestellt werden, so daß dx 1 =-dp = xMp wird. Die dp Metrik nimmt dann die Form ds 2 = g lk x 1 x-dp 2 an, wenn zur Wahrung der Allgemeingültigkeit f 2 g nicht eliminiert wird. Aus ds 2 = g ik x i x~dp 2 folgt — = g ik x i x- = f 2 (p) , wobei die Up; Parameterfunktion f nicht mehr den Synkolator symbolisiert, sondern als Hilfsfunktion eingefuhrt wurde. Durch die Parameterdarstellung x 1 (p) wird immer eine eindimensionale Punktmannigfaltigkeit im R n beschrieben, die immer dann geodätisch ist, wenn sie extremal ds verläuft. Diese geodätische Extremalforderung bedeutet aber, daß auch f = — ein Extremum dp sein muß, d.h., kennzeichnen pi und p 2 zwei Festpunkte des R n , welche geodätisch sind, P2 dann muß auch das invariante Integral j f dp extremal verlaufen. Wenn dieses Integral aber ein Pi Extremum ist, dann muß nach den Regeln der Variationstheorie von Zahlenquantitäten f U 5 fdp = 0 sein. Aus dieser Bedingung folgt unmittelbar — n, d P 8f öx 1 -^L = 0 , weil öx 1 f 2 =g ik x i x- , also wegen g( x ‘)" in der Form ^x 1 ,^ 1 )“ von zwei n Argumenten abhängt. Wird dies verwendet, dann wird die Bedingung zu r J + 2f 2 -f (g,„x‘)-f 2 VxH = o. dp dp ox~ Stets kann p so gewählt werden, daß p ~ s , also f=const. (p) wird, was hat. Damit werden die partiellen Differentialgleichungen der Geodäsie zu zur Folge dg i: öx 1 ~ X^X“ = 0 und diese n Gleichungen beschreiben unter der Voraussetzung g^x 1 ^-= const(p) eine geo¬ dätische Linie im R n . Wird dieses System mit x 1 multipliziert und über i summiert, so folgt nach der Produktregel Seite 148 -(gn^^-g^ dp ^x i x i x k =2f— = 0, dx 1 dp also f=const(p) , d.h., f=const(p) ist tatsächlich ein Integral der geodätischen Gleichung. Erweist sich ds 2 weder als positiv noch als negativ definit, sondern als indefinit, so wird auch f = 0 möglich, doch soll dieser Fall zunächst ausgegrenzt werden. Die Gleichungen einer geodä- P2 tischen Linie können noch in eine andere Fassung gebracht werden. Wenn nämlich öj" fdp = 0 Pi P2 ist, dann muß auch ö J f 2 dp = 0 sein. Geht man von diesem Variationsproblem aus, dann wird Pi d dp 2 —(g lk x^)- .^Ü^x^O ^ also A öx 1 dp df 2 \ df 2 "dx L = 0 identisch. Es folgt daraus lk öx 1 2 ax 1 -x 2 x- = 0 und durch zyklische Vertauschung der Indizes ergibt sich ^ Sik x k x^ = ——7-X^X k = — ax 1 dx- d 8 ik , d S + ■ dx 1 dx~ x 2 x k . also g,k x ~ + - a glk a glj dg -+ jk dx 1 dx- dx 1 X-X = 0 Seite 149 Da der Faktor vor x-x- i mm er wieder auftritt, soll für ihn die kovariante Größe ]_ 2 ^g ik ^dx 1 dg.j g gjk" dx~ dx 1 , eingeführt werden, welche die Änderung der metrischen Struktur mit den Koordinaten kennzeich¬ net. Auf diese Weise wird g ik x-+{i jk}x^x k =0 . Das Kompositionsfeld 2 g ist aber zugleich als nichthermitescher metrischer Fundamentaltensor zu interpretieren, dessen kontravariante Komponenten existieren. Demnach gelten i mm er die Transformationsmöglichkeiten g ik A k = A, oder g-A = A k , also gilt g ii g ik =ö^ mit ö[=0 für k^l aber 5j,=l für k = l .Da 2 g^ 2 g x ist, muß formal zwischen 8^ und 8 k 1 unterschieden werden, doch haben beide Symbole die Eigenschaft des Einheitselementes. Multiplikation der Gleichung mit g ü und Summation über i liefert demnach 0 = 5 tx k +g li {ijk}x i x k =x 1 + 1 J k x^x M wobei die n 3 Komponenten jj^j sich in Gegensatz zu z g im allgemeinen nicht wie Ten¬ sorkomponenten dritten Grades verhalten, denn auf Grund der Definition verhalten sich diese gemischt Varianten metrischen Größen nur gegen reguläre Affinitäten mit unitärer Transformations¬ matrix A A = E (die Matrix ist mit ihrer Kontragredienten identisch) wie invariante Tensor¬ komponenten. Für diesen metrischen Pseudotensor soll daher das Symbol wendung finden. Insgesamt wird also die Geodäsie beschrieben durch : 1 |) ={ ) Ver - x i (p) = x i , g ik x 2 x k = const (p), x 1 -hj^i x^x 1 =0, kl = g y {jkl}, {j k 1} = - ög jl+ dg kj dg k dx- dx 1 dx 1 l kl (39) Seite 150 bezogen auf die nichtgeodätischen Koordinaten x 1 des R n in Parameterform. Charakteristisch für geodätische Koordinaten ist die Konstanz des Tangentenvektors D = const (p) hinsichtlich des Parameters. Andererseits gilt für die Komponenten des Vektors D' =-x' = const (p) ds wegen s ~ p . Dies hat aber x 1 = a 1 p + b 1 mit den beiden Konstanten a 1 = x 1 und b 1 zur Folge, d.h., geodätische Linien bilden ein System von Geraden, wenn sie in einen euklidischen Bereich projiziert werden. Mit x 1 = a 1 = const (p) wird außerdem x 1 = 0 , was in Gleichung a k a x = 0 liefert, was wegen a l ^ 0 und g ü ^ 0 und für {j k 1 } = 0 mö¬ glich wird. Das Verschwinden der Differentialform bedeutet aber, daß für geodätische Koordinaten die gik = a ik = const werden. Wenn also eine Koordinatentransformation existiert, welche diese Konstanz erreicht, dann kann es sich nur um eine Transformation in geodätische Koordinaten han- 2 — 2 — 2 — dein. Wegen der Spaltbarkeit g = g+ + g wird (39) eingesetzt L j also {j k 1} = 0g.„ 0g-„ 0g*, 0g- k , 0g*, 0g dx~ ■ + ög +j i . dg + +kj dx- dg ■ + +kl dx~ dx 1 dx^- dx l A l' + - 2 + - öx 1 dx 1 dx 1 5g_ J)+ Ög -kJ dg_ dx~ dx~ dx 1 = {jkl} + +{jkl}_, kl =g a {jkl}=g-{jkl} + +g a {jklL kl + kl oder zusammengefaßt {}={}.+{}. (39a) hinsichtlich der kovarianten Induzierungen, denn aus der Spaltung wird und Seite 151 1 kl 1 lk völlig evident. Die Transformationsmöglichkeit der zu Grunde gelegten i Koordinaten x 1 des Systems C in geodätische Koordinaten jj = 0 legt es nahe, C in irgendein anderes nichtgeodätisches System C' des R n zu transformieren. Zur Durchführung der Transformation wird berücksichtigt, daß die durch x' + jj x-x 1 = 0 ausgedrückte Geodäsie gegen die Transformationen von C nach C' invariant bleibt. Es ist . j dx L . , m , ..; dx L ..,p d 2 x 1 X 1 =-X® und X 1 =--X-+- dx' m d x- dx' m dx fM- -x'®x ,y was in x 1 + x^x 1 = 0 eingesetzt dx L dx ,p - x ,p -+- d 2 x 1 dx' m dx ,p - -x'®x' y + 1 kl x-x 1 =0 ergibt. Wegen der Invarianz der Geodäsie ist aber auch x' e =- P m ja x'®x' y in C' gültig, was eingesetzt zu 0 = i kl x-x 1 + 8 2 x 1 dx 1 dx'-dx'- dx ,p - x'®x' s führt. Hierin kann i mm er Seite 152 als Doppelsumme aufgefaßt werden, was die Summendarstellung d 2 x L ■+ i ) dx k dx 1 dx L öx'®ax' B "Max'® dx* ~l m ßl dx* x'®x ,t! 5t 0 ergibt. Da hierin im allgemeinen immer x'®x'- ^ 0 bleibt, und zwar für alle Indizes, so kann die Beziehung nur erfüllt sein, wenn für alle Summanden d 2 x 1 ( i \ dx~ dx 1 _ ( p j'dx 1 0x'®0x' ü + l kl l0x'® l m l4 0^ gilt, und dies ist das Transformationsgesetz der jj ^ j von C nach C' , d.h., wenn von dieser Koordinatentransformation die Funktionaldeterminante bekannt ist, dann ist mit ihr auch dieses Tranformationsgesetz gegeben. Neben diesem Transformationsgesetz d 2 x 1 - + i ) dx k dx 1 dx L 0x'®0x' ü "M0x'® 0x' e 0^ (40) der Komponenten von { } , muß noch ein Theorem über die metrische Determinante des hermi¬ teschen Anteils von 2 g , also g+ = | g+i k | n abgeleitet werden, wenn metrische Operatoren im Kompositionsfeld entwickelt werden sollen, welche den Tensorgrad irgendeines Tensorfeldes er¬ weitern oder kontrahieren. Da die Komponenten g| k den zu 2 g+ inversen 2 g“' bilden, muß auf jeden Fall |g+“| n =—- sein. Nach der Definition von 2 g + ist g;-g +jk =8 ij als Einheits¬ element eine reine Zahl, also 8,j = g;-dg +jk + g +jk dg~ = 0 oder gfdg +jk = -g +jk dgf. Multiplikation mit g; bzw. g+u liefert die Doppelsummen g+g+dg + j k = -g +j kg+dg+ bzw. gfg +u dg +jk =-g +jk g +a dgf , was nach Umformung der totalen Differentiale dg+ = -g+g+dg +jk und dg +jl =-g +il g +jk dg;- ergibt. Bildung von ^^ +l1 liefert, wenn — ^ + j k = {k i 1} + {i k 1} dx- dx~ + + der totalen Differentialquotienten die Partiellen gesetzt werden, verwendet wird, und anstelle dg“ _ jk u dg +J k dx m ä+ä+ dx m _ g+g+ ({k j m } + + {j k m} + ) = -gf Da andererseits auch dg +ik öx 1 {k i 1} + + {i k 1} + = g +km +g m k 1 ist, kann auch öx 1 V + g+ Seite 154 gebildet werden. Wegen der Eigenschaften der g+ ik und g' k bildet g + g~ einen Minor ersten Grades von g+ , doch liefert nach einem Determinantentheorem dg, dg den gleichen Minor, so +ik dg. ik daß —-- g+g+ gesetzt werden kann. Hieraus folgt nach Multiplikation mit — die Dif- d g+ik 2 ferentialgleichung _ 1 „ d 1 dg ik oder axl wenn w + = zur Kürzung eingeführt wird. Substitution mit dg dx ik d .. i ■ ) ( i. 'i A ik 1 , K g+ {jl)+ g+ {jl; + y l(i) lfi liefert ^T lnw + = j il + + 2 jl d ( k Hierin sind aber die Summen identisch, so daß sich das einfache Theorem —-ln w = I, , dx 1 l K 1 ergibt. Eine Summe Tw ist aber nichts anderes als die Komponente 1 des kovarianten Matri- d zenspektrums von { } + und ——- die Komponente 1 des Gradientenoperators grad n im zusam- ax 1 R„ , so daß die partiellen Differentiationen -—- zu grad„ und zu sp{ mengefaßt werden können. Das Theorem der metrischen Determinante des hermiteschen Komposi¬ tionsfeldes wird demnach in der Operatorgleichung grad n lnw + =sp{ } + , w + (41) zusammengefaßt, in welcher ein Operatorzusammenhang zwischen der metrischen Determinante g+ von 2 g + und { } + hergestellt worden ist. Im R n sei ein beliebiges n -dimensionales Koordinatensystem C' gegeben, in welchem die (n - 1 ) Größen x' 1 = const mit 2 < i < n dargestellt sind. Es bleibt also nur die eindimensionale Mannigfaltigkeit x' 1 übrig, derart, daß Seite 155 jedem Punkt dieser Mannigfaltigkeit ein Vektor mit nur einer Komponente A' 1 zugeordnet werden kann. Wird A' 1 in C’ auf ein anderes System C abgebildet (auch n -dimensional) und wird die Abbildung durch A 1 gekennzeichnet, so kann sich die Zahl j im Gegensatz zu der einen Komponente in C' im ganzzahligen Intervall 1 - j - n bewegen. Nach dem linearen Transformationsgesetz von Vektorkomponenten folgt A 1 =-A' 1 , wenn die x 1 die dx~ Koordinaten von C darstellen. Sind in C' zwei infinitesimal benachbarte Punkte P und Q durch dx'® voneinander getrennt, so gilt A i =-^-dx'® = 8x'~ d 2 x~ ^,1 w ^ ^ 5A' 1 6 x^ dx^dx'® + öx'® öx ' 1 dx' Hierin ist d 2 x 1 i V öx^ | j 1 öx k dx 1 dx'-dx' m m l <9x a |k l| öx' 1 öx'® und zwar nach Gleichung (40). Nun sei C' imPunkt P geodätisch, was 2 g' = const und für alle jjM =0 zur Folge hat. Damit wird d 2 x^ _ ( j ) d x k d x 1 öx^öx'® __ l k ijfx' 1 0x'® ’ was in dA 1 eingesetzt dA 1 -A' 1 j ) öx~ dx 1 dx^- dA' L kijfx' 1 Öx'® + fx' i dx'® Seite 156 ergibt. Ist C ebenfalls geodätisch, also I / = 0 , so wird dA , = axiaA^ dx ,„ = axi dA ,, dxdx' dx- was auch dann richtig bleibt, wenn , also C nicht geodätisch ist. In dA 1 ist dxL A 'm . 1 , A ,1 ÖX- ■ -dx-=dx- und A ~ -- = A dx' : dx~ Wird dies berücksichtigt, dann folgt dA 1 = -A- J kl dx 1 + dx'* dx' 1 dx ,m Voraussetzungsgemäß verhielten sich aber alle Koordinaten in C' völlig konstant mit Ausnahme von x' 1 . Dies bedeutet aber, daß dx 1 dA' 1 dx' 1 dx'® dx'® = 0 , also dA 1 = -A- dx 1 für infinitesimale Parallelverschiebungen eines kontravarianten Vektors in C gilt, wenn dieses System mit nicht geodätisch ist. Setzt man in dieser Beziehung A 1 = x 1 und x i (p) als Parameterfunktion, dann wird das Verschiebungsgesetz zur Gleichung der Geodäsie x 1 + x^x 1 = 0 . Seite 157 Ist das infinitesimal verschobene Vektorfeld nicht kontra-, sondern kovariant, dann folgt in einer ganz analogen Entwicklung das Verschiebungsgesetz dA i= +A k dx 1 . Aus diesen Verschiebungsgesetzen geht hervor, daß sich in einem Kompositionsfeld 2 g * 2 g x ändert, wenn es längs nichtgeodätischer Koordinaten verschoben wird, was nur auf die Struktur des R„ zurückgehen kann. Mit Hilfe dieser Parallelverschiebungsgesetze können zwei Differential¬ operationen, nämlich gP gx- 1 ik P,=A ik und gP 1 gx- definiert werden, welche P im R n (bezogen auf nichtgeodätische Koordinaten) so verändern, daß der ko- oder gemischt Variante 2 A entsteht. Handelt es sich nämlich um eine Parallelver¬ schiebung dx- vom Betrage dx , so sind die dx k _ dfi dx dx 1 ik Pi dx~ dx und A\ dx k dx dP 1 dx dx k dx die Komponenten des gleichen Vektors in ko- oder kontravarianter Form. Die beiden Differential¬ operatoren bewirken also eine Extension des Tensorgrades von 1 auf 2 . In völliger Analogie hierzu Seite 158 können Operatoren abgeleitet werden, welche den Tensorgrad m < n - 1 auf m + 1 erweitern, weil jeder Tensor aus Vektoren aufgebaut ist, und zwar gibt die Zahl dieser Vektoren den Tensor¬ grad an. Für die T ik im Fall m = 2 folgt dann durch Parallelverschiebung ein solcher vom dritten Grade. In kovarianter Form gilt dann oder für die gemischte Varianz sowie rein kovariant a -£5l 111 ax 1 m ilfTn* m , k dT- A t=—^ + dx k ml rp,m Aik A | =—V + 4 d x 1 i ml rpmk k ml r-pim Der Nachweis, daß bei diesen Differentialoperationen tatsächlich Komponenten eines Tensors vom dritten Grad entstehen, erfolgt, wenn die Komponenten von 2 T durch die Komponenten von zwei Vektoren P und cp in den Formen T ik = Pi® k bzw. T k = P i cb k oder T- = P 1 ® k dar¬ gestellt werden. Nach Anwendung der Produktregel stellt sich dann heraus, daß in den Summen nach Anwendung des Differentialoperators die Komponente eines Tensors vom zweiten Grad mit einer Vektorkomponente multipliziert erscheint, was im Produkt die Komponente eines Tensors vom dritten Grad liefert. Diese Schlußweise kann weiter fortgesetzt werden, bis der Operator auf ein Tensorfeld beliebiger Varianzstufen vom Grad m < n - 1 einwirkt, und ein Feld vom Grad m + 1 < n entsteht. Man erhält für die reine Kovarianz d dx~ A k ^ii-kn -z A,=l > A. und rein kontravariant d dx k +Z X=\ 1^ I . F kJ Seite 159 Eine ganz entsprechende Erweiterung ist möglich, wenn m A mit den Komponenten A‘V'" lra gemischt variant ist. Es gilt dann <3x- A _ X " 1 ) S ( \ 1 M+l ■ ■ ‘' m , V " 1 VE ZA f ,k| V-E-i.s^+f-v Zj i=n 1 ’ > x=u+ s k A ! L_I ' für die Komponenten m+1 A . Aus der Einwirkung derartiger Operatoren auf ein kovariantes Vek¬ torfeld kann auf die Spaltbarkeit des metrischen Feldes 1* J geschlossen werden. Ist nämlich aAj <9x- und wird hiervon die Transposition subtrahiert, so folgt dK ÖA„ dx~ dx L = A, vi ik l l ki ;y was aber bedeutet, daß die rechte Seite durch { . s ^ > -1 ^1 antihermitesch sein muß, was wie¬ l l derum die Existenz von j ^ j| und j k l| = | k l| + ( k l) nac ' 1 s ' c k zieht. Es erscheint zweck¬ mäßig für diese Differentiationsprozesse von beliebigen Tensorfeldem Operatoren \~ einzu- n führen. Kennzeichnet P k die jeweilige Operatorkomponente von r=ir k , so unterschei- k=l det sich die kontravariante Wirkung von der kovarianten der \~ k dadurch, daß die metrischen Größen im kontra Varianten Fall zu öx- addiert, im kovarianten dagegen subtrahiert werden. Demzufolge soll P (+) die kontra- und P ( .) die kovariante Wirkung beschreiben. Neben dieser Zweideutigkeit P ( ±) gibt es noch eine sehr große Variationsmöglichkeit der Operatortypen, denn wegen der nichthermiteschen Eigenschaften der jj j j in den kovarianten Indizes können sechs Grundtypen der P (±)k definiert werden, nämlich Seite 160 sowie d dx~ d dx k d dx~ d dx- ±Z( ){}« = !. ±13 ){ Y-z = 2 > ±£( K ),-<==3,4 ±Z()(K-«=s- Darüberhinaus gibt es noch die Fehlstelle d dx k ±Z()! }o 8 dx k = e = 6. G ^ Eine weitere Signatur —-±^( ) { }* ist mit dem Typ e = 3 wegen der Hermitezität iden- ö x tisch. Diese sechs Grundsignaturen können auf die verschiedenste Weise kombiniert werden, wenn der [~ -Operator auf irgendein Tensorfeld beliebigen Grades in irgendeiner Varianzstufe ein¬ wirkt. Jeder Operator |~ (±) hat demnach eine im allgemeinen differenzierte Typensignatur, die sogenannte Multiplettensignatur zu erhalten, was durch \~gekennzeichnet werden kann. Dabei soll stets die Signatur vor dem Komma, also Si mit der oberen Angabe der Varianzwir¬ kung, und diejenige hinter dem Komma mit der unteren Varianzwirkung korrespondieren. Der Begriff Multiplettsignatur bezieht sich dabei auf die Vielheit der elementaren Singulettensignaturen s , aus denen si oder s 2 aufgebaut ist. Die allgemeinste Form, in welcher ein \~ -Operator beliebiger Multiplettsignatur und gemischt varianter Wirkung beschrieben werden kann, ist mit diesen Signaturangaben gegeben durch I (Sl),(s 2 ) I (±)k d äx* m + K) ! X=p.+1 _Y I (si),(s 2 ) - Zj 1 (±)k ’ k=l r (s 1 ),(s 2 ) m A (±) > A “s. {}={}<„> U"={W 0.-0,,. {}>{},„. »{}-{} (42) Seite 161 Gibt es bezogen auf irgendein System P Möglichkeiten für Si und Q für s 2 , dann können alle P Operatoren des betreffenden Systems zu einer rechteckigen Operatormatrix aus P Q Elementen vom Rechteckstyp P,Q nämlich r=(nr-’) PQ («*>) der sogenannten Wirkungsmatrix zusammengefaßt werden. Das aus dem einfachen Singulett bestehende quadratische Schema (P[+j (/) j kann stets als Matrizenabstand in \~ enthalten sein. Diese - Operatoren sind demnach Extensionsoperatoren, die den Tensorgrad um 1 er¬ weitern. Die Ex (si, 2 ) können dabei nur die ganzen Zahlen zwischen 1 und 6 annehmen, doch richtet sich ihre Folge beim Durchlaufen des kovarianten Intervalls 1 < X < p oder des kontra- varianten p + 1 < k < m nach den Signaturgesetzen s 2 bzw. Si . Aus Gleichung (42) geht hervor, daß zwar I (»1 ),(s 2 ) 1 (+) Pp 2 P 2 ü_ = const = 0 , also und schließlich 2 g— > 2 a^ 2 a x = const . Im ersten Fall werden wegen j ^ ^ Seite 162 , nur die einfachen Singulettsignaturen e = 4,5,6 für die Typensignatur relevant, während im zweiten Fall die Singulettsignaturen e = 4 und s = 5 entfallen, während £ = (1,2,3) = + identisch werden. Das Entfallen von £ = 4 und £ = 5 kann als ein Identisch¬ werden mit der Fehlstelle £ = 6 , also s = (4,5,6) = - aufgefaßt werden. Im Fall dieser Appro¬ ximation hat man also wenn die 0 -Elemente der Wirkungsmatrix zur Wirkung nicht eingetragen werden. Wird schließlich im dritten Fall auch noch der hermitesche Anteil konstant, dann gilt ( 6 ) weil in diesem Fall die geodätischen Bedingungen erfüllt sind. Wird schließlich in einem letzten Schritt der Approximation der R n mit 2 a—> 2 E euklidisch, dann braucht nicht mehr zwischen ko- und kontravarianten Koordinaten unterschieden zu werden, so daß in dieser euklidischen Approximation lim |~ (0) = div n zur gewöhnlichen Tensordivergenz wird. Dies bedeutet aber .ltaspn^div. und «m_(r ( 6 ) -r; 61 ) = ™<. • Die allgemeinen f~ -Operatoren nach Gleichung (42) sind demnach immer als Tensordivergen¬ zen und ihre Kontraktionen nach Gleichung (43) als Vektordivergenzen im nicht hermiteschen Kompositionsfeld aufzufassen, während ihre nichtkontrahierten Antihermitesierungen als Feldrotore in dieser metrischen Struktur erscheinen. Nach dem Varianzstufengesetz g^g- = ö,- = const(x-)" muß wegen 2 g ^ 2 g formal öf + ö Seite 163 gesetzt werden, doch können diese Einheitselemente zum Schema 2 s = ^5;- J zusammengefaßt ö werden. Zwar gilt -—j- 5;- = 0 , doch ist im allgemeinen wegen der metrischen Komponenten von (J X { } in den \~ -Operatoren 2 c ^ 3 0 , doch folgt mit P = f | f) 6 , also dem quadratischen Abschnitt der Singulettensignatur aus der Wirkungsmatrix, sp P, 2 s ± 3 0 nach einer Komponentendarstellung, weil sich hier die Komponenten von { j- als Summanden kompensieren. Dies gilt aber nicht für die extradiagonalen Operatoren aus V , denn im allgemei¬ nen folgt ebenfalls nach einer Komponentendarstellung r ( £ )>(x) (±) ’ 1-5 «X * 3 0 für s ± % , so daß die zur Übermatrix zusammengefaßte Aussage r, 2 s#ö, r=(r!fA 2 — e[8r]„ =[g ik g“]„ =const (x-)“ (44) entsteht. Für dieses Theorem V, 2 s ^ Ö gibt es weder für 2 g = 2 g x , noch für 2 g = 2 a = const oder 2 g = 2 E ein Analogon, vielmehr ist dieses Theorem eine Konsequenz der nichthermiteschen Kompositionsfeldstruktur des R„ .Hinsichtlich 2 g können mit den \~ -Operatoren noch weitere Theoreme abgeleitet werden. Wird g = | gik | n und w = gj zur Kürzung eingeführt, und läßt man aus das kovariant wirkende Element |~auf 2 g einwirken, so entsteht ein Tensor vom dritten Grad mit den Komponenten dg,k dx 1 ’ gsk S kl also Seite 164 1 div„ Wird von diesem Tensorfeld die Matrizenspur für i = k gebildet, so muß ein Vektor entstehen. Wird diese Spurbildung durchgeführt, so folgt dg ik dx 1 8*8* {fl} 1 dw w dx 1 d dx l lnw- wobei wegen w ^ w+ das Theorem (41) nicht anwendbar ist. Offensichtlich sind diese Größen g 1 - |~P'f, g ik = a, die Komponenten eines kovarianten Vektorfeldes a[ = —p ln w - (-), öx 1 worin w als eine Skalardichte in Erscheinung tritt. Ist p eine weitere Dichtefunktion, welche b, =• dx ] -lnp- s s 1 definiert, so liefert die Differenz ein drittes Vektorfeld, nämlich c, = b, a i = d dx 1 ln Iw J im euklidischen vw; und zwar sind das die Komponenten des Gradienten der Skalarfunktion ln | Bereich, p bi ist offensichtlich die Dichte desjenigen Vektorfeldes, dessen Komponenten die bi sind, d.h. P b i =PTT ln P-P ox~ dp ^x 1 P wäre die totale Differentiation einer Skalarfunktion p im R„ mit einer Vektororientierung. Dieser Differentiationsprozess Seite 165 dargestellt werden, der insgesamt I— ^ kann nur durch einen metrischen Operator | , = —— r ox~ n _ gemäß r=in vektoriell P = |~,p wirkt, und sowohl für 2 g^ 2 g x , als auch für 2 g = 2 g x 1=1 gilt, während er für 2 g —> 2 ä = const zur einfachen partiellen Differentiation nach den Kontra¬ varianten, und für 2 g —> 2 E gemäß limJ - = grad zum Gradienten wird. Dieser Operator 2 g —> 2 e wird beschrieben durch: p=r, P , r=zr„ n= 1=1 öx 1 lim_r = grad n 2 g —> 2 e (45) Aus dieser Limesrelation geht unmittelbar hervor, daß f~ einen Gradienten im metrischen Kom¬ positionsfeld darstellt. Mit diesem Operator f~\ kann noch ein anderes Theorem abgeleitet werden. Partielle Differentia¬ tion von nach x~ liefert d dx k - r n ’ p VP d 2 dx~dx r ln P- dx s k ) s i und daraus folgt wegen der Vertauschbarkeit gemischter partieller Ableitungen Seite 166 (45a) d dx m f l r 1 -I i,P KP J dx l 1 \— -I m >P vP wodurch die Skalarfunktion p mit den metrischen Größen in einen tensoriellen Zusammenhang gesetzt worden ist. Ist A die durch p in der Form A = p A definierte Dichte eines kontravarianten Vektorfeldes A , so beschreibt |~j 1 ^, A = \~[+),(p A j ein Tensorfeld zweiten Grades. Da die \~ -Operato¬ ren Differentialoperatoren sind, muß die Produktregel in der Form rj! 1 ,, ,(p A‘) = p n\ ,A‘ + AT„P = P |A + p A= j M+A dx k - iiL_ A ipD öx k ^ (S k a -^- + A 1 l \ l-A 1 1 s ax k _ l sk j _ l sk angewendet werden. sp|~[+)»A ist dann eine Skalargröße, welche sich zu dA k - dx- + A 1 = div n A + A- s s k ergibt. Entsprechend folgt für das transponierte Singulett s P n?,, ä =di v „ ä - At { s s k) . Addition beider Kontraktionen bzw. ihre Subtraktion liefert dann sp r|5) > A + sp rj!), A = 2 div n A, sp H^Ä-sp fft, Ä = 2A k j s S k J . (46) Seite 167 Diese Differentiationsgesetze von Vektordichten können auch auf Tensordichten beliebigen Grades m T = p m T übertragen werden, weil jeder Tensor aus Vektoren aufgebaut ist. Für p = w = J jgf können auf diese Weise einige Identitäten für g entwickelt werden, wenn g = w g ist. Der Tensor 3. Grades gg- öx 1 + g s,k wird zunächst in i und k antihermitesiert, was zu g“ -g ks führt. Dieser in i und k antihermitesche Tensor 3. Grades soll für k=l kontrahieren, so daß ein Vektor entsteht. Nach Vertauschung der Indizes ergibt dies n+)M§~ f) dx i(f 8') + § j ijsi Mj S +i j j mAKu» -(r-r){; s } + = 2 ^r +2 ^{;s} + + ög! +2 ^ M +2 ^ /sl- 2 ^ R = 2 dgi? ax 1 - + i s JJ- weil g~ - g~ = 2w gr = 2 gr ist. Damit wird auch f~, (g“ - g“) = 21~, g? , was einge¬ setzt das Theorem des kontravarianten Dublettoperators Seite 168 liefert. Eine weitere Identität ergibt sich aus |~nach Multiplikation mit g ik und Spurbil¬ dung. Es ist, wenn g* g- = n berücksichtigt wird, Hierin ist -S k was eingesetzt g ik | [+)'*,g“ =( n -2)| _ ,,w ergibt. Es haben sich demnach die beiden Identitäten kontravarianter Doubletts "(U2) „ik _ ^1- „ik ) S i (+i ( + ) k ’- _ 5x- - + {ks{ ’ g,k n^,g- =(n-2)n,w, 2 g = w 2 g, w = > /jj, g = |g lk | n (46a) Seite 169 ergeben. Diese Beziehung (46a) zeigt, daß die Tensoren 3. Grades, welche durch Einwirkung des Doubletts (1,2) der Wirkungsmatrix auf die g ik , g- oder g~ eine hermitesche Symmetrie in den Indizes i und k zeigen, für welche es kein Analogon in den Bereichen 2 g' = 2 g' x gibt. Aus Gleichung (46a) folgt nämlich [3] rr (1 ’ 2) e L 1 H ,gik . 1 [3] L 1 h : §ik x—1 i,k = [!| [r 0.2) gik (+)i ’ g 1 W r 0.2) ik (+), ’ g X—1 i,k = [3] fr( 1 ’ 2 ) rr-1 [3J rn i>2) J (+), ’M Jn L 1 ( + )i - 1 Ml nx-i i,k _[3]l (46b) und aus dieser hermiteschen Symmetrie geht hervor, daß jedes Tensorfeld m A , welches sich nach irgendeinem Gesetz mit m < n aus den metrischen Größen g ik , den g- und den aufbaut, für jeweils zwei Indizes a und ß gleicher Varianzstufe, gemäß m A = — f .. . X . ^ m A+ m A a,ß i +— f ^ n \ m a m A a,ß 2 ^ ) 2 L J (47) in einen hermiteschen und einen antihermiteschen Anteil gespalten werden ka nn . Die Forderung gleicher Varianzstufe für a und ß ergibt sich unmittelbar aus dem tensoranalytischen Gesetz, wonach Indextranspositionen nur innerhalb einer Varianzstufe durchgeführt werden können. Im R n mit 2 g^ 2 g x gehe von einem Punkt P 0 mit den Koordinaten x- ein Vektorsystem mit den skalaren Komponenten A- aus. Ein infinitesimal benachbarter Punkt Pi mit x- + dae L werde mit P 0 durch dae 1 verbunden und längs dieser Verbindung eine infinitesimale Paral¬ lelverschiebung des Systems A durchgeführt. Bei dieser ersten Infinitesimaltranslation muß es zu einer ebenfalls infinitesimalen Änderung von A- kommen, und zwar gilt dA- = A-dx 1 . Ein dritter Punkt P mit den Koordinaten x l + dx 1 + öae 1 sei Pi infinitesimal um öae 1 be¬ nachbart, was eine weitere Infinitesimaltranslation von Pi nach P ermöglicht. Dabei kommt es zur Änderung Seite 170 8,A ] =-{ k J 'i) (A^+d^Jdae 1 =■ J kl k p Y A-dx- dx 1 d dx- J kl A- 5ae i dx" Neben P kann noch ein Punkt P 2 mit x l + dx 1 angenommen werden, so daß eine Infmitesi- J kl A- dae 1 zur Folge hat. Eine maltranslation von P 0 nach P 2 die Änderung d 2 A-= weitere Verschiebung von P 2 nach P kann angeschlossen werden, die zu d 2 A- fuhrt. Insgesamt liefert die Verschiebung von P 0 über P 2 nach P die Änderung d 2 A- +d 2 A- = ■ J kl A- dae 1 J kl A- k P Y A-dae- dx 1 dx- J kl A-dxMae- und zwar kehrt sich das Vorzeichen um, wenn der Weg in umgekehrter Richtung, also von P über P 2 nach P 0 durchlaufen wird. Die Infinitesimaltranslation des Vektorsystems von P 0 über P 2 nach P liefert die Änderung d, A J + d, A J der A J - , denen sich die Änderung -d 2 A--d 2 A i anschließt, wenn das System von P über P 2 nach P 0 zurückgeführt wird. Die Infinitesimaltranslation längs dieses Zirkels von P 0 über Pi , P und P 2 zurück nach P 0 bedingt also eine Infinitesimaländerung der Skalarkomponenten, nämlich dA j = d, A J + djA 1 - d 2 A j - d 2 A 1 d j ) dx- (kl) A- ^dx 1 dae- -dx- wenn die Indizes ja und Y vertauscht werden. Wenn schließlich noch die Indizes 1 und ja ausgetauscht werden, dann wird eine Summation möglich, und es ergibt sich dA^iRi, dx 1 dae 1 dx~ dae® A- Seite 171 mit der tensoriellen Kürzung R i,'„ =■ 0xM km I e*»(ki .m kl wobei in R^ m für die Indizierung j = i , sowie p = m und Y = s stehen. Die Änderungen 5A 1 sind offensichtlich Differentiale von Vektorkomponenten und daher invariant. In gleicher dx~ dx- Weise müssen die Produkte A- , invariant sein, so daß in dem Ausdruck dA 1 die Sae 1 Sae 1 - Faktoren R^ lm ebenfalls invariant sein müssen und demnach die Eigenschaften von Kompo¬ nenten eines gemischtvarianten Tensors vom 4. Grad aufweisen. Für diesen Tensor gilt 4 R = d dx l d dx m (48) Da der Tensorgrad höchstens mit der Dimensionszahl des R„ identisch werden kann, folgt, daß immer n > 4 gefordert werden muß, wenn 4 R existieren soll. Zur Symmetrieuntersuchung dieses Tensors wird er in die kovariante Form gebracht. Mit g^R = R |k|m wird unter der Verwendung der Produktregel, sowie g,, j^jJ = {i k 1} und der Definition dieser kovarianten metrischen Größen Rjklm d öx . {ikm}-^{ikl} + g^[{Ykl}{pkl}-{Yil}{pkm}] (48a) und mit dieser kovarianten Fassung können Symmetrieuntersuchungen durchgeführt werden, weil nunmehr alle Indizes in der gleichen kovarianten Stufe stehen. Auch ist evident, daß Spaltungen der Form (47) in hermitesche und antihermitesche Anteile möglich sind, weil die Bedingung (46b) von 4 R erfüllt wird. Die gemischtvariante Fassung (48) gestattet eine Kontraktion durch Bildung des Matrizenspektrums, welche gemäß sp 4 R = 2 R eine Kontraktion des Tensorgrades um 2 Seite 172 wegen R kl =R® lm , also 2 R = [R kl ] n zur Folge hat. Aus Gleichung (48) ergeben sich die R k i für i = m und Summation zu 2 R = sp 4 R, R ki = d d öx® (48b) Von diesem Tensor liefert eine nochmalige Bildung des Matrizenspektrums die Kontraktion zu einer Skalargröße, nämlich R = sp 2 R = g kl R kl = Rj^ , welche mithin aus Gleichung (48b) hervor¬ geht. Wird die Matrizenspur in transponierter Form gebildet, dann folgt R = sp 2 R = g~R kl = Ri = g~ d dx 1 m i )km d dx 5 m ® kl + g a k s m m s m s kl Anwendung der Produktregel liefert, wenn die Divergenzffeiheit von 2 g und 2 g 1 berücksich¬ tigt wird, g- d m m d lim öxilkmj ax®l kl i ax 1 1 m j dx m \ 1 j Max® d flm'( + |m a - g * <3x- k m m k m m + m) d jk _ d (km) fm) d kl iöx® 8 _ öxM m l ( kl lax® Hierin ist wegen kl m = (g-g--g-g-){stm} = 0 auch =0 Weiter gilt Seite 173 g- s k m m s m s kl m s m so daß sich für das invariante skalare Matrizenspektrum R = sp 2 R = g k + (48c) ergibt. Aus dieser expliziten Darstellung von R folgt unmittelbar, daß R oder a R mit irgend¬ welchen konstanten Koeffizienten a die einzigen invarianten Skalare sind, die aus den Kompo¬ nenten von 2 g und ihren partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung gebildet werden können. Beschreiben 4 R bzw. 2 R irgendeinen Bereich in R n , so kann von dem Tensorfeld 2 R die Vektordivergenz gebildet werden, und zwar auf geodätische Koordinaten bezogen. Wegen der Geo¬ däsie gilt für diese Vektordivergenz = kl ^R^ = k] im dR, al , ÖX k g ÖX k g ä dx k Wird hierin mit Gleichung (48a) substituiert, und die Definition von {i k 1} eingesetzt, so folgt (snH 6 ’ 6) 2 r) =-£-2®_ - gal _-e ö e-_ - gam _+ V P ' H ’ /a 7 § 8 7 8 8 i ^ ^kl_im + 2 g_S “ f d Sim ^3 'N d gil 1 kl im — rr—rr— f -)3 d gim ^3 V d gii ^ÖX^ÖX-ÖX 1 öx-dx-öx- j - 2 g g v öx-dx-öx i dx“öx-dx- j weil sich nach Vertauschen der Indizes i und k , sowie 1 und m die ersten beiden Summen 1 2 _ kompensieren. In entsprechender Weise kann von dem Tensor — g R unter Berücksichtigung von sp \~| 6 ’^, 2 g = 0 die Vektordivergenz gebildet werden. Unter Verwendung von R = g-g—R iklm und Gleichung (48a), folgt nach mehrfachen Umrechnungen Seite 174 (spn!f, 2 gR)_=g“g“ ö 3 g„ 8 x~8 x~8 x~ 8 x~8 x~8 x - was aber mit 2^sp | j 6 ’^, 2 Rj identisch ist. Der Vergleich liefert i(s P r (M) (-) R ) =(s P r!!f. 2 gR l also in Vektorfassung das Theorem = 0 , d.h., der aus den metrischen Strukturkomponenten aufgebaute Tensor 2 R-^ 2 gR ist hinsicht¬ lich geodätischer Koordinaten divergenzfrei. Sind K und L irgendwelche reinen Zahlen, so sind zwar K 2 R und L 2 gR Invarianten, doch ist im allgemeinen sprj!) 6) ,(K 2 R-L 2 gR) ^ 0 nachweisbar. Nur für den Fall K = 1 und L = — wird Ö erreicht, so daß das Theorem (49) eindeutig ist, d.h., 2 R - — 2 g R ist das einzige metrische Tensorfeld welches bezogen auf geodä- tische Koordinaten divergenzfrei ist und aus den Komponenten von g , sowie deren ersten und zweiten partiellen Ableitungen aufgebaut ist. Dieses divergenzfreie Tensorfeld genügt den Beding¬ ungen der Gleichung (46b), so daß die Spaltung (47) durchgeführt werden kann. Für den negativen Term ist dies wegen der skalaren Eigenschaften von R und der Spaltung 2 g = 2 g + 2 g evi- Seite 175 dent. Es kommt also darauf an, von 2 R = 2 R + + 2 R den hermiteschen bzw. antihermiteschen Anteil 2 R ± = ^( 2 R± 2 R X ) nach Gleichung (47) aufzufinden. Zu diesem Zweck werden zunächst noch neben 2 r die übrigen Matrizenspektren von R ± klni , nämlich für i = k und i = l ge¬ bildet. Diese beiden Tensoren sollen mit 2 A und 2 B bezeichnet werden. Wegen Gleichung (48) ergibt sich für ihre Komponenten = JL[ k )_^( k )+( k )( s )_( k )( s ) lm öx 1 ^ 01 ) ÖX® (kl) (s 1 /(k m J }smj|klj und B lm d dx 1 d äx® i s m s kl woraus unmittelbar die Antihermitezität 2 A = - 2 A X und die Identität 2 B = - 2 R hervorgeht. Mithin liefert das Matrizenspektrum R^, m = -R klm keine neue metrische Größe, wohl aber das Spektrum A = sp„ 1 [4l [Rj, n ,] i =- ! A" A = — lm axMkm d a x ® .(50) Die voneinander verschiedenen Matrizenspektren des gemischtvarianten Tensors (48) sind demnach eine antihermitesche Spur Gleichung (50) und ein nichthermitescher, aber spaltbarer Tensor 2 R , der den Spaltungsbedingungen genügt. Bei dieser Spaltung muß jedoch die den Tensor kennzeic hn ende Invarianz gewahrt werden, d.h. die in R k i auftretenden Differenzen müssen als Determinanten dargestellt, und in diesen Determinanten W j i kl + i kl unter Berücksichtigung der entsprechenden Determinantentheoreme durchgeführt werden. Für den antihermiteschen Anteil folgt Seite 176 2R-ki ~~ ^ik ■R w = m k m = 2 8 \ m ax^lk 1 )- öxM km ö ( m <9 8x~ 8x^ m öx k l ml j 3 3x- m lkl + ! m (s m s k m + 2 m s ml |k 1 + k 1 0 = 2 8 dx m f d (ml v öx 1 (km) Nach weiterer Umformung wird R kl 2 a Im m '{s mj jk 1 oder unter Verwendung der -Operatoren 8 (m) ’ 2R_kl öxMkmL 0x k l lm i + ' H ’l k mj_ T| H’\l mj rw m +H 2 ) I (4> Vm (-1 ’ (2) m Seite 177 Wird als Skalardichte w = yj\ gj mit g = | gik | n eingeführt, so kann das entsprechende Theorem des skalar wirkenden -Operators angewendet werden. Dies liefert -2R -kl — d öx 1 w In völliger Analogie kann mit Hilfe dieser Deter min antentheoreme auch der hermitesche Anteil 2 R+ki = Ru + Rik gewonnen werden. Für diesen hermiteschen Anteil folgt dann R+kl — ' m m s 1 ax®( kl J ( sl jl km i 2 öxM lm i + axM km d 1m ) + 8 I m + m s s ml |k 1(» was ebenfalls durch |~ -Operatoren ausdrückbar ist, weil und m m U k l-H 1 ’ 6 ) / m I (-) 9 g x m|klj {slj{smj 1 (-) m ’{kl d ( m) + d | m öx k l lm J + öx 1 ( k m d m axM lm i + öx 1 l k m + m m s ml 1kl d l m | | m | | s axMkmL l sm U kl d öx 1 5x- 1 r, -fk w w .w-ra. (1) m km gilt. Damit wird Seite 178 -R +kl — I O’ 6 ) |m I _|—( 1 ) m _l (-L’ kl 1 H.’ km 8 d dx l dx~ — r, W — r, W ,w d.h., die Spaltung von 2 r ist somit vollständig durchgeführt und wird beschrieben durch Dieser ganze Spaltungsprozess ist invertierbar, denn es folgt tatsächlich aus Gleichung (51) nach expliziter Wiedereinführung der -Operatoren in einem umgekehrten Ablauf des Formalismus die Synthese R+ k i + R-ki = Rki , woraus sich auch für R u eine Darstellbarkeit durch [~ -Operatoren als evident ergibt. Dies bedeutet aber, daß unter dem Einfluß eines bestimmten Systems dieser Operatoren aus den im allgemeinen nur gegen reguläre Affinitäten mit unitärer Transformationsmatrix AA = E invarianten jj j j die Komponenten eines echten Tensors vom 2. Grad werden. Es muß demnach ein aus |~ -Operatoren aufgebauter Funktionaloperator D existieren, welcher den Tensorgrad um 1 kontrahiert, derart, daß D, { } = 2 R (51a) durch den Einfluß dieses D aus { } entsteht. Seite 179 7.5. Strukturkaskaden Die in Kapitel 7.4. metrisch beschriebenen Synkolationsfelder wurden nur als Kompositionsfeld 2 — 2 —x g = g aufgefaßt, d.h., die mögliche Abhängigkeit einer solchen metrischen Kompositions¬ struktur von 1 < Y < 0 ) Partialstrukturen 2 g ( ^ . (im allgemeinen Fall ebenfalls nichthermitesch) wurde dagegen nicht analysiert. Wenn im R„ mit n = 2 co solche Partialstrukturen zu einem Kompositionsfeld 2 g ( 2 g,^) komponieren, so kann diese Komposition als einfachster Fall einer Kaskade struktureller Bedingtheit im Sinne eines analytischen Syllogismus verstanden werden, denn wenn die Partialstrukturen metrische Felder in Unterräumen des R n sind, dann muß das Kompositionsfeld dieser Partialstrukturen als metrisches Feld des R n gemäß 2 g(x^ = 2 g( 2 g (Y) ) einen höheren Grad der Bedingtheit ausweisen als die Partialstrukturen des tensoriellen Arguments Im Folgenden sollen derartige metrische Strukturkaskaden beschrieben werden, doch soll die Analyse mit dem einfachsten Fall, nämlich der elementaren Strukturkaskade beginnen, in welcher co Partialstrukturen zu einem Kompositionsfeld komponieren, für welches der in Kapitel 7.4. ent¬ wickelte Formalismus gilt. In jeder Partialstruktur 2 g^ sind Bewegungen eines Vektorfeldes A insbesondere im Sinne von Paralleltranslationen möglich, die sich voneinander ebenso unterscheiden wie die betreffenden Partialstrukturen, denn das metrische Feld bestimmt in jedem Fall die Vektoränderung bei irgend¬ welchen Translationen. Wird zur Vereinfachung zunächst angenommen, daß es zwischen den Par¬ tialstrukturen keine Korrelationen gibt, also, daß das metrische Feld im R n immer nur von einer Partialstruktur 2 g^ aufgebaut wird, dann gilt in sinngemäßer Erweiterung der Geodäsieunter¬ suchungen für diese Vektoränderungen öx k , Seite 180 wenn A längs der infinitesimalen Koordinatenvariation 8x k parallel verschoben sind, weil die geforderte Korrelationsfreiheit mit 2 g = 2 g (A/) äquivalent ist. Die metrische Größe, welche 5yA bestimmt, ist J , die in gleicher Weise definiert ist, wie j , denn es ist g ( Y ) g * 1 und *1 aber ik g (n t n g(Y) also g jk o,k 8m =5 r (Y)^(Y) so daß auch hier das Gesetz der Varianzstufenänderung gilt mit d dx k + - So 8 0? 8(v >" \ J Kommt es zu einer Korrelation von 2 und 2 g^ in einem R (L ) mit L < n , dann gilt das jk k Determinantentheorem der Varianzstufenänderung in der Form g(y)..S(Y) = W nicht mehr, denn voraussetzungsgemäß sind die beiden korrelierenden Partialstrukturen nicht identisch, was demzu¬ folge auch für ihre Determinanten gilt. Dies bedeutet aber für das Determinantenprodukt ik jk n g (Y) n g H g (Y) vn =W xl )' #1 ’ d.h., es ergibt sich Seite 181 > oder s P ! 8(„) x2 8m = 2f („v) (xk) ' #2:i^,aö + s (ii , 1 a: ' n,Y=i ■>) r +K (a (ui) Aj°8x k identisch. Andererseits ist aber 5 A zugleich die Variation bei einer Translation im Komposi- (Ylit 1 ^ tionsfeld 2 g , so daß auch 8A;-=±-jV/ >• ApSx- gesetzt werden kann, was im Ver- lW’ k J(Y) gleich + !(>■) ly K il )> k J Li I (u) !uaL + k - M) '(V) Ap 5 x- = 0 liefert. Da aber voraussetzungsgemäß Ap * 0 und 8x- ^ 0 sind, kann diese Bedingung nur für Z j*,Y=i 1 kl + (Y) Ki(|i,Y) erfüllt werden. Werden hierin noch die Strukturassoziationen eingesetzt, so ergibt sich ein System partieller Differentialgleichungen Seite 185 (53) I mY=i kl ( Y ) + Q ^ Y)m l k l \ m W, wodurch für j ede elementare Strukturkaskade die Komposition 2 g ( 2 g^\)“ = 2 g (x 1 )" der Partial¬ strukturen beschrieben wird, wenn die Korrelationstensoren und damit die Koppelungstensoren vor¬ gegeben sind, welche in dem quadratischen Schema Q - ( Q(hY))<»’ f =( 2 w (53a) zusammengefaßt werden können. Diese Beziehung fuhrt mit Gleichung (52) hinsichtlich der Kor- A A ' .. relationstensoren zu spf = co 2 s , weil f und Q aus (53 a) Übermatrizen mit tensoriellen Elementen sind. Nach Gleichung (53a) wird { } linear aus den Binärfeldem und ihren Struktur¬ assoziationen so aufgebaut, daß { j- als Summe aller Vektorvariationen bei Translationen in den korrelierenden Partialstrukturen aufgefaßt werden kann. Aus diesem Grunde soll die metrische Größe { } des Kompositionsfeldes als allgemeines Transmissionsfeld bezeichnet werden. Jedes Binärfeld und jede Strukturassoziation können grundsätzlich Parallelverschiebungen eines Vektor¬ feldes ermöglichen, denn immer besteht die Möglichkeit nur zwei korrelierende Partialstrukturen anzunehmen, oder aber, es kann 2 g mit irgendeiner Partialstruktur identifiziert werden. Auf Grund dieser Tatsache konnte das Fundamentalgesetz (53) aller Feldkompositionen entwickelt werden, doch gestattet dieser Sachverhalt auch eine Erweiterung des metrischen |~ -Operators, denn jedes Binärfeld und jede Strukturassoziation liefert wegen des Beitrages zur Vektorvariation und der im allgemeinen nichthermiteschen kovarianten Indizierungen einen Beitrag von jeweils sechs einfachen nichtdifferenzierten Singulettsignaturen, wobei jedoch die dem Kompositionsfeld entsprechende Signatur s = 6 für alle diese Beiträge identisch bleibt. In dieser Erweiterung wird also in der allgemeinen Wirkungsmatrix der, aus gemischtvariant wirkenden Singulettopera- toren bestehende Abschnitt r-m mit p ^ q ebenfalls zu einem Rechteckschema. Sind N und N ^ N ganze Zahlen, dann muß immer p = 5 N + 1 und q = 5 N + 1 wegen der Identität aller Fehlstellensignaturen sein. Da P ein Abschnitt der allgemeinen Wirkungsmatrix ist, und durch p > 6 , sowie q > 6 die Kombinationsmöglichkeit zu differenzierten Multiplett- Seite 186 Signaturen anwächst, ist die auf diese Weise erweiterte Wirkungsmatrix immer von einem höheren Matrizentyp als diejenige des Kompositionsfeldes. Nach Gleichung (53) muß ein Zusammenhang zwischen den Singulettsignaturen des Kompositionsfeldes und seiner partiellen Anteile bestehen, denn die Transmissionsfeldkomponenten eines [~~ -Operators des Kompositionsfeldes sind immer nach Gleichung (53) spaltbar. Da in jedem Binärfeld und jeder zugehörigen Strukturassoziation Parallelverschiebungen möglich sind, können auch zyklische Infinitesimaltranslationen durchgeführt werden, welche analog zu 4 R durch gemischtvariante Tensoren 4. Grades gekennzeichnet werden. Die Deduktion dieser Tenso¬ ren erfolgt in völliger Analogie zu derjenigen in 2 g . Die Komponenten des zu 4 R analogen Tensors 4 R^y) i m Binärfeld ergeben sich dann zu dx 1 l k m j( Y ) dx ( i f ’ I s f l sm l(,)i k iV)' Für die analoge Entwicklung in einer zur Kürzung durch gekennzeichnete Strukturassoziation ergibt sich der durch 4 S^ gekennzeichnete Tensor mit den Komponenten Seite 187 (pY)kln d d _ \S 1 \S 1 . yiFi IX 1 7i _ ^ ^ 1 ^km ^ ^kl + ^sl ^sm -"^kl ~~ = Qr, (pY)p 3 + v 3x i l km ) w a w a e kl oo (Y) ÖX ? Jp\ w _£. + (Y) pfV. JpI (Y) s m *04 (Y) KL + ’W f km Uax lQ ^ p M(Y)dx (HK Qfu Y*r> = Q^ (hY)p R p - + f P ) (nY)klm |g lj (V) Kf k” (k mj (pY)p 00 N 00, p f s mj, 00 ^ 00 K kJ k,l 00 (V) JJ + + (») Q k ’ m )(Y) dx 1 Mmdx® (») Q oo ’ Q(nY)p ^ r (nY)klm’Q(nY)p mit dem tensoriellen Funktionaloperator W ( ^ )k|m . Die beiden zyklischen Infinitesimaltransla- tionen werden demnach durch die Tensoren Ri = _m i f’—^-Fr+hH s fJ 1 Ti s (pY)kim 3x i|km| m dx m\k\j (i) lslj m |krnj m {smj (Y) lkl (p) (Y) ^(nY)klm ^^(jiY)klm ? ^(jiY)p (54) mit dem Funktionaloperator vrrP _ nP _i_ j P v (nY)klm (pY)klm |g Jj w (Y) KL-ikm| 00^1 | p tOO f s m (•*)) (Y) K k.-)kl V (V). + + P \ |M) ö_| P V k m j(Y) dx l (k 1J(Y) <3x . K k, = k m (p. Y) = Q(„V)P jk 1 OO (V) (54a) vollständig beschrieben. Diese beiden Beziehungen (54) und (54a) gestatten offensichtlich mit Gleichung (53) eine Auflösung von 4 R in die komponierenden Binärfelder. Mit Gleichung (53) folgt für diese Tensorspaltung Seite 188 R i _ i 1_fLf i },(i H k W i H s klm öx-|klj \ s 1/\ s mj (smjjkl -Z nY=i _ i d (j] ( ^ axM k m J( Y ) ax e l kl l ( Y) Z' + Z nY3CA,=l ^i) W ( S ^ sl i(Y)l km la) l sm lml kl w i l'" 1 I s + Z nY=i (X)A -Kf 8 t\dx l km öx ? ■KJ, + (Y) ^ v ( x); + + Z (KJ,(n-l")K-L(X^)-Kf n ,(nY)Kt l (XX)) + + i / K ii 0* Y){ k s m f° + {s'it! K ‘- ( 3CX ) _K L (ij Y) j k s , nY3U=l V >(*) ö) , = z ( r ; hY=i + Qi 4. pi (nY)klm (nY)klm (j^Y)klm -z( nY=i v 4 R= V 4 R,., n + 4 S, „ n + 4 R „ n + 4 C >Y)^ (nY) (Y) ) + C klm> (^)) ( x ) ( j (x) sm) w K " (Xk) (55) definiert werden. In Analogie zu 2 R kann von den vier Tensoren, welche den Aufbau von 4 R bestimmen, das jeweilige Matrizenspektrum gebildet werden. Für die Spurbildung in i = m folgt das nichthermitesche System R m (|j,Y)klm d [mj W d f m ] (t0 M (t °f s \ M öxM km J ( Y) dx m i k U ( Y) ( sl l(Y)i km i(Y) ( m ] M j s 'S m | ( Y) i k U(Y) = R (nY)kl ’ ferner c m ö (nY)kln K m km d dx 1} ■Kg + K^KL K m sm KL = S, (nY)ki sowie Seite 189 (juY)kli ,= K5 km}! (n) (V) K m sm S kl + m m iW K (V) km mV Sm j, (V) v-s _ p ^kl - r (nY)kl und ® , V cl= E (l-5 rt 8 w ) nYX>.=i m sl l, iW (Y) + Kj(mY) m s m l 00 (V) Unj jf f + K "(nY) k s , +K>,(XA) 7 V W k s 4 V = C m W + KL(3CA) Diese Matrizenspektren erweisen sich in völliger Evidenz gemäß -O 2 P x K Orf) (uY)’ (nY)’ (m-Y) und 2 C^ 2 C X als nichthermitesch. Völlig analog folgt für die Spurbildungen in i = l das iden¬ tische System O I _ _0 (|j,Y)klm (|j,Y)km ? Ql - _Q (|j,Y)klm (|j,Y)km 5 pi - _p (|j,Y)klm (|j.Y)km und C 1 - ■ '-'klm -c km , während sich für die Spur in i = k ein anderes System, nämlich R (nY)kln = A (nY)ln Sr , - Q (|j,Y)klm — p- = P (|j,Y)klm —(|j,Y)lni und Cjr lm = C lm . Die explizite Komponentendarstellung zeigt, daß dieses System von Matrizen¬ spektren Seite 190 2 (nY) 5 -(nY) —(nY ) 9 —(nY) —(nY) und 2 C = - 2 C X antihermitesch ist. Offensichtlich gilt, wenn von der Spaltung (55) die Matrizen¬ spektren in i = m und i = k gebildet werden _ © /_ _ _ X _ sPi./R = £ sp,™ 4 S mi + 4 s + +S p,. m 4 c = nY=i = E ( 2 ^y) + %y) + \t)) + nY=i s p« ‘ R = £ s p« ( 4 + 4 ^) + * ) +sp “ 4£ = = £( ! Ä ( „ fl + 2 I ( „,)+ 2 E ( „ v| )+ 2 c nY=i Einsetzen der Spuren des Kompositionsfeldes sp i=m 4 R = 2 R und sp i=k 4 R = 2 A liefert dann auch für diese beiden Matrizenspektren eine Auflösung in die Binärfeldanteile und ihre Struktur¬ assoziationen, nämlich 2 R = 2 a = (56) wobei sich die Komponenten der acht Matrizenspektren aus Seite 191 (56a) O _ p m . p (l^Y)kl (|j,Y)klm (|lx Y)lk 5 p _ pm p A Wl ““ Wim ^ Mk ? W C _C1 _£ C (|xY)kl (|j,Y)klm (|lx Y)lk 5 P = P m -t P ( (lx Y )kl (|xY)klm (ix'Y)lk 5 = P (|xY)lm (|xY)klm lk’ ">Y)1 = -P = R (nY)kln = -A = S; = -S, —(|xY)lm (fi'Y)klm — c = r k = _r ((xY)lm’ —lm ^klm — ml explizit unter Verwendung von Gleichung (54) und Gleichung (55a) ergeben. Zwar ist 2 A = — 2 A x aber 2 R^ 2 R X , so daß in völliger Analogie zu 2 R= 2 R + + 2 R_ unter Verwendung der entsprechenden Determinantentheoreme die nichthermiteschen Anteile 2 R^, 2 S^, 2 P^ und 2 c , also auch ihre Summe in einen hermiteschen und einen anti¬ hermiteschen Anteil gespalten werden kann. Diese Summe ist aber nach Gleichung (56) mit 2 R = 2 r + + 2 R identisch, so daß sich für die Auflösung von 2 R in die Binärfeldanteile noch die zusätzliche Spaltung 2 R ± © / _ _ 1 2 Wh +2 W nY=i + 2 r (m-Y)± l+ 2 c. (56b) in einen hermiteschen und einen antihermiteschen Anteil ergibt. In einem Kompositionsfeld 2 g( 2 g (Y) )r kennzeichnen alle 2 g (|J j partielle metrische Strukturen, derart, daß das Kontinuum geodätischer Linien vom System der gradlinigen und orthogonalen Koordinaten verschieden ist, sich aber mit diesem Koordinatenkontinuum deckt, wenn die metrische Strukturierung verschwin¬ det. Dieses Verschwinden wird also nicht durch das Verschwinden von g(^ , sondern durch 2 — g^ —> 2 E gekennzeichnet, weil E = [ö ik ] n stets der Fundamentaltensor einer euklidischen Metrik ist, deren geodätische Koordinaten mit den gradlinigen orthogonalen Bezugskontinuen x k identisch sind. Jede Limesrelation 2 g^ —» 2 E in 2 g ist also mit einem Dekompositionsschritt von 2 g identisch, bei welchem eine Partialstruktur aus dem Kompositionsfeld metrisch ausge¬ siebt wird. Mithin definiert die Limesrelation S(Y) = lim ( ) einen metrischen Sieboperator 2 g(V)^ 2 E der nur auf die Partialstruktur Y , nicht aber auf p ^ Y einwirkt und gemäß Seite 192 S(w), I g( ! g (Y| )" ) CÖ—1 1 aus dem Kompositionsfeld eine Partialstruktur aussiebt. Nach Gleichung (53) wird das Transmis¬ sionsfeld und damit die eigentliche Strukturkomposition durch die Koppelungs- und Binärfelder, also durch die Korrelationstensoren, bestimmt. Da im euklidischen Bereich kein Unterschied zwischen den Varianzstufen besteht und demzufolge gilt, folgt für die Einwirkung auf den Korrelationstensor S(^)’%n)ij g(Y)jk §(n)ij^ik §1 ? (Y)ik oder woraus die dekomponierende Eigenschaft unmittelbar hervorgeht. In den Koppelungstensoren 2 Q(^Y) S'^t die Indizierung des Binärfeldes nur die Folge der Korrelationstensoren in der betref¬ fenden Strukturassoziation an, die nach Gleichung (53) durch das Kompositionsgesetz { } bestimmt wird. Demnach brauchen die in der Indizierung des Koppelungstensors angegebenen Par¬ tialstrukturen in der Folge der Korrelationstensoren nicht notwendig nur einmal zu erscheinen. Setzt man S( Y), 2 Q^y) = 2 Q(hY) ’ so ^Nibt die Art der Einwirkung des Sieboperators unbestimmt, weil o — 2 — auch der jeweilige Bau von unbestimmt bleiben muß. Nur dann, wenn g (M j nicht in 2 Q^ enthalten ist, wird 2 Q^) = 2 Q(uY) • Nach Gleichung (53) wird das Differentialgesetz der Strukturkomposition im wesentlichen durch die Binärfelder bestimmt. Es gilt für den Einfluß des Seite 193 Sieboperators auf diese Felder du) S(Z), 1 kl (V) i kl (V) für X ± p und X ± Y , aber S(p), 1 kl 09 (V) jkij (Y) s (^)’8(,)- 5 y(jki} m -(iki (V) (V) und 00 (Y) wegen 2 E = const . Wenn also der Sieboperator das Binärfeld nicht unbeeinflußt läßt, dann bewirkt er entweder sein Verschwinden, oder eine Dekomposition zum kovarianten Primärfeld, je nachdem, ob er auf den ko- oder kontravarianten metrischen Anteil wirkt. Dieser einfache Sieb¬ operator, sowie sein Einfluß auf die metrischen Bestimmungsstücke des Transmissionsfeldes wird also zusammengefaßt beschrieben durch S (YK,Hm. E ( ). S(1),g wl =S(1),4=8 il , S(Y),%,) = = s (Y). 2 Q ( „») = 2 Q ( „»). s(x),{>}}={!}}, s(Y),{!}} = J ö, s W’{y} = {y} (57) worin die Symmetrie S(Y), 2 ^y) S(Y), 2 f^ = 2 E erscheint. Der Einfluß des Sieboperators auf { } wird deutlich, wenn die Sieb Wirkung nach Gleichung (57) auf die Matrix der Binärfelder und diejenige der Strukturassoziationen untersucht wird. Kennzeichnet p die Zeilen, und Y die Seite 194 Spalten dieser Matrizen, dann folgt aus co und sM* sp 2 Q, P (nY) A H S P Qm) CO unter Verwendung von Gleichung (57), das auf jeden Fall das primäre Feldelement p = Y = X, , sowie die Spalte X zu Nullelementen wird, während die Zeile X von kovarianten Primärfeldem besetzt ist. Explizit folgt für die Einwirkung auf die Struktuassoziation dieser Zeile in Komponen¬ tenform sM.Qj (pY)p P kl 09 = Qo / (Y) - ( ^ )p U kl J( Y ) S (p)’gfi) = ZQ(pY)p 6 Pj jkl p.j=i (Y) Mit den so umgeformten Matrizenelementen kann dann S(Z),{ } nach Gleichung (53) aufgebaut werden. Nach Gleichung (57) ändern sich durch die Wirkung des Sieboperators auf die co 2 Elemente der Binärfeldmatrix 2 co - 1 , so daß co 2 -(2co-l) = co(co-2) + l Elemente ungeändert bleiben. Ganz ähnlich erfolgt die Einwirkung dieses Operators auf Ternär- und Quartär¬ felder. Auf jeden Fall gilt S(Y), 1^1 = 0 und S(Y),{^} = 0 , weil hier wieder diejenige Struktur ausgesiebt wird, welche das kovariante Primärfeld durch ein partielles Differentialgesetz beschreibt. Wirkt der Operator dagegen auf irgendeine kontravariante Struktur, dann wird gemäß s (p)’{^Y^} = { X y1 ’ sowie S (^)’{^y c } = {y} und s M’{y} = {y} * dh- ’ das Q uartärfeld wird ternär, das Temärfeld wird binär und das Binärfeld wird primär, wobei diese Dekomposition jeweils mit dem Wechsel eines Index aus der kontravarianten in die kovariante Stufe verbunden ist. Seite 195 Dieser dekomponierende Sieboperator hat demnach immer eine Verminderung der Kontra- und eine entsprechende Erhöhung der Kovarianzstufe bei der Dekomposition zur Folge. Da nach Gleichung (57) der Sieboperator durch eine metrische Limesrelation definiert wurde, und derartige Limesprozesse iteriert werden können wenn sie kommutieren, kann unter der Voraus¬ setzung dieser Kommutativität (S(p)xS(Y)) =0 der Sieboperator iteriert werden. Auf diese Weise muß also eine metrische Siebkette s W‘=n s (T). (s(n)xS(Y)) = 0 , I<(ri) 1 Partialstrukturen im Sinne einer Entkoppelung aus der allgemeinen elementaren Strukturkaskade des Kompositionsfeldes aus¬ zusieben. Der Umfang dieser Dekomposition X-% wird dabei als Kettenlänge und die einfachen Sieboperatoren als Kettenglieder einer solchen durch Gleichung (58) definierten metrischen Sieb¬ kette bezeichnet. Beschreibt im Folgenden S (0) = 1 das Fehlen des Sieboperators, dann können für 2 g( 2 g (Y) )r immer 0 v^r 1 * 2 g ( 2 g ( Y+0’ vr Seite 196 ist. Wenn im symmetrischen Fall eine Siebkette der Länge p wirkt, so gibt es kombinatorisch |p j Möglichkeiten der Dekomposition. Da weiter in jedem dieser Kompositionstensoren 2 — 2 — 2 - (co-p) Tensorargumente g (u) verbleiben, welche mit g^_ —» 0 hermitesch approximier¬ bar sind, entstehen nach dieser Approximation (co - p )' |p j Kompositionsfelder mit (co—p) ^) > deren Zahl sich wegen 2 g_ —» 2 Ö verdoppelt. Dies gilt für 0 < p < co - 1 , während für p = co die Relation S(Y)”, 2 g = 2 g( 2 E) gilt. Es werde angenommen, daß 2 g eine echte Komposition ist, also, daß die Abhängigkeit von den x k nur vom Tensorargument 2 g, M) bestimmt wird. Ist dies der Fall, dann gilt 2 g( 2 E) = 2 ä ^ 2 ä x = const , so daß wegen der 2 - 2_ Möglichkeit a_ —» 0 die Kette p = ee> mit zwei metrischen Möglichkeiten beteiligt ist. Die Siebketten 0 < p < co gestatten es also, aus einer symmetrischen Strukturkomposition mögliche metrische Strukturen durch eine stufenweise Dekomposition zu erhalten. Handelt es sich dagegen um ein asymmetrisches Kompositionsgesetz, dann können die co-p Argumente in jedem der 2(co-p)'jpj Tensoren für p 1 Teilkompositionen (Partialkompositionen) der L Partialstrukturen, welche wiederum Argumenttensoren noch höherer Partialkomposition sein können. Anwendung des vollständigen Induktionsschlusses liefert auf diese Weise eine ganze Strukturkaskade metri¬ scher Fundamentaltensoren, welche aus 1 < a < M Kaskadenstufen besteht. Der Induktionsschluß zeigt, daß für die Kaskadenstufe a die rekursive Beziehung (60) 2 g(“) g (A) = 2 e, (a) g (ia f 2 s (a_i) r i 1 als ein System elementarer Strukturkaskaden aufgefaßt werden, denn die Fundamentaltensoren benachbarter Kaskadenstufen stehen in den funktionellen Zusammenhängen derart, daß die Partialkompositionen der Stufe a - 1 die höheren Kompositionen der Stufe a und diese wiederum die Besetzung der Stufe a + 1 auf¬ bauen usw. Für alle diese elementaren Strukturkaskaden gilt aber hinsichtlich der Transmissions¬ felder, Infinitesimaltranslationen, metrische Siebkette usw., der gleiche Formalismus, der für die elementare Strukturkaskade 2 g ( 2 g(^)“ im Vorangegangenen für allgemeine nichthermitesche Fundamentaltensoren entwickelt wurde. Dieser Formalismus ist also auch auf die allgemeine Struk¬ turkaskade (60) anwendbar, in welcher die Kaskadengrenzen a = 1 die Kaskadenbasis und a = M das Kompositionsfeld als Kaskadenspitze beschreiben. Zwischen diesen Grenzen hegen die mit Partialkompositionen belegten Stufen 1 < a < M , wobei zu bemerken ist, daß die Tensoren der Kaskadenbasis die eigentlichen Partialstrukturen sind. Die metrische Strukturkaskade ist offensichtlich die universellste Form metrischer Analysen eines R„ hinsichtlich vorgegebener Invarianzforderungen, denn wenn auf Grund dieser Forderungen eine Strukturkaskade Gleichung (60) im R n festhegt, dann sind damit alle Strukturen metrischer Art (wegen der Verwendbarkeit metrischer Siebketten) im R„ beschrieben. Seite 199 7.6. Übergangskriterium und Televarianzbedingung 2_(a) / 2_(a-l) \ a>a Ist nach Gleichung (60) eine Strukturkaskade 8 (y„)\ §(y ol )J der Kaskadenstufe l 1 < co, < n, 1 < Mi über dem R„ synkoliert. Wenn die zu Grunde gelegte Invarianzforderung, also die geltende Transformationsgruppe geändert wird, dann ändert sich in der metrischen Fundamen¬ talsyntrix II =®) = ( G a>®a)r (62) nur die Strukturkaskade, nicht aber der Syntrizenbau, so daß von gl alle überhaupt möglichen metrischen Eigenschaften eines R n erfaßt werden. Auch metrische Strukturbeziehungen können in dieser syntrometrischen Fassung beschrieben werden, weil beliebige Syntrixfunktoren aus den -Operatoren, den Korporatoren über den Quantitätsaspekt, sowie den Infinitesimalfunktoren d] und (,) ? aufgebaut werden können, die dann auf gl einwirken und höhere syntrometrische Gebilde liefern, die in wechselseitigen Relationen zueinander stehen. Andererseits kommt gl eine universelle Bedeutung zu, denn nach der Theorie der Synkolationsfelder sind diese immer durch Fundamentaltensoren beschreibbar, so daß unter geeigneten Invarianzforderungen jede Syntrix des Quantitätsaspektes auf metrische Fundamentalsyntrizen reduzierbar ist. Derartige Fundamentalsyn- trizen mit grundsätzlich pyramidaler Struktur (61) müssen demnach den zweidimensionalen Speicher der über dem Quantitätsaspekt möglichen T (0) anfüllen, so daß sie auch als pyramidale Elementarstrukturen der T (0) zu interpretieren sind. Neben dieser universellen Beschreibung metrischer Eigenschaften wird aber noch deutlich, daß Gleichung (61) ein Kriterium darstellt, mit dessen Hilfe ein Übergang von einem analytisch formu¬ lierten Sachverhalt in die syntrometrische Fassung vollzogen werden kann. Wenn nämlich ein zahlenanalytischer Sachverhalt durch eine Kaskade (60) darstellbar ist, und wenn diese Kaskade dem Übergangskriterium (61) genügt, dann ist sie i mm er einer Fundamentalsyntrix (62) äquivalent. Seite 201 Gibt es 1 < j < Q Informationen Ij die über dem Quantitätsaspekt zahlenanalytisch formuliert sind, dann können diese Ij der zahlenanalytischen Methodik unterworfen, und durch ein im allgemeinen infinitesimales Gleichungssystem F i (x k )"=0 mit l 0 mit seinen Unterräumen existiert. Weil also die Fundamentalsyntrizen alle metrischen Eigenschaften des der Area zugrundegelegten Trägerraumes enthalten, ist eine Area über dem Quantitätsaspekt hinsichtlich ihrer Basissyntro¬ poden in allen monodromen Zweigen televariant. Solange der Definitionsraum existiert, gibt es niemals eine initiale, allenfalls eine finale, oder intermittierende Dysvarianz, d.h., eine äonische Area ist über dem Quantitätsaspekt grundsätzlich televariant, wenn die Telezentren in irgendeinem R n mit n > 0 liegen. Hiernach wäre das Televarianzkriterium dahin zu analysieren, unter welchen Bedingungen syndroma-tische Strukturzonen televariant verlaufen und dabei in irgend¬ einer T (m) mit m > 0 der graduellen Tektonik liegen. m Ist [m 1 (X;)" irgendein Metroplex m > 0 im R n , dann kommt der Dysvarianz in allen syn- w dromatischen Strukturzonen außerhalb der T (0) in Richtung der graduellen Tektonik 0 < q < m die Televarianz in nur einer dieser Zonen in q am nächsten, wenn die übrigen m - 2 Zonen Dysvarianzstellen aufweisen. Wenn also ein Televarianzkriterium in nur einer T (q) aufgefünden werden kann, dann muß dieses Kriterium als eine allgemeine Televarianzbedingung aufgefaßt werden. In 0 < q < m wird q = 0 ausgeschlossen, weil die Televarianz im Speicher der T (0) nach dem Vorangegangenen grundsätzlich evident ist. Dagegen würde eine Televarianz in q = 1 nur als spezieller Fall einer Televarianz in q > 1 anzusprechen sein, denn in q > 1 wird nicht nur die finale, sondern auch die intermittierende Dysvarianz erfaßt. Zunächst muß jedoch erst untersucht werden, ob überhaupt im Quantitätsaspekt eine Televarianz über dysvarianten Strukturen Seite 203 möglich ist. Hierzu wird q = 2 für die televariante Zone gesetzt, d.h., es ist [m1=[m 1 , aber W 0 auch [m1=[m 1 für p>2 dysvariant, während für I Mßx,)" wegen der geforderten Televa- W 0 w 71 rianz als funktionelles System über dem R n angenommen wird. Im Extremfall entarten die Basis- syntropoden zu Einheitssyntrizen, deren Syndrome mit 2 g = 2 E belegt sind. Auch in diesem Fall 2 2 11 muß Im1*[m1 möglich sein, denn die Metrophorelemente werden zwar durch [m1=[m 1 dar- W 0 wo gestellt, doch sind die Metrophore dieser Nullmetroplexe die nicht leeren Einheitssyntrizen, und 2 immer können im Synkolationsgesetz von [mI Korporatorketten mit metrophorischen und syn- w kolativem Korporationsanteil auftreten, so daß [mI als funktionelles System grundsätzlich W erreicht werden kann. Diese grundsätzliche mögliche Existenz geht also auf die auch im Extremfall nicht leeren Syndrome der Fundamentalsyntrizen zurück, welche die Basissyntropoden aller Metro- 2 2 plexe im Quantitätsaspekt bilden. Der funktionelle Charakter von [m|( x Y 1 *[m 1 , also die mit w v 1 n o funktionellen Systemen belegten Syndrombesetzungen, werden durch die Tatsache der metropho- risch-synkolativen Korporatorketten im Synkolator, und die semantischen Metrophore der Basis¬ syntropoden möglich, welche den R n definieren. Wird die Schlußweise der vollständigen Induk¬ tion angewendet, so zeigt sich, daß dieser Sachverhalt für beliebige Zonen der graduellen Tektonik q > 2 ebenfalls gilt, so daß für die Televarianzuntersuchung der allgemeine Fall angenommen m werden kann, daß [mI nur in der T (0) , und einer T (q) mit 0 < q < m televariant, und in w q q den übrigen m-2 Zonen dysvariant ist. Es gilt also [m1= [m1(X;)” für die als televariant pos¬ w w tulierte Zone, aber [m| = [m 1 für die m-2 dysvarianten Zonen 0 < P < q und q < p < m . wo Von diesem Ansatz kann die allgemeine Analyse einer Televarianzbedingung ausgehen. Die als televariant angenommene Zone in der T (q) muß auf jeden Fall wegen der Polydromie als ein q vieldeutiges funktionelles System [mI sf(x ), aufgefaßt werden, dessen eindeutige Zweige bei w 1 einer vorliegenden telezentrischen Polarisation in den beiden Telezentren T, f Aj" und T 2 fB j )” zusammenlaufen. Außerdem muß f (x ; )” ^ 0 für A, < x, < Bi und außerhalb der Telezentren f=0 für Xi B, gefordert werden. Die allgemeine Televarianzbedingung muß also mit der notwendigen und hinreichenden Bedingung identisch sein, unter welcher f diese beiden Eigenschaften immer erfüllt, wobei f^O für Ai Bi keine wesentliche Bedeutung hat, weil dies eine Bedingung des Definitionsbereiches von f ist, Seite 204 der aber jedes funktionelle System durch geeignete Erweiterungen angepaßt werden kann. Die Televarianz wird also wesentlich nur von der Forderung [bestimmt], daß die eindeutigen Zweige des vieldeutigen Systems f in Ti und T 2 zusammenlaufen. Da dieser Zusammenlauf für beide Telezentren im Fall der vollständigen Televarianz gilt, soll zur Kürzung für Ti und T 2 symbolisch C(Cj)” gesetzt werden. Um C kann eine nichtinfinitesimale, aber hinreichend kleine Umgebung 8 xi ^ 0 abgegrenzt werden, derart, daß diese Umgebung des Telezentrums durch C; + 5x; beschrieben wird. Gibt es l1, a^Xj^/x, |Xj| = 1, l0 (63) Nach dieser Aussage ist also eine Area über dem Quantitätsaspekt immer dann televariant, wenn es nach Gleichung (63) ein Selektionsgesetz gibt, welches aus dem Kontinuum der algebraischen Zahlenkörper ganzzahlige Vielfache eines Koordinatenelementes auswählt, dessen nichtinfinitesi- male Existenz auf die notwendige Existenz einer Elementarzelle x > 0 irgendeines Unterraumes zurückgeht. Derartige Elementarzellen tragen im Wesentlichen die elementaren metrischen Eigen¬ schaften eines so strukturierten R n , und sollen daher als Metron bezeichnet werden. Die Elemente eines singulären Metrophor sind immer algebraische Zahlenkörper, also Kontinuen, so daß die metrische Struktur des semantischen Metrophor, also die metronischen Selektionsgesetze seiner Elemente, nur auf den semantischen Iterator zurückgehen kann. Demnach sind also diejenigen Metroplexkombinate in irgendwelchen Zonen gradueller Tektonik T (q) mit q > 0 televariant, wenn die semantischen Iteratoren der metrischen Fundamentalsyntrizen ihrer Basis- syntropoden metronisch selektiv wirken. Aus diesem Grunde erscheint es zweckmäßig, eine quantitative Analysis selektiver semantischer Iteratoren, also eine metrische Theorie metronisch strukturierter Tensorien, als Ergänzung zur anthropomorphen Syntrometrie über dem Quantitäts¬ aspekt zu entwickeln. Seite 206 8. Selektive semantische Iteratoren 8.1. Metronische Elementaroperationen Wenn eine Area über dem Quantitätsaspekt televariant sein soll, dann muß nach Gleichung (63) der den semantischen Metrophor induzierende semantische Iterator selektiv wirken, d.h. neben der Ite- rations- und Dimensionierungsvorschrift des R m muß dieser Iterator eine SelektionsVorschrift als zahlentheoretische Auswahlregel enthalten. Es muß also in irgendeinem Unterraum R p mit p < m metronische Elemente x des Volumens geben, welche ebenfalls p -dimensional sind. Bevor eine allgemeine Analyse metronischer Bereiche R m entwickelt wird, ist es notwendig, allgemeine Eigenschaften des Metrons hinsichtlich seiner Begrenzung zu analysieren. Kennzeichnet 2 g (pj die metrische Struktur des R p , dann wird das Volumen irgendeines Bereiches durch das Gebietsintegral dargestellt. Ist n irgendeine ganze Zahl, dann muß wegen der Metronisierung des R p auch V p = n x sein, was eingesetzt F F liefert. Nach Gleichung (63) ist aber stets A x 1 = a ; = X ; yx , was ]^[ Ax 1 = xJ^X; = xX mit i=l i=l X = |Xj5 ik | p ergibt. Einsetzen in die Volumenbeziehung läßt x = ^|g (p) | xX oder X g (p| = 1 entstehen, woraus unmittelbar g (p) = const folgt, weil der Natur der algebraischen Zahlenkörper entsprechend X = const ist, g^) = const wird aber notwendig und hinreichend erfüllt durch g( p ) = const , was jjM =0 bedingt. Einsetzen in die Differentialgleichung geodätischer Seite 207 Linien x 1 +]/,[ x-x 1 = 0 zeigt x 1 = 0 , d.h., die das Metron x begrenzenden Koordinaten sind grundsätzlich geodätisch. Aus X = 1 , * = |*i 8 lk 2 g (p) = const (64) geht also hervor, daß die Struktur des R p durch ein nicht mehr infinitesimales geodätisches Gitter bestimmt wird, dessen geodätisch begrenzte Zellen x > 0 die betreffenden Metronen sind. Ist der R m mit m > p höher dimensioniert, dann hat die Metronisierung des R p eine SelektionsVor¬ schrift des semantischen Iterators, nämlich Xi = a; n; für 1 < i < m > p mit ganzzahligen n; zur Folge. Dies bedeutet aber, daß im R m das Volumen V dx 1 die Differenz AV„ nicht unterschreiten kann, wenn 2 g die Struktur des R m beschreibt. Wenn aber alle Koordina¬ ten des R m metronisiert sein sollen, was der Voraussetzung des selektiven semantischen Iterators entspricht, dann muß in dem metronischen Faktor Vx”~ der Exponent — = M > 1 ganzzahlig P sein, woraus das Dimensionsgesetz m = pM (65) Seite 208 eines metronisierten R m folgt. Wenn über dem R m eine televariante Area definiert ist, so muß es auch Fundamentalsyntrizen und nach dem Übergangskriterium Strukturkaskaden geben, für welche ebenfalls ein Dimensionsgesetz, nämlich m = 2 ro gilt. Zusammen mit Gleichung (65) ergibt sich entweder p = 2 mit M = co , oder aber, wenn p ^ 2 evident ist, eine Auswahlregel 0 ) = jpM , so daß Gleichung (65) ergänzt wird durch co = —p M (65a) Diese Auswahlregel für co gestattet für p = 2 p mit ganzzahligen p > 1 beliebige M , aber für p = 2 p - 1 die Auswahlregel M = 2 g mit ganzzahligem o > 1 , weil co defini- tionsgemäß ganzzahlig sein muß. Zur ersten Analyse der metronischen Elementaroperationen kann zunächst zur Veranschaulichung p = 2 für das Metron x gewählt werden. Wird p = 2 angenommen, dann darf eine Fläche F , also ein R 2 , nicht mehr als ein Punkt¬ kontinuum aufgefaßt werden, sondern muß sich aus einer endlichen Zahl n < oo mit ganzzahligen reellen n > 0 von elementaren Flächenquanten, den Metronen x > 0 , zusammensetzen, welche durch die geodätischen Linien von F begrenzt werden. Diese Tatsache aber macht unabhängig von p = 2 eine Revision der infinitesimalen Analysis notwendig, denn diese Analysis wird durch zwei Limesrelationen, nämlich durch das Integral und den Differentialquotienten begründet, deren Existenz eine beliebige Teilbarkeit der Flächen, also ein Punktkontinuum voraussetzt. Ist y = f (x) irgendeine in einem Definitionsbereich x stetige Funktion der x, y - Ebene, so wird ein zwischen zwei Nullstellen liegendes Flächenstück, welches von einem Kurvenstück f (x) , einem zwischen den beiden Nullstellen liegendes Abszissenstück a < x < b und den Ordinaten y (a) und y (b) begrenzt wird, durch das Integral F = b b | ydx = Jf dx a a beschrieben, wenn x = 0 , also ein Kontinuum R 2 angenommen wird. Dieses Integral ist aber gemäß Seite 209 r f ydx = limy J . yy-i ( x y -x Y -!) + ^(y Y -Yy-Ofxy -Xy^) n - y Y _! ) Ax Y = lim y AFy n ^°° ein Grenzwert. Hierin ist aber n —> oo äquivalent mit AFy = 0 , was aber mit Gleichung (63) in Widerspruch steht, denn nach dieser Gleichung kann allenfalls AFy —► x > 0 mit n < oo für F < oo erreicht werden, und dies hat für AFy = x den Limes f dx = lim Y y Y Ax Y =nx mit y Y = — (y Y + y Y _[) zur Folge. Alle Flächendifferenzen sind in diesem Limes mit dem Metron identisch, so daß immer yy Axy = x für alle 1 < Y < n gesetzt werden kann. Andererseits ist aber y = f (x) als stetige Funktion vorausgesetzt, und an dieser Stetigkeit kann auch x > 0 nichts ändern. Die Begrenzung der Elemente x richtet sich nach Gleichung (64) allein nach den metrischen Gegebenheiten des R p , die aber im vorliegenden Fall allein durch den Verlauf f (x) im R 2 bestimmt werden. Der Definitionsbereich von f ist der euklidische R 2 , d.h., die geo¬ dätischen Koordinaten sind cartesisch und das zur Diskussion stehende Flächenstück wird begrenzt durch a < x < b , sowie durch y a = y (a), yb = y (b) und die Kurve y = f (x) . Wenn aber die Begrenzung eines Metrons durch die metrischen Gegebenheiten der integralen Fläche bestimmt werden, so müssen alle Metronen hinsichtlich ihrer metrischen Begrenzung gleichberechtigt sein, wenn F eine metrische Einheit bilden und n ganzzahlig sein soll. Dies bedeutet, daß im vorlie¬ genden Fall x>0 stets durch zwei Ordinaten yy und yy i eine Differenz Axy = xy-xy i , und den Funktionsverlauf f (x) zwischen Y _ 1 und Y begrenzt wird, so daß für r AF y = y Y Ax y = | f dx Xy-i der infinitesimale Integralbegriff anwendbar wird. Aus Seite 210 n 2>Y ÄX Y =nT Ar Y^ x Y=1 X Y n X Y x n wird also n x = ^ f dx . Nach dem Integralbegriff gilt aber stets ZJ = j , wodurch die x Y-i ^ =1 x Y _, 0 metrische Forderung erfüllt ist, wonach alle x aus F , wegen der Stetigkeit von f , stetig ein¬ ander anschließen. Es ist also Z I fd x =|fd x = F n -F 0 V =1 Xy_j 0 mit F n = F (x„) und F 0 = F (x 0 ) = C und dies liefert in lim V y Y Ax„, = n x eingesetzt AF i‘^ x y=i F (x„) = n x + C , wobei C nur von x 0 abhängt. Aus diesem Zusammenhang kann, da F = | f dx aus der primitiven Funktion f hervorgeht, x n aus F (x n ) = nx + C zu x n = x (n) als zahlentheoretische Funktion des ganzzahligen Index n eliminiert werden, derart, daß die Sub¬ stitution in f (x) auch die Ordinatenzählung y n = f (n) als solche Funktion darstellt. Die metronenhafte Revision der integralen Limesrelation findet demnach ihren Ausdruck in n y = f(x), lim Yy Y Ax Y =nx, af y^ x y=i | f(x)dx = nx, x n = x(n), y n =f(n) x 0 n V n . EH- Y=i Y-i o ( 66 ) X Y Diese Darstellung einer Fläche durch eine Metronensumme setzt voraus, das J ydx tatsächlich x Y-i die Dimensionierung einer Fläche hat, so daß Gleichung (66) nicht auf beliebige Integrale erweitert werden kann. Ist dagegen eine Fläche definierbar, so hat die Darstellung (66) stets wegen x > 0 eine Quantisierung der Flächenkoordinaten zur Folge, die sich in der Fläche nicht mehr stetig ändern können, sondern zahlentheoretische Funktionen ganzzahliger Indizes werden, weil die Fläche kein Punktkontinuum mehr ist. Die Elimination des ganzzahligen Index n , der in Seite 211 x n = x (n) und y n = f (n) als Parameter aufgefaßt werden kann, muß wieder y = f (x) liefern, weil der stetige Verlauf dieser Begrenzungskurve wegen der stetigen Anschlußfoderung der Metronen, also ihrer metrischen Gleichberechtigung, nicht in Frage gestellt wurde. Wenn die Koor¬ dinaten aber zahlentheoretische Funktionen werden, deren Verläufe durch die metrischen Eigen¬ schaften derjenigen Flächen bestimmt werden, die den zweidimensionalen Bereich aufspannen, dann muß auch jede andere Funktion dieses Bereiches zu einer solchen zahlentheoretischen Funk¬ tion cp (n) werden. Eine solche metronische Funktion cp stellt gegenüber Gleichung (66) eine Abstraktion dar, welche von der Dimensionszahl p = 2 des Metrons unabhängig ist, und auch für beliebige p ^ 2 gilt, denn cp (n) beschreibt i mm er eine einfache Folge von Metronen im R m der Dimension p < m , die als einfaches metronisches Tensorium bezeichnet werden soll. Das Argument eines solchen einfachen Tensoriums (dessen Struktur durch cp beschrieben wird), ist eine einfache Folge ganzzahliger Metronenziffern n , welche die jeweilige Zahl der Metronen angeben, die bis zu der betreffenden Stelle im Tensorium enthalten sind. Die Struktur cp (n) des Tensorium s wird als einfach bezeichnet, weil nur eine Folge von Metronenziffern das Argument bildet. Eindimensional ist diese Struktur dagegen nicht, weil die x im R p mit 1 < p < m definiert sind, und die Eindimensionalität nur den einen Sonderfall p = 1 kennzeichnet, cp (n) kennzeichnet demnach die Struktur eines einfachen, aber p -dimensionalen metronischen Ten¬ soriums, deren Argument aus einer ganzzahligen Folge von Metronenziffern besteht. Da n ganz¬ zahlig ist, kann sich das Argument von cp nur um ± 1 ändern, und dies legt eine metronenhafte Revision des Differentialquotienten als der zweiten infinitesimalen Limesrelation nahe. Wegen x n = x (n) kann auch cp (n) = p (x„) gesetzt werden, wenn n nicht mehr die Grenze des Definitionsbereiches, sondern irgendeine laufende Metronenziffer angibt. Das diskrete Intervall Xo < x n < x N wird für n —*■ co gemäß lim x n = x zum Kontinuum a < x < b , weil dies mit x = 0 identisch ist, und lim p (x ) = p (x) wird in dieser Näherung zur stetigen Funktion. Gilt N^-oo N —* oo , dann ist der Differentialquotient gegeben durch die Limesrelation dp - lim p ( x ‘)~ p(x ) dx x i^ x Xj-x lim —(p(x + h)-p(x)) = lim ^ h->Oh' ' A x—>0 A X Ap wobei es wegen der Konvergenz h —> 0 im Kontinuum belanglos ist, ob aus —(p(x + h)-p(x)) oder —(p(x)-p(x-h)) gebildet wird. Ist dagegen n 0 (ganzzahlig für die Bildung des Differenzenquotienten die beiden Möglichkeiten Acp An ^(cp(n + Y)-cp(n)) und ^ ^(cp(n)-cp(n-Y)) Die erste Möglichkeit muß ausfallen, denn n durchläuft das ganzzahlige Intervall 1 < n < N , während die ganzen Zahlen Y > 0 ebenfalls positiv sind, so daß das Argument n + Y > N die Funktion cp nicht mehr definiert, weil bei der Metronenziffer n + Y = N die Intervallgrenze liegt. Mit der möglichen Form = ^(^(n )“ ( P( n _ V)) kann ein analoger Grenzprozess durchgeführt werden, doch kann nicht Y —► 0 konvergieren, weil Y ganzzahlig ist. Y = 0 ist auch nicht möglich, denn der kleinstmögliche Wert um den sich n ändern kann ist ± 1 . Für Y käme also nur die untere Grenze Y = 1 in betracht, denn Y = - 1 würde zu der oben ausge¬ schlossenen Möglichkeit führen. Dieser Mindestwert Y = 1 fuhrt dann für cp zu einem, dem Differentialquotienten ähnlichen Begriff wenn das Symbol 'S diesen Variationsprozess kennzeichnet. Ist p (n) = n , dann ist offensicht- lieh tip = t)n , doch da sich n nur um +1 ändern kann, wird 1 >n=l , und = 1np on kann formal immer verwendet werden. Im Intervall 1 < n < N der Metronenziffem gilt demnach für die Metronendifferentiation ( Metronendifferential ) die Darstellung 1)cp = cp (n) - cp (n - 1), l 1 und n 2 > ni zwei Metronenziffem des Integrals sind, eine Summation zwischen ni < n < n 2 aller cp durchgeführt werden, und dieser Prozess entspräche der Revision des infinitesimalen Integralbegriffs zum Metronintegral. Dieser metronenhafte Integrationsvorgang werde in Analogie zur infinitesimalen Integration sym- n 2 bolisiert durch S cp(n ) £n . Zwar ist £n = 1 , doch wird diese Größe angegeben, damit ersicht- n i lieh wird, über welche Metronenziffer im Fall mehrerer Argumente das Metronintegral gebildet wird. Ist dagegen der Metronintegrand selber ein Metrondifferential, also cp = 'S® , dann wird 9 £n = £® £n = £® , weil immer £cp = gesetzt werden kann. Einsetzen von cp = £® ön liefert n 2 s ”l cp'S'n = S£® = J(®(n)-®(n-l)) = ®(n 2 )-®(n 1 n i _ _ 1 ). Setzt man J(n 1 ,n 2 ) = ®(n 2 )-®(n 1 -l) , dann gilt für das begrenzte Metronintegral die Dar¬ stellung n 2 J( n 1 ,n 2 )= Scp(n)^n, S = ^, n l nj > 1 , n 2 > n. (67a) Die Revisionen 67 und 67a gestatten noch weitere Entwicklungen. Zunächst kann der Prozess der Metrondifferentiation wiederholt werden. Ist bereits cp = 'S® , dann wird offensichtlich 1 up = £( 1 >®) = 1 > 2 ® zur zweiten Ableitung, Die so definierten vielfachen Metrondifferentiale sind explizit darstellbar. Es gilt zum Beispiel £°cp = cp, £'9 = 1)9 = 9(n)-9(n-l), £ 2 9 = 9 (n)- 29 (n-l) + 9 (n- 2 ), £ 3 9 = 9(n)-39(n-l) + 39(n-2)-9(n-3), £ 4 9 = 9(n)-49(n-l) + 69 (n- 2 )- 49 (n- 3 ) + 9(n-4), £ 5 9 = 9(n)-59(n-l) + 109 (n- 2 )- 109 (n- 3 ) + 59(n-4)-9(n-5) usw. Seite 214 Wird dieses Rekursionsverfahren und die Schlußweise der vollständigen Induktion angewendet, so folgt für irgendein k -faches Metrondifferential, weil die Rekursionsformel G k cp = 'S (’§' (kl) cpj gilt, ^ k( P = Z( _1 f a Y ( k ) ( p( n - Y), a y (k) = fcl, Y=o V 1 J ( 68 ) worin die ay (k) die ganzzahligen Koeffizienten aus der Zeile k der Matrix des Pascalschen Dreiecks sind, wenn die Dreiecksspitze mit dem einen Element 1 als Zeile k = 0 aufgefaßt wird. Wegen dieser Eigenschaften der ay (k) gilt immer a^ (k) = ^!y j . Mit diesem Gesetz können nach Gleichung ( 68 ) alle vielfachen Metrondifferentiale gebildet werden, doch erscheint es für die Durchführung metronischer Differentialoperationen zweckmäßig, für k = 1 einige Umformungen zu entwickeln. Neben cp (n) = cp seien auch u (n) = u und v (n) = v Metronenfunktionen und zur Kürzung werde O (n - 1) = O' verwendet, so daß "§9 = cp - cp' gilt. Zunächst sei 9 = ^ u j ( n ) . Offenbar ist dann j ^cp=^E u j = Z u j-Z u j = j j j X( u j- u 9=2^ u j, j j d.h. es gilt immer t>'^u j (n) = ^ tuij . Ist dagegen cp = C = const (n) , dann muß cp = cp' j j sein, was 1>cp = 1)C = 0 zur Folge hat. Für die Konstante gilt dann demnach i mm er öG = 0 . Für cp = C u (n) folgt t)cp = Cu - Cu' = Cl)u , also die Regel 1>(Cu) = Cl)u , wonach konstante Faktoren C wieder als Faktoren auftreten. Schließlich ist cp = uv als Produkt dar¬ stellbar. Für diesen Fall wird t)cp = uv - u'v' und hierin kann immer u' = u- u + u' = u- tni , und entsprechend v' = v — "SV gesetzt werden, was u'v' = (u - 1 >u) (v - tv) = uv - u 1 ) v - vDu + ~§u ~8v Seite 215 liefert. Einsetzen in tup = uv - uV ergibt dann eine Produktregel, nämlich t) (uv) = u t>v + vtm - 1>u 1>v. _ u Schließlich ist noch der Fall - — denkbar. Es ist v 1 )(p = t) u u u V V' ; = 73 < uv -vu vv ')= w uu w' w' u(u-l)u) v(v-t)V) = —^u(v-l)v)- v(u- t)u)j = ——j-^v'S'u — U = —t- V U ~§y~8u Weiter ist w' = v(v-"Sv) = v 2 -v~Sv = v~Sv V V = V v~Sv 1 1 Nach Einsetzen folgt also für das Quotientengesetz eine Determinantendarstellung f u ] _ 1 t)u1) V vSV IvJ ' V U V ■ 1 1 Alle diese Regeln der metronischen Differentialoperationen für k = 1 werden zusammengefaßt in Sc = o, j j t)(Cu) = Cl)u, C = const(n), 'S (uv) = u 1>v + vtiu -'Svl’Sw, fu^ l_ 1 tu Sw vtv IvJ ' V U V ' 1 1 (68a) Seite 216 Dieses einfache Metrondifferential 09 = f (n) kann auf Grund seiner Bildung 1)cp = cp (n) - cp (n - 1) in einfacher Weise interpretiert werden. Offenbar gibt f die Zahlen an, die zwischen zwei metronischen Funktionswerten liegen, wenn sich das Argument um den Wert 1 ändert. Je steiler cp anwächst, umso größer muß f ausfallen, und umgekehrt, derart, daß $9 > 0 angibt, daß (p mit wachsendem n ansteigt, während (p mit wachsendem n ab- nimmt, wenn t)cp < 0 ist. Im Fall tup = 0 dagegen muß ein Extremwert vorliegen, der ein Maximum ist, wenn t) 2 cp < 0 , aber ein Minimum für t) 2 cp > 0 wird. Das zweite Metrondiffe¬ rential muß nämlich auf Grund seiner Definition die Änderung des Steigungssinnes einer metro¬ nischen Funktion beschreiben, weil das erste Metrondifferential diese Steigung darstellt. Gilt also 1) 2 cp = 0 , dann bedeutet dies, daß an dieser Stelle der Steigungssinn von cp im Sinne eines Wen¬ depunktes geändert wird. Zusammengefaßt wird dieser Sachverhalt in dem System ^cp = 0 , n = n ext , cp = cp ext , -SVO, £ 2

0, S 2 9 = 0 > ( 68b ) welches das metronische Analogon zur infinitesimalen Extremwerttheorie darstellt. Nach dieser Analyse des Metrondifferentials kann der Begriff des Metronintegrals weiter entwickelt werden. n 2 Nach der Darstellung (67a) ist S cptm = (n 2 )-0(n l -1) offensichtlich zerlegbar, nämlich n l dann, wenn Y ein zwischen ni und n 2 ^ ni liegender Zwischenwert ist. Es gilt Y n 2 Scp^n = 0(Y)- < f>(n 1 -l) und S^cp^n = (n 2 )-(Y) , also nach Addition Y n 2 Stm + J^cptm = (n 2 ) n 2 n 1 n Y n 2 was eingesetzt das weitere metronische Integraltheorem S + S = S+ S n, n 2 n, n 2 metronischen Integration werden demnach zusammengefaßt in liefert. Die Theoreme der Y n 2 S+ S n, Y+l n i S =0, tlj +1 n 2 n l n l n 2 s+s = s+s n l n 2 n l n 2 (69) und diese Theoreme zeigen, daß sich das Metronintegral bereits im Verhalten seiner Integrations¬ grenzen wesentlich vom infinitesimalen Integral unterscheidet. Dagegen kann in völliger Analogie Seite 218 zum infinitesimalen Integral auch das Metronintegral als Funktion der oberen oder unteren Grenze aufgefaßt werden. Ist m = a und n 2 = b , dann gilt Scp'S'Y = 0(n)-0(a-l) , bzw. Scp'S'Y = ®(b)-cD(n-l) oder S cpt>Y = 0(b)-0(n), a n V 7 V 7 n+1 V 7 V 7 so daß im Fall einer Abhängigkeit von der unteren Grenze n+1 das Vorzeichen von ® umge¬ kehrt wird. Nach 1)(u + v) = t)u + 'S'v und 'SG = 0 für C = const liefert die Metrondifferen- tiation t Scp(‘Y) t' Y = Scp t' V - “s cp Y = a ' 7 a a = ®(n)-®(a-l)-®(n-l) + ®(a-l) = ®(n)-®(n-l) = 'S'®, während andererseits ~§ Scp(Y)1> Y = limScpt) Y = Scp'S'Y = cp(n) a ' 7 a^n a a v 7 ist. Der Vergleich ergibt cp = t)® für die metronische Integratibilität, d.h., das Metronintegral einer Funktion cp ist immer dann ausführbar, wenn zu cp eine Funktion ® gefunden werden kann, derart, daß = cp ist, also ® als primitive Funktion von cp erscheint. Da in ®(n)-®(a-l) = Scp(Y)t> Y immer ® (a - 1) = C = const wegen a = const ist, kann zur Kürzung für das unbestimmte Me- tronenintegral ® (n) = S cp (n) Gn + C gesetzt werden, was wegen t)C = 0 wieder den Funda¬ mentalsatz 1>® = cp liefert, wenn t)S cp ~§n = cp (n) ist, was aber wegen GS cp Gn = cp und Seite 219 t>n = 1 evident ist. Die metronische Integrabilitätsforderung, und der Fundamentalsatz sind dem¬ nach enthalten in ® (n) = S cp (n) tm + C, 1>® = cp (70) und dieser Zusammenhang ermöglicht die Entwicklung metronischer Integrationsregeln. Bei der Entwicklung dieser Regeln ka nn man von den Regeln der metronischen Differentiation ausgehen. Für t)cp = ^~S^u i wird cp = S^^Uj = Uj , was aber wegen S Du, = Uj zur Ver- j j tauschung S X = Z S der Operation führt. Ist 1)cp = 0 , so kann nur S t)cp = C = const sein, und für 1)cp = a1m wird S 1>cp = S a 1)u , was mit cp = au verglichen zu Sa 1m = aStm mit a = const wird. Schließlich kann noch das Metronintegral über 1)(uv) = u 1>v + v t)u - t)u 1>v erstreckt werden. Man erhält aus uv = S u t)v + S v tiu - S tm t) v, wenn t)v = f , also v = Sft)n eingeführt wird, S uf t>n = u S f t>n - S 1)u S f t>n + S fv t)u = u S f t>n + S (f- S f Im) tm. Diese Regeln metronischer Integration können in den nachstehenden Beziehungen zusammengefaßt werden. Seite 220 S Z=Z S ’ Stup = C = const, tup = 0, Sacpt)n = aScpt)n, Sug tm = uSg tm + S(g-Sg tm)tm . (71) Nach dem Gesetz fu] _ 1 v~§v V V J V U V 1 1 wird tutv v'S'v U V ■ 1 1 1 t)n „v'Su-u^v^ _ v^u-u^v _p — = S --^° n = S / x 7 -77 ° n ’ v v -vov v(n)v(n-l)

Y S k n Y . Zu untersuchen ist also die "§ k n Y = ^ k f(n) und Y hierfür Seite 221 In ist („-!)’ =(-')’ 1 -^ H’iH )' 1 j=o f n J was eingesetzt SV 1=0 =IH)' fk-O^K- 1=0 - 1 ) Y-j j n J liefert. Aus dieser Darstellung geht hervor, daß = g(n) für k < Y aber g = const für 00 k = Y und g = 0 für k>Y wird. In S k cp mit (p = ^ a Y n ^ hat die Zählung von Y = k Y=o beginnen, da alle Glieder Y < k verschwinden müssen. Demnach gilt S k cp 00 ^a Y SV Wird hierin n = 0 gesetzt, so bleibt in der dritten Summe nur der Summand j = 0 vom Wert Null verschieden, was zu Y=k ’ ~ 1=0 (kl 1 -0 Y=k 1=0 Yu/kljY zu Seite 222 führt, und aus diesem Gleichungssystem können dann die ay ermittelt werden, was i mm er möglich ist, weil cp (n) auch in n = 0 bekannt ist, und für die Ableitungsordnung das ganz¬ zahlige Intervall 0 < k < oo gilt. Die metronische Reihenentwicklung einer Metronenfünktion deren Argument nur eine laufende Metronenziffer ist, wird somit auch als System cp( n )=f>y, (^ k 9) n _ 0 Y=o üM-i r (72) beschrieben. Die Entwicklung einer solchen metronischen Reihe ist jedoch nur dann möglich, wenn die Reihe absolut und gleichmäßig bzw. bedingt konvertiert, d.h., wenn für alle Glieder ay n Y > ay+i n Y+1 oder ay > ay+i gilt. Da alle n > 1 ganzzahlig sind, wird die Kovergenz wesen¬ tlich durch die ay , also den Verlauf cp (n) bestimmt. Andererseits bedeutet die Bedingung ay > n ay+i , daß die Kovergenz nur in einem bestimmten Intervall 1 < n < n' mit n' < N erfol¬ gen kann, wenn N die Ziffer des letzten Metrons im einfachen Tensorium ist. Für die entwickelte Metronenfünktion cp (n) gilt demnach als Bereich absoluter Konvergenz 1 < n < n' derart, daß die Entwicklung für n > n' , falls n' < N bleibt, mit einer Divergenz beginnt. Die Entwicklung braucht aber nicht gleichmäßig zu divergieren, vielmehr kann die Divergenz außerhalb des absolu¬ ten Konvergenzbereiches erst vom Gliede Y' > Y an auftreten, d.h., für die Partialsumme f y 'Y J a Y n gibt es einen anderen Konvergenzbereich 1 < n < n" , der den Bereich absoluter y=o Konvergenz umschließt, so daß n" > n' gilt. Es gibt also Konvergenzbereiche endlicher Partial¬ summen und metronische Bereiche absoluter Konvergenz, die für n' < N als partiell, aber für n' = N als total bezeichnet werden können. 8.2. Cisfinitesimale Analysis Mit Hilfe der im Vorangegangenen entwickelten Sätze kann eine cisfinitesimale Analysis aufgebaut werden, die im Gegensatz zur infinitesimalen Form wegen x > 0 ihre Grenzwerte im diesseitig endlich begrenzten Bereich hat. Im allgemeinen wird der metronische Bereich irgendeiner Funktion cp durch X < n < N mit ganzzahligem X > 1 begrenzt und cp selbst braucht nicht notwendig über nur einem Bereich definiert zu sein, sondern kann von mehreren solchen Bereichen X, < ri; < Ni mit 1 < i < L in der Form ( P — ( P ( n , ^ abhängen. In diesem allgemeinen Fall muß eine Erweiterung der in Kapitel 8.1. definierten Begriffe durchgeführt werden. Ist cp in dieser Seite 223 Weise von den Metronenziffem n, der L metronischen Bereiche abhängig, so kann auch eine partielle metronische Differentiation entwickelt werden. Die Gesamtheit aller L metronischen Bereiche wird dabei als Argumentbereich der Funktion bezeichnet. Ändert sich in cp nur die Metronenziffer n k des Bereiches k , während die übrigen L - 1 Metronenziffem unverändert bleiben, so kann die Änderung in dieser Richtung k beschrieben werden durch 1 ganzzahlig ist. Der kleinstmögliche Wert, den Yk erreichen kann, ist der Wert 1 , so daß sich für diesen Grenzwert i lim A (cp-cp(n 1 ,...,n k -Y k ,...n L )) = cp(n i )J'-cp(...,n k -l,...) = 'S' k (p ergibt, weil Yk —» Än k und Än k = 1 gilt. Die partielle Metrondifferentiation (p = (p(n i f l , Xj^nj^N;, 'S' k cp = cp-cp(...,n k -l,...) (73) gibt an, wie sich eine von L metronischen Bereichen abhängige Funktion cp in nur einen metro¬ nischen Bereich k) = ’S > i(q>- k (1>w) , woraus folgt, daß bei der Bildung höherer partieller Metrondifferen- tiale gemäß (~§ k x ^ ) =0 alle partiellen Metrondifferentiationen miteinander kommutieren. Mit K < L und G > 1 können im allgemeinsten Fall die k, -fachen partiellen Metrondifferentia¬ tionen in den G < i < K metronischen Bereichen durchgeführt werden, derart, daß eine gemischte K K L partielle metronische Differentiation von der Ordnung ^ k ; in der Form m i cp = F(n i ) i als i=G i=G neue metronische Funktion entsteht. In der allgemeinsten Form wird demnach die Begriffsbildung der partiellen metronischen Differentiation beschrieben durch (s l x«,)_=o, n«‘0, l 0 müssen wegen ihres Charakters metronischer Differentiationsordnungen ganzzahlig sein, wobei die Operationen '§', k| nach der Regel 68 und der Definition (73) durchzuführen sind. In Analogie zu der infinitesimalen Analysis kann das Totale Metrondifferential t)cp im Fall cpfiy ) k durch eine Superposition aller L 'S'i

. = 2 weiter geschlossen werden, was zur allgemeinsten Darstellung des totalen Metrondifferentials beliebiger Ordnung, nämlich zu S k cp = r l \ z«, V i=l ,9 J (74b) fährt. Ein zu Gleichung (74a) analoges Theorem kann für k > 1 nicht entwickelt werden. Seite 226 Ist cp(nj) L in seinem Verlauf bekannt, dann kann immer eine Transformation durchgeführt werden, was auf die Einführung von l 0 fällt, sofern es irgendeine sehr große Zahl N = N (s) > 0 gibt, und die ni > N und n'i > N vorgebbar sind. Wenn dieses Kon¬ vergenzkriterium erfüllt ist, muß es für cp selbst eine Schranke g geben, derart, daß auch I

N wird, und diese Schranke g wäre dann als Grenzwert der L -fachen Folge cp anzusprechen, d.h. für cp(n i ) i -g0 und ni>N(s)>0 gilt lim cp = g , d.h. es konvergiert cp —> g , wenn alle 1 < i < L Zahlenfolgen n; —*■ co über ( n i)i L - >co alle Grenzen wachsen. Für g < co konvergiert cp , divergiert aber für g —*■ co . Wenn g exis¬ tiert, dann muß es auch möglich sein, den L -fachen Limes nacheinander durchzuführen, d.h., mit lim cp = cpj (n t muß auch | cp - cpi | < £ sowie | cpi - cp 2 1 < £ mit cp 2 = lim cp, usw., also n | —^-oo 1 I 2 — allgemein | cp k - cp k +i | < £ mit cp k i(n,)^ = lim cp k sein. Wird dieses Verfahren weitergeführt, k+2 n k+1 ->co so folgt schließlich | cp (n L ) — g | < £ für n L > N , was lim cp(n L ) = g zur Folge hat. Bei n L -w dieser sukzessiven Durchführung der Einzellimes muß offensichtlich, wenn g überhaupt exis¬ tieren soll, die Reihenfolge der Einzellimes ni —» 00 vertauschbar sein, denn wäre dies nicht der Fall, so würde jede Permutation dieser Reihenfolge zu einem anderen Grenzwert g führen, und dies würde bedeuten, daß kein eindeutiger Vielfachlimes in der Form lim cp(n, = g existiert, und von einer Konvergenz oder Divergenz der metronischen Funktion cp könnte nicht gesprochen werden. Seite 229 Auch der Begriff der Homogenität ist auf eine Klasse metronischer Funktionen anwendbar. Die Funktion cp wird als vom ganzzahligen Grade h > 1 homogen bezeichnet, wenn cp(t,n ; = t h cp(n i )!“ für irgendeine Zahl t ^ 0 gilt. Hierbei kann t ^ 0 jeden Zahlenwert anneh- n men, doch wird eine der infinitesimalen Beziehung ^ x ; i=l völlig analoge metronische Beziehung möglich, wenn t = n > 1 als metronischer Parameter eben¬ falls ganzzahlig wird. Mit r|i = nni wirddann cp(n,n i )|' =n h cp(n i )[' . Hierin ist ^'n ( P = Z^ i ( P^n r li =Z n i^ i ( P( r lif i=l i=l df dx- = hf mit f(t,x i )” =t h f(ni)" wegen 1) n r|i = nnj-(n- l)ni = nj . Andererseits ist aber ^n9 = (n h -(n-l) h )cp(n 1 )", was wegen der binomischen Entwicklung .also Y=o V * J Y=o V ‘ z Y=o v 1 z fuhrt und mit 'S'„9 = Z n .^, ( P( T i=l Seite 230 verglichen die Relation 2 > i = (- 1 ) 1 " 1 ft ] n ^M i=l Y=0 v ‘ ' L 1 liefert. Hierin kann für den metronischen Parameter, der jeden ganzzahligen Wert n ^ 0 annehmen kann, der zweideutige Wert n = ± 1 gesetzt werden. Damit wird aber r); = ± 1 , sowie 'S" = + '§', und (-1)^ = (-1)^ (^l)^ = (+^f • Diese Annahme liefert dann den Zu¬ sammenhang 1 oder k < h - 1 sein, was wegen k > 0 für die Seite 231 Ordnungen das geschlossene Intervall 0 < k < h - 1 liefert. Dies gilt allerdings nur für den Fall, (9 daß cp in der Form cp = ^Sj mit Sj ~ ]~[ n a darstellbar ist, denn anderenfalls können die Metrondifferentiale der Ordnung k der Homogenitätsforderung nicht mehr genügen. In

cp = 0 , was f(0,(p,n i )J' =0 zur Folge hat. Diese Beziehung ist grundsätzlich erfüllt, wenn 1) ( pF~1)cp ist, denn dann muß immer f=0 für t)cp = 0 sein. 8.3. Selektoren Jede metronische Funktion cp(n : kann wegen der Ganzzahligkeit der n, auch als eine L -fache Zahlenfolge aufgefaßt werden, für welche alle Kriterien der Vielfachfolgen gelten. Ein solches Zuordnungsgesetz cp als Zahlenfolge aufgefaßt, wählt im allgemeinen, wenn die ni die positiven ganzen reellen Zahlen durchlaufen, aus dem jeweiligen algebraischen Körper irgendeine Folge von Zahlen aus und die durch cp gekennzeichnete Folge wiederum muß sich in ihrer Struk¬ tur ändern, wenn das Zuordnungsgesetz cp ( ) geändert wird. Größen, die ein Zuordnungsgesetz ändern, werden aber als Operatoren definiert, woraus folgt, daß es auch metronische Operatoren geben muß. Ist zum Beispiel cp vom Grade h homogen, derart, daß die Beziehung Seite 232 9 2>^cp=(-iri; h') V L gilt, so kann ^ n ; '§ i cp = C als ein metronischer Operator aufgefaßt werden. Mit der Kürzung i=i wird dann C ; cp X cp , woraus ersichtlich wird, daß die Schreibweise metronischer Gleichungen unter Verwendung metronischer Operatoren wesentlich vereinfacht werden ka nn . Ein metronischer Operator wirkt also auf irgendeine Zahlenfolge ein, derart, daß auf diese Weise aus einem entsprechenden algebraischen Körper eine eindeutig definierte andere Zahlenfolge aus¬ gewählt wird, weshalb es angebracht erscheint, die metronischen Operatoren als Selektoren zu be¬ zeichnen, damit eine präzise Unterscheidung vom infinitesimalen Operatorbegriff erreicht wird. Da alle analytischen Operationen durch einzelne Selektoren dargestellt werden können, ist jede metro- nische Funktion cp durch eine Folge von Selektoren darstellbar, die auf die einfachen Folgen n ; > 0 der positiven ganzen reellen Metronenziffem einwirkt. Zur Darstellung von metronischen Funktionen vieldimensionaler metronischer Argumente erscheint noch die Einführung eines Zuord¬ nungsselektors Z (i) = ( )i zum jeweiligen metronischen Bereich i angebracht, derart, daß Z (i); n = n; ist, d.h., die beliebige Zahlenfolge n laufe im metronischen Bereich i . Wenn nun also ( P = ( p( n i) 1 ist, dann kann auch (p = ;n = cp(n i )|' auf die Folge der ganzen positiven reellen Zahlen n die metronische Funktion für cp liefert. Die Koor- dinations- und Funktionalselektoren machen also gemäß Z(i) = ( ),, 9 (n,f=®;n, ® = 4>(C„Z(i))“, C k ;n, =f,(n,) (78) Seite 233 eine allgemeine Selektortheorie möglich, die so beschaffen ist, daß die Theorie metronischer Funk¬ tionen in dieser allgemeinen Selektortheorie enthalten ist. Grundsätzlich muß zwischen den Koor- dinations- und Funktioalselektoren unterschieden werden. Nicht nur ® sondern auch C k sind solche Funktionalselektoren, wobei allerdings ® als kombinierter Funktionalselektor von mehreren Argumentselektoren abhängt, während die C k einfache, also nicht kombinierte Funk¬ tionalselektoren sind. Auf Grund dieser Selektordefinition ist es evident, daß es auch einen Null- und einen Einheitsselektor 0 ; n = 0 und E ; n = n geben muß. Ebenso geht aus dem Selektor¬ begriff hervor, daß alle Selektoren dem assoziativen und distributiven Gesetz hinsichtlich Addition und Multiplikation genügen müssen, während im allgemeinen das kommutative Gesetz nur hinsich¬ tlich der Addition gilt. In Bezug auf die Multiplikation braucht das kommutative Gesetz nicht mehr zu gelten, denn auch die Operationen der metronischen Differentiation und Integration können als Funktionalselektoren aufgefaßt werden, so daß für zwei Selektoren Ci und C k ein von Null verschiedener Antikommutator und Kommutator (C. x C k ) + 0 möglich werden kann, wobei sich die Existenz, also die Abweichung vom Nullselektor, nach dem Bau der beiden zur Diskussion stehenden Selektoren richtet. Auch ein Konstantenselektor muß existieren, nämlich dann, wenn C ; n = a = const (n) für alle n ist. Dieser Selektor kann nur die Gestalt C = a j—j haben, so daß die Definitionsbeziehung des allgemeinen Selektors (78) zu ergänzen ist durch C;n = 0, E;n = n, (CjXC k ) + ^0, C;n = a = const (n), c- a () c - a n- (78a) Jeder metronische Bereich n, muß in geometrischer Interpretation die Dimensionierung p von x haben, d.h., die Metronisierung des R p mit p < L bedingt eine Metronisierung der 1 < i < L Koordinaten x; des R L (als semantischen Metrophor) so daß die L metronischen Bereiche n, diese Koordinatenmetronisierungen wiedergeben. Wenn dies aber nicht so ist, dann muß, wie der metronische Bereich geometrisch auch immer verläuft, jeder Folge n, von Metronenziffem eine verikale Orientierung e, mit | e, | = 1 zugeordnet werden können, was eine Erweiterung des Koor¬ dinationsselektors zum orientierten Koordinationsselektor Z(i)=e ; ( ). nahelegt, wobei die L einzelnen Orientierungen e ; zueinander nicht notwendig orthogonal zu verlaufen brauchen, d.h., die quadratische Matrix vom Typ L der Orientierungen (e ; e k ) = A kann im allgemeinen A^E und A(x ; mit x, (n,) sein. Mit diesem durch Seite 234 (78b) Z ( i ) = e .( )i> k\ = 1 ’ ( e i e k) L =A(n i ), L definierten orientierten Koordinationsselektor wird offensichtlich eine metronische Tensoranalysis möglich, denn mit Z(i); n = ear = 5; wird die Definition eines Metavektors L _ _ n = ^ z (i);n = z ;n i=l _ L __ mit dem Selektor Z = ^ Z(i) möglich, und dieser Metavektor wiederum gestattet die Erweite- i=l rung zum allgemeinen metronischen Vektor. Wenn nämlich ein Koordinationsselektor durch die e ; orientierbar ist, dann muß es auch allgemeine orientierte Funktionalselektoren C, = e ; C, geben, wobei die Selektorgesetze C;;n = cp ; (rr ) L metronische Skalarkomponenten darstellen L L _ sollen. Mit ^ q cp ; = cp und ^ q C, = C wird dann ein allgemeines metronisches Vektorfeld i=l i=l über dem L -dimensionalen metronischen Argument mit Hilfe des orientierten Funktionalselek¬ tors C beschrieben durch cp = C,n , und dieser metronische Vektor wiederum kann als metro- nischer Tensor vom ersten Grad aufgefaßt werden. Ist T ^ die Komponente irgendeines metro¬ nischen Tensors mit m > 1 (Tensorgrad), dann baut sich nach dem Begriff des metronischen Vektors diese Komponente gemäß T . = ]~[cp, aus metronischen Vektor- 1 m k=l komponenten auf, woraus sofort m < L ersichtlich wird. Andererseits ist aber stets

(c.-.. c. ± c. • Cm ) • n = n • (c» x c >),. n c., k=l k=l+l k=l k=l+l an, d.h., eine hermitesche, bzw. antihermitesche Form existiert, je nachdem, ob die beiden zur Transposition kommenden Teilselektoren einen vom Nullselektor verschiedenen Antikommutator bzw. Kommutator haben. Der allgemeine Fall kann ohne Eingrenzung der Allgemeingültigkeit auf m = 2 reduziert werden. Die Symmetrieuntersuchungen tensorieller Selektoren laufen demnach stets auf das Schema 2 c = 2 c, + 2 c, 2 c 1 =i[(c,xc 1 ) l ], 2 c, = 2 c;, 2 c =- 2 e (79) hinaus, wonach immer 2 C ± = 2 0 gilt, wenn (C, x C k )_ =0 wird, und dies ist unabhängig davon, ob m = 2 oder m > 2 gilt. Die zur Hermitesierung bzw. Antihermitesierung kommen¬ den Indizes brauchen nicht notwendig benachbart zu sein, doch kann das Problem damit nicht all¬ gemein auf eine Analyse des Antikommutators bzw. Kommutators der beiden Teilselektoren reduziert werden, es sei denn, daß die übrigen Teilselektoren kommutieren, so daß durch eine Folge von Transpositionen eine derartige Reduktion möglich wird. Eine andere wesentliche Operation tensorieller Selektoren ist die Kontraktion des Tensorgrades durch Bildung der Matrizenspektren. Gilt Cj =C, , so wird von m C das Matrizenspektrum durch j = l und Summation aller Seite 237 1 < 1 < L gebildet, was m um 2 reduziert. Allgemein ist dann t 1 "- 2 ] f L j-1 1-1 ®PH m c= znc i ,c„nc...c il ,nc i _ 1=1 k=l k=j+l k=l+l und daraus folgt sp i=k m C +(ik| = 2 m 2 C , was jetzt nicht mehr hermitesch zu sein braucht, aber sp i=k m C = m_2 0 , weil stets (Ct x C k ) ~(l-8 ik ) ist. Auch hier kann ohne Einschränkung der Allgemeinheit auf m = 2 reduziert werden, was sp 2 C = £c 2 , (79a) ergibt. Auf den tensoriellen Selektor vom Grade m > 0 kann ein weiterer orientierter Funktional¬ selektor D einwirken, wobei eine tensorielle und eine skalare Einwirkung möglich ist. Wird das Ergebnis dieser Einwirkung mit W bezeichnet, so liefert D, m C = m+1 W stets eine Erweiterung des Tensorgrades, vorausgesetzt, daß D ein orientierter Funktionalselektor ist, während sp D, m C = m 1 W die skalare Einwirkung kennzeichnet. Ein orientierter Funktionalselektor exten¬ diert den Tensorgrad um 1 bei tensorieller Einwirkung, während die skalare Wirkung den Ten¬ sorgrad um 1 kontrahiert, weil es sich um das Matrizenspektrum der tensoriellen Wirkung handelt. Ist der Funktionalselektor dagegen in der Form D nicht orientiert, so kann gemäß D, m C = W der Tensorgrad nicht geändert werden. D, m C = m+1 W ist allerdings nur dann möglich, wenn m < L - 1 bleibt, denn der Grad darf die Dimensionszahl nicht überschreiten. _ _ _ L Eine spezielle Form von D ist D = '§' = ^ e, , was bei tensorieller Einwirkung ein i=l Analogon zur infinitesimalen Tensordivergenz und bei skalarer Einwirkung ein Analogon zur Skalardivergenz bildet, während 13,( )-|'§',( )j eine Analogie zum infinitesimalen Feldrotor darstellt. Der Sonderfall von in seiner Einwirkung auf eine metronische Funktion m = 0 wäre die Analogie zum infinitesimalen Gradienten. Diese tensorielle, skalare und indifferente Ein¬ wirkung von Funktionalselektoren auf Tensorselektoren mit dem Spezialfall ~§ wird demnach zusammengefaßt in Seite 238 (79b) D, m C = m+1 W, spD, m C= ml W, D, m C = W, $ = £&,■§, i=l tcp = GRAD L cp, ^, m C = Diy L m C, spt, m C = DIVl m C, m cj x = ROT l m c wobei die metronischen Gegenstücke zu den infinitesimalen tensoranalytischen Differentialopera¬ toren in der vorstehenden Weise symbolisiert worden sind. Auch für diese Selektoren können metronentheoretische Sätze entwickelt werden, da jeder dieser Selektoren ein metronentheoretisches Äquivalent zu einem infinitesimalen Operator darstellt. So folgt zum Beispiel immer, wenn ROT L = 2 0 ist, spROT L = 0 , weil ROT l =-(ROT l ) x gilt. Weiter folgt in Komponentendarstellung (rav L ROT,) iu =«,(«„( ),-«,( )>o und (spDIVl RO T, ] =( L)TV| ro t, I = i=l i=l i=l L Weiter ist DIV L GRAD L = ^ Ä, 2 , also i=l (divl rot l ) = div l grad l ( ),= i=l = div l grad l ( ) ] - (grad l ) ] DIV L ( ) Seite 239 L weil y «< v=div l ( ) ist. Mithin gilt also das Theorem i=l DIVl rot l = div l grad l ( )-grad l div l ( ), wenn der Selektor auf ein metronisches Vektorfeld wirkt. Abermalige Divergenzbildung liefert div l divlrot l =sp^sp-§'^-(-§') ! j=x).)= =t«, 2 V ), =o i,l=l i,l=l i,l=l Schließlich kann noch ein weiteres Theorem des metronischen Rotors abgeleitet werden. Der kombinierte Selektor ROT L GRAD L kann offenbar als Tensorselektor vom 2. Grad nur auf metronische Skalarfelder wirken, doch gilt für seine Komponentendarstellung (rot l grad l ) ik = «, S t - «„ S,=(«, X « k ) doch würde bei der Deduktion des partiellen Metrondifferentials das Theorem j =0 ab¬ geleitet, so daß ROT l GRADl = 2 Ö gilt. Für die speziellen Selektoren der Gleichung (79b) gelten demnach die Theoreme ROT l 2 0, sp ROT l = 0, DIVl ROT l = DIV l GRAD l - GRAD l DIV l , DIV l DTVl ROT l = 0, ROT l GRAD l = 2 Ü . (79c) Ganz enstprechend können auch einige metronische Integraltheoreme entwickelt werden. Mit L z l _ \ _ L _ n = ^e i n i = ^Z(i) ,n und n = N,n , also N = ^Z(i) wird i=l V i=l J i=l Seite 240 SN = £ «Z(i) = XS, z (i) = te,, i=l i=l i=l wenn ein normiertes Orthogonalsystem (e ; e k ) = E vorausgesetzt wird und ® der skalare Feldselektor der metronischen Funktion cp = ®,n ist, _ L GRAD l ® = £ 'S;® = t?® , i=l so daß die Bildung des Metronintegrals möglich wird. Da die Grenzen des metronischen Integra¬ tionsvorganges als Konstante festliegen, wird S 1)®,n = const und dies bedeutet S (GRADl 1>®),n =const für alle n . Ein anderes Theorem ergibt sich, wenn ( L k=l '§Q(L) = ]^['S k n k = ]^['§ k Z(k) ,n und t)Q (L) = "SV,n V k=l gesetzt wird, und ® ein vektorieller Feldselektor ist. In diesem Fall kann DIV L 4>SV = £ ^ ®, t, Z(j)n« k Z(k)n« k Z(k) = j=l k=l jVl j=l k=l mit k-1 sv k =nS'Z(i)IF. z (0 1=1 k+1 Seite 241 gebildet werden. Kennzeichnet Q(L-l) die(L-l) -dimensionale Hyperfläche des R L , dann kann das L -fache Metronintegral über (DIV, (D 'S Y j, n erstreckt werden. Mit der Kürzung S = S... S wird dann n(L) n, n L n(L) = s n(L-i) i=l k=l ,n = f $Vs£ 'S'.O i=l V **)•- _ L wenn 'S V = ^ e k S V k verwendet wird. Es folgt demnach das Selektortheorem k=l S DIV, = S Ol> V. n(L) o(l-i) Es kann noch formal ein weiteres metronisches Integraltheorem hinsichtlich des metronischen Rotors abgeleitet werden. Mit ^fj = l^n, 1) k mit i^k^j , also 1) 2 F, n = 2 f mit Komponenten folgt, da ROT L , O die gleiche Komponentenzahl hat, bei skalarer Multiplikation die Skalargröße (ROT L S 2 F),n=X(Si , i> l i,k=l k=l 1=1 i=l und dieser Ausdruck kann zweifach metronisch integriert werden. Es folgt S(R0T L 0>1> 2 F),n = StmS^-g; 0,n =s( S£<£,n) £n = f i=l = SÖ,n'S'n = s(Ö'S'N),n Seite 242 also der metronische Selektorzusammenhang ssrot l o£ 2 f = sV = S 0 tV, SSROT L Ö'§' 2 F = ScDt>N, 1>N = j;s,z(i),-sv=ns k z(k). j-1 i=l L k=l «v « v ,.^ v ,=n^ z(k)n«. z ( k M«i 1 S 2 F = [SiZ(i)«„Z(k)] L (80) zusammengefaßt werden. All diese Theoreme, die differentiell in (79c) und integral in (80) enthalten sind, bilden die metronischen Analogien zu den entsprechenden differentiellen und integralen tensoranalytischen Sätzen der infinitesimalen Analysis. In Analogie zu den infinitesi¬ malen Operatorgleichungen muß es nach dem Vorangegangenen auch Selektorgleichungen geben, deren Analyse jedoch eine, die metronische Analysis ergänzende Theorie transzendenter metro- nischer Funktionen vorangestellt werden muß. 8.4. Transzendente metronische Funktionen und Selektorgleichungen Eine Theorie transzendenter metronischer Fu nk tionen setzt auf jeden Fall eine Erweiterung des elementaren metronischen Integralbegriffes voraus, denn nicht alle Metrondifferentiale können nach den entwickelten Integrationsregeln elementar integriert werden. Ist X (n) irgendeine metronische Funktion, die aus Gründen der Einfachheit nur von einem Argument 1 < n < oo ab- tx hängen soll, dann kann offenbar das Metronintegral cp = S — nicht mehr auf elementar lösbare X Metronintegrale reduziert werden. Zunächst wird es notwendig, die Eigenschaften von t) x (p = — X zu analysieren. Sind a < X < (ab) irgendwelche Grenzen der Funktion X , denen entsprechende Seite 243 Metronziffem als ganzzahliges Argument äquivalent sind, dann gilt offenbar für die bestimmten Metronintegrale a+1 X a+1 X cp(a) + cp(b)-2cp(a) und g £x a+1 X cp(ab)-cp(a). ab "S'x *-i "S'x Nach dem Anschluß von Metronintegralen ist aber S — = S-h S — und wegen des a + l X « X a % n .. , SX , , . . ab-SX » SX £ tX , Quotienten - kann hierin S — = S — + S- , also X a X a X « + 1 X a^ t)X a-1 -§X a 'g'X b ^ * ~§X £ ■§% s —= s —+s—+ s —= s —+ s- a+1 % a+1 X a X a+1 X a+1 X a+1 X gesetzt werden. Wird a so gewählt, daß cp (a) = 0 wird, dann wird aus der Integralgleichung m f m 'N . Dies wird für a k = a das Theorem cp (a) + cp (b) = cp (ab) oder erweitert ^ cp(a k ) = cp J^[a k k=l V k=l J allgemein m cp (a) = cp (a m ) oder negativ - m cp (a) = cp (a" m ) , wenn m ganzzahlig ist. Dies bedeutet cp(a)-cp(b) = cp — oder für b = 1 auch cp (1) = 0 , so daß die Bedingung cp (a) = 0 für a = 1 erfüllt wird. Es sind jedoch auch ganzzahlige Werte möglich und dies bedeu¬ tet — cp( a ) = , d.h., neben dem Raster rationaler Zahlen sind auch die irrationalen Zahlen wegen —cp(a) = cp| \[a ^j zugelassen. Aus allen diesen Konsequenzen des Additionstheorems ergibt sich aber eindeutig, daß cp die Eigenschaften eines Logarithmus der unbekannten Basis A hat. Demnach ist cp = S- in der Form cp(X) = log A X oder invers als Exponentialgesetz X X = A 9 darstellbar. Wenn es möglich wird, diese Logarithmenbasis eindeutig zu bestimmen, dann kann das Metronintegral cp wegen des eindeutigen Zusammenhanges cp (X) explizit ausgeführt werden. Zu diesem Zweck wird in -^- = 1) x log Ä X für X(m) = m + ^ gesetzt, was •§'X = --(m-l )“ 1 also — = -(m 2 -lV 1 m X v ; liefert. Außerdem ist Seite 244 tx — = log Ä X = log Ä X - log Ä (x - •g'x) = log^ V m 1 j (m 2 -l) 1 =log Ä r.~u k m J . Wegen X = I + — = 1 + — kann immer m 2 = -n , also m im (n + l) * =log Ä | 1 + — l n; oder nach Multiplikation mit n auch fi+E -1 fi + l] = 1 °g Ä l n ) gesetzt werden. In der Limesrelation n —» oo wird daher lim 1 + - V n; = 1 , also fi + i] n fi + i] 1 = lim log Ä = log Ä lim n^co ^ L n J 1 n-»oo 1 l n J f oder nach Potenzierung lim 1 V 1 + - n-^ 00 ^ n J = A . Nun gilt aber die Limesrelation lim f 1 \ n 1 + - n ^ o0 ' v n j = e was im Vergleich A = e ergibt, wodurch die Basis eindeutig gegeben ist. Da log Ä = log- = ln ist, folgt S-= ln X , mit anderen Worten, der Begriff des natürlichen Logarithmus kann ohne X Einschränkung aus der infinitesimalen Analysis in die metronische Analysis übernommen werden. Diese Übernahme gilt wegen cp = ln X auch für die eindeutig inverse Darstellung X = e 9 , womit beliebige metronische Exponentialfunktionen f=A

cp ist, gilt daher e ±99 = 1 ± ~ötp , was in e 9 eingesetzt 1) 9 e 9 = e 9 tup liefert. Die Analysis transzendenter metronischer Fu nk tionen kann demnach von den beiden Theoremen cp '§' v ln cp = ’S'cp , 'S'p e 9 = e 9 t)cp (81) ausgehen. Unter Verwendung der trigonometrischen Additionstheoreme können die Metrondif- ferentiale für cos cp und sin cp , nämlich ~§ cp = "S'cp , sowie COS "S'cp = 1 und SIN lup = 1>cp wegen e^ 9 = 1 ± 1>cp ist. Die Zusammenhänge zwischen hyperbolischen und trigonometrischen Funktionen gestattet auch die Bildung trigonometrischer Metrondifferentiale. Wird das unmittelbar aus (81) folgende Theorem t) f e" p = i e 19 ’S cp mit e ±?cp = sin cp, S sin cp "S'cp = - cos cp, S tg cp t)cp = ln cos cp, S ctg cp 1>cp = - ln sin cp. Alle transzendenten Funktionen u (cp) sind eindeutig und eindeutig umkehrbar, so daß ihre ? () Inversen cp (u) existieren. Ist D ( . = p , dann besteht zwischen diesen eindeutigen ö ( ) Funktionen und ihren Inversen durch den Selektor der Zusammenhang D u , cp = (D^u) 1 , mit dessen Hilfe die Inversen zu den hyperbolischen und trigonometrischen Funktionen, also die AR- und die arc - Funktionen untersucht werden können. Im Fall der Hyperbelfünktionen erübrigt sich eine solche Untersuchung, denn wegen ihres Exponentialcharakters sind ihre Inversen stets durch natürliche Logarithmen darstellbar, auf welche Gleichung (81) anwendbar ist. Für die Arcusfunk¬ tionen folgen dagegen die Beziehungen Seite 248 1 -I _I D u ,arccosu =-= —(1 — u 2 ) 2 ,D u ,arc sinu = (l-u 2 ) 2 , sin cp v 7 v ' l + ut)cp ^ l-ut)cp D u ,arc tg u = i 2 ,D u ,arcctgu =-- l + u z l + u z was die metronischen Integraldarstellungen Sarc cosu = -S(l-u 2 ) 2 t)u,Sarc sinu = -S(l-u 2 ) 2 1)u, Sarc tg u = s l + U ^ty ~§u,Sarc ctg u = -S-— U ^*P ~g u 1 + u 2 1 + u 2 ermöglicht. Hieraus folgen unmittelbar die Komplementaritäten arc cos u + arc sin u = 0 und -g'u arc tg u - arc ctg u = 2 S-- , die ein Charakteristikum dieser Arcusfunktionen sind. 1 + u Nach dieser Beschreibung transzendenter metronischer Fu nk tionen wird es nunmehr möglich, eine Theorie der Selektorgleichungen zu entwickeln. Wenn irgendein Metrondifferential in der Form 1>x = cp mit X (n) = %, n und cp (n) = O , n vorgegeben ist, dann können die beiden metro¬ nischen Funktionen nach der Selektortheorie stets durch zwei Selektoren X (n) = x, n und cp (n) = ® , n dargestellt werden, welche den Verlauf beider Funktionen bestimmen. Damit wird aber aus 1)X = cp der Zusammenhang , n = O , n oder 1>x=® , derart, daß die Beziehung 1> X -0 = 0 einen metronisch-differentiellen Zusammenhang zwischen zwei Funktionalselektoren herstellt und zwar durch den Selektor ~§ . Alle metronischen Gleichungen die den Zusa mm en - hang zwischen Selektoren herstehen, werden daher als Selektorgleichungen bezeichnet und bilden das metronische Analogon zu den infinitesimalen Differential- oder Integralgleichungen, je nachdem, ob in der Selektorgleichung der Zusammenhang zwischen den Selektoren durch Metron- differentiale oder Metronintegrale hergestellt worden ist, oder ob die hier im Zusammenhang steh¬ enden Selektoren differentieller oder integraler Natur sind. In 1>X _ ® = 0 ist ® offenbar der Kern des Integralselektors x , denn die metronische Integration liefert, weil S '§x = X ist, X = S ®,() t)E mit E , n = n , das heißt, die Selektorgleichung 1>x-0 = 0 sagt aus, daß x ein Intergralselektor mit dem Selektorkern O ist. Die Gesamtheit aller Selektorgleichungen kann auf Grund der Definition des Selektors und der metronischen Operation klassifiziert werden. So wäre zunächst zwischen integralen, differentiellen Seite 249 und integrodifferentiellen Selektorgleichungen zu unterscheiden. Diese Hauptklassen wiederum können jeweils über nur einem Argument, also nur einer Folge von Metronenziffem definiert sein, oder aber über dem vieldimensionalen Argument. Wenn es gelingt, eine vieldimensionale Selektor- N gleichung mit 'S = ^ 1) k in eine Fassung zu bringen, in welcher nur totale Metrondifferentiale k=l Vorkommen, dann wäre trotz N > 1 eine totale Selektorgleichung erreicht, welche N = 1 ent¬ spricht. Da jede integrale und integrodifferentielle Selektorgleichung durch Bildung von Metron- differentialen höherer Ordnung in differentielle Fassungen gebracht werden können, genügt es, die differentiellen Selektorgleichungen zu untersuchen. Zunächst sollen dabei die vieldimensionalen partiellen Formen, welche die partiellen Metrondifferentiale 1>k enthalten, von der Untersuchung ausgeschlossen werden. Wie bei den infinitesimalen Differentialgleichungen hat man in der Gesamtheit totaler differentieller Selektorgleichungen zwischen homogenen und inhomogenen Formen zu unterscheiden. Jede dieser beiden Hauptgruppen wiederum umfaßt Selektorgleichungen verschiedenen Grades und verschiedener Ordnung, wobei unter dem Grad die höchste Potenz zu verstehen ist, in welcher ein Metrondifferential erscheint, während die in der Gleichung vorkom¬ mende höchste Ordnungszahl eines Metrondifferentials die Ordnung der Selektorgleichung angibt. Im einfachsten Fall handelt es sich um eine homogene Selektorgleichung 1. Grades und 1. Ord¬ nung, welche durch Bildung eines Metrondifferentials den Selektor y mit einem Selektor p in Zusammenhang setzt. Die allgemeine Form dieser Gleichung wäre Sy + yp = 0 . Die metro- nische Integration kann wegen —- = 'S ln y elementar durchgeführt werden. Ist X = S p,( ) ~Se y ein Integralselektor mit dem Kern p , dann gilt y = y 0 e' /: als Metronintegral dieser Selektorglei¬ chung. Wird 'S + p = C als ein neuer differentieller Funktionalselektor eingeführt, der wegen X = S p,() 1>E oder p = 1)X auch in die Fassung C = t)+t)X gebracht werden kann, dann wird die Selektorgleichung C , y = 0 mit der Form Sy + yp = 0 identisch. C , y = 0 hat als Metronintegral y = y 0 e x , wobei y 0 den Anfangsselektor darstellt, der so beschaffen ist, daß y 0 , n = const für alle n bleibt. Die totale differentielle Selektorgleichung ersten Grades und erster Ordnung wird inhomogen, wenn es einen weiteren vom Nullselektor verschiedenen Selektor q 7 ^ 0 gibt, welcher die homogene Form C , y = 0 inhomogenisiert, so daß C , y = q entsteht. Der Selektor C wirkt auf den Selektor y linear ein, so daß stets C , X = Z C und mit X = const auch C , X y = X C , y ist, d.h., für q = 0 ist jede Linearkombination homogener Lösungen y h = yo e" x eine weitere Lösung, so daß hierdurch die Gesamtheit aller homogenen Lösungen q = 0 erfaßt wird. Zugleich bedeutet diese Linearität von C aber auch, daß sich die Gesamtheit der inhomogenen Lösungen für q 7 ^ 0 aus der Gesamtheit der homogenen y h durch Addition eines partiellen Metronintegrals y; der inhomogenen Selektorgleichung C , y = q er- Seite 250 gibt, so daß für die Lösung der Selektor y = y; + yh gilt. Aus yh = yo e" x wird dann, wenn u als weiterer Selektor eingeführt wird, y, = u e' x , also Q = C,y ; = ~§(ue x ) + pue 1 = 1)ue 1 + u(1)e x +pe x )-1mt)e x = = '§üe“ x (p + l) + — C,y h ='§ue“ x (p + l) Yo oder u = S 6 ^ t)E p + 1 , weil C , y h = 0 , sowie t)e" x = e" x ~§X = -p e" x und 1>(uv) = u t\ + v t)u - tm t)v ist. Einsetzen liefert e * Q yi=e _x S—-j'S'E oder y = y.+y h =e -x S^'S'E + y,, p + 1 wenn E , n = n der Einheitsselektor ist. Durch diesen Vorgang wurde der Selektor y durch einen metronischen Integrationsprozess aus der inhomogenen linearen Selektorgleichung C , y = Q eliminiert. Dieses Prinzip der Lösung geht auf den linearen Charakter von C zurück und kann immer dann angewendet werden, wenn der Differentialselektor C einen linearen Bau hat, also den Linearitätskriterium C , X = X C und C , X y = X C , y genügt, also die Selektorgleichung vom ersten Grade ist. Da hieran eine Ordnungszahl N > 1 nichts ändert, und ~§° y = y ist, be¬ schreibt C , y = q die allgemeine inhomogene differentielle Selektorgleichung ersten Grades von der Ordnung N , wenn es N + 1 Selektoren p-y mit 0 < Y < N gibt, welche den Differential- n selektor in der Form C = ^p Y 1)' N ” 1 aufbaut, ln völliger Analogie zur infinitesimalen Theorie Y=o linearer Differentialgleichungen muß C , y = q der Ordnung N eine mit der Ordnungszahl identische Zahl von Lösungen y k mit 1 < k < N in Form von Integralselektoren haben. Ein Kri¬ terium dafür, daß die Integralselektoren y k tatsächlich die gesuchten Lösungen von C , y = q sind, ist das Kriterium des Determinantenselektors D . Dieser Selektor kann nämlich aus den In- Seite 251 tegralselektoren formals N -reihige Determinanten D = | l 1 y k | N definiert werden, der aber vom Nullselektor verschieden sein muß, denn in Analogie zur infinitesimalen Theorie sind die 1 < k < N Integralselektoren y k nur dann Lösungen von C , y = q , wenn D, n ^ 0 bleibt, was wiederum mit dem linearen Charakter von C zusammenhängt. Die Einzellösungen y k bil- N ( ) den schließlich eine Linearkombination y = ^a k ^-y k , welche mit den N Integrationskons- k=l ( ) tanten a k die Gesamtheit aller Lösungen von C , y = Q umfaßt. Zusammen mit der Definition des Integralselektors X , dessen Selektorkem O ist, wird dieser Sachverhalt in X = S( *0 (82) zusammengefaßt. Die allgemeinste Form einer totalen differentiellen Selektorgleichung wird durch einen Funktional¬ selektor bestimmt, der Metrondifferentiale bis zur Ordnung 1 < Y < N mit 1 < X < T Selek¬ toren py in Zusammenhang setzt, derart, daß Potenzen von den Graden 0 0 in einem R p als Element gegeben, dann werden diese Metronen durch die (p-1) -dimensionalen Hyperflächen x p = y(x i )j > begrenzt, welche mit einem Scharparameter t die Hyperflächenschar f (x^t)^ =0 in euklidischer Form in R p bilden, derart, daß die Bedingung des stetigen Anschlusses der p -dimensionalen Metronen x>0 erfüllt ist. Der zu jedem t -Wert auf diese Weise koordinierte R p muß dann hinsichtlich seines Volumens ein ganzzahliges Vielfaches von x sein, was eine ganzzahlige Koor¬ dinatenteilung der 1 < i < p Koordinaten Xi gemäß x, (n) zur Folge hat. Die ganzzahlige Folge n läuft dabei im metronischen Bereich 1 < n < N , während die p Raster x, (n) = x ( i) n als einfaches primitiv strukturiertes metronisches Tensorium bezeichnet werden. Ein solches ein¬ faches Tensorium ist also immer p -dimensional und wird von p Koordinaten x (i )n aufge- spannt, welche als metronische Raster zahlentheoretische Funktionen der ganzzahligen Metronen- ziffer Fall n sind. Im expliziten Fall ist dies wegen evident, doch muß im impliziten f(x i ,t)J > =0 der Parameter t eliminiert werden. Hierbei wird df=0 , also p r5f T — d Xj +fdt = 0 traxj df mit der partiellen Parameterableitung f = — verwendet. Dieses totale Differential gestattet dann di p immer EU, unter Elimination von t , so daß die Dimensionszahl p , und wegen i=l - P I n^dx, = nx die Rasteraufteilung X(i )n auch im impliziten Fall f=0 gewahrt bleibt. Alle CO i=l diese einfachen metronischen Tensorien sind euklidische Hyperflächen R p innerhalb eines R p +i, doch werden sie zu beliebigen metrischen Strukturen in diesem R p+ i = V , wenn der Scharpara¬ meter t als weitere Dimension t = z eingeführt wird. f(x i )j >+1 =0 mit z = x p +i ist dann die allgemeinste Form einer Hyperfläche im V deren Projektion auf eine der p -dimensionalen Koordinatenhyperebenen durch Identifikation der nicht in dieser Hyperebene enthaltenen Koor- Seite 253 dinate mit einem Parameter erfolgt. Dieser Parameter erscheint seinerseits in der Hyperebene als Scharparameter einer Schar von (p - 1) -dimensionalen Hyperflächen, die als Niveauflächen zu interpretieren sind. Ein solcher Scharparameter muß dann das metrische Verhalten einer p -di¬ mensionalen Struktur des V wiedergeben, welche in die gleichdimensionale Hyperebene pro¬ jiziert wurde. Werden diese Projektionsparameter mit % bezeichnet, dann folgt für die 1 < k < p Projektionen f k ( x i)J >+1 = r| k = const . Dieses System von p Hyperflächen, beschrieben im Xi -Bereich, kann auch auf den r| k -Bereich regulär abgebildet werden, wenn die f k eindeutig sind, so daß ihre Inversen F k existieren. Eine Inversion liefert x ; = F (r) k )J > , was wiederum eine Beschreibung von p Hyperflächen gleichkommt, die nunmehr aber auf einen r\ k -Bereich bezogen worden sind, während die x; nur noch die Eigenschaften von Parametern haben. Da immer die Möglichkeit besteht, die (p — 1) -dimensionale Hyperfläche x p (x : )|’ 1 = x p zu einer euklidischen Schar f (x ; , t)[ = 0 zu ergänzen, und da weiter mit t = x p +i diese Hyperflächen- schar zu einer beliebigen Hyperfläche f (x ; )j >+1 =0 im V wird, muß geschlossen werden, daß f = 0 wegen der Metronisierung des Volumens F = n x dieser Hyperfläche eine allgemeine metrische Strukturierung des einfachen metronischen Tensoriums beschreibt. Ist f = 0 ein metro- nisches Tensorium, so muß gefordert werden, daß die Grenze des metronischen Bereiches, also die höchstmögliche Metronenziffer, eine Invariante gegen Koordinatentransformationen r| k ist, wenn nicht bei einer Deformation der Hyperfläche Metronen entstehen oder vergehen sollen. Da aber Koordinatentransformationen nur Änderungen des Aspektes sind, und bloße Änderungen dieses Aspektes unmöglich eine derart fundamentale Konstante x des semantischen Iterators ändern können, ist diese Invarianz der Metronenziffer evident. Alle metronischen Funktionen cp (n) , deren metronisches Argument eindimensional ist, sind demnach geometrisch als Zustandsfunktionen interpretierbar, die jedem Element, also jedem Metron eines einfachen, durch n gekennzeichneten Tensoriums, einen metrischen Zustandswert cp zuordnet, der sich unstet mit den Metronenziffem n ändert. Dieser Begriff der metronischen Funktion und des einfachen metronischen Bereiches muß neben der metrischen noch eine dimen¬ sioneile Erweiterung erfahren, denn jede metronische Funktion ist als zahlentheoretische Funktion ganzzahliger Indizes immer als Zahlenfolge interpretierbar, doch gibt es neben den einfachen Folgen L = 1 auch mehrfache Zahlenfolgen L > 1 und demzufolge metronische Funktionen cp(n i )J J , die von L metronischen Argumenten n, abhängen. Jede Folge n, des Argumentes aber kennzeichnet eine Folge von Metronen, also ein einfaches metronisches Tensorium Seite 254 n i -(^(i)k )k = i , weil von x die Dimensionszahl p ist. Auch sind die ^( i)k immer geodätische Koordinaten des betreffenden Tensoriums n, , weil nach dem Fundamentalsatz der Metronen- theorie alle Metronen geodätisch begrenzt sind und dem Prinzip des stetigen Anschlusses genügen. Diese geodätischen Koordinaten bilden nach dem Vorangegangenen grundsätzlich ein geodätisches metronisches Gitter (n,) , was wegen x > 0 nur von der ganzzahligen Metronenziffer ni des einfachen Tensoriums bestimmt wird. Demnach besteht die Möglichkeit, da jede Folge n, des L -dimensionalen metronischen Argumentes ein einfaches Tensorium darstellt, cp(ni)^ = cp((£, (l)k )k=i)^ zu setzen, was nach Einführung eines allgemeinen Koordinatensystems, geometrisch zu der Darstellung cp(n;)^ =cp(x k )J pL führt. Diese pL Koordinaten x k können aber unmöglich alle voneinander unabhängig sein, d.h. p L ist trotz der formalen Übereinstim¬ mung mit Gleichung (65) im Allgemeinen nicht mit der Dimensionszahl N des R N identisch, in welchem das L -fache metronische Tensorium geometrisch dargestellt werden kann. Jeder Folge 1 < i < L Metronenziffem entspricht dabei ein R p als ein einfaches metronisches Tensorium, d.h. der das L -fache Tensorium darstellende R N muß hinsichtlich N so beschaffen sein, daß in ihm L voneinander unabhängige R p enthalten sein können. Die Bedingung hierfür lautet aber L = j . Diese Beziehung ist eine Auswahlregel für L > 1 , denn für N gilt die Auswahl¬ regel (65). Das L -fache metronische Argument von cp ist durch seine Diskontinuität charakterisiert, und diese metronische Diskontinuität muß auch den R N kennzeichnen, in welchem die metrische Darstellung des L -fachen Argumentes von cp(n i )|' erfolgt. Insbeson¬ dere muß eine Volumendiskontinuität im R N vorliegen, aus welcher sich die Auswahlregel N = p M der Gleichung (65) ergeben hat. Substitution in L = j liefert dann das Auswahlprinzip für die Zahl L der im R n möglichen einfachen metronischen Tensorien, nämlich L = j , so daß die metrische Darstellung des L -fachen metronischen Tensoriums im R N stets auf (83) zurückgeht. Ein allgemeines metronisches Feld cpfn,)'" über dem L -fachen Tensorium ist also immer eine metronische Zustandsfunktion, die jedem Element des darstellenden R N mit N = p M einen metronischen Zustandswert zuordnet, derart, daß der R N zur Hyperfläche eines Seite 255 Rn+i wird, denn cp = 0 kein infinitesimales Kontinuum, sondern eine diskontinuierliche metrische Struktur, deren Diskontinuität durch die metronische Selektion eines semantischen Iterators bestimmt wird. Der Übergang vom metrischen Kontinuum 2 g (x k ^ 2 g x zum diskontinuierlichen metrischen Tensorium hat also zunächst in einem Übergang von der infini¬ tesimalen Differentialform der Metrik ds 2 = g lk dx 1 dx k zur Differenzform As 2 = gik Ax 1 Ax k zu bestehen, und hierin ist die Existenz von x > 0 zu berücksichtigen. Die Metrik As 2 beschreibt eine Flächendifferenz, die aber gegen Koordinatentransformationen stets invariant bleiben muß, und für deren untere Schranke daher lim As 2 = (1>s) 2 = f (p,x) gilt, derart, daß für p = 2 stets f=x wird. Es kann immer angenommen werden, daß die Xi die Koordinaten des strukturlosen o_ o — O / \ bj" Rn mit g = E sind, auf den die Struktur gj x 1 bezogen wird. Dies bedeutet aber, daß die Seite 256 charakteristischen x; ein orthogonales metronisches Gitter äquidistanter geodätischer Geraden hinsichtlich des Bezugsraumes bilden. Hieraus folgt ^ x i = E x i = «iE ^ n , = «i • k=l k=l Weiteristauch 'Sx 1 = a 1 und a, = X, \fx und a L =X L \fz , und die Faktoren Ax 1 Ax k sind die Projektionen von As 2 , was wegen lim As 2 = (t)s) 2 auch limAx^x- = ~§x' ~§x k = X 1 X k bedeutet. Diese metronischen Beziehungen können in die aus lim As 2 = lim g lk Ax 1 Ax k folgende metronische Metrik f§s) 2 = g lk "Sx 1 öx k eingesetzt werden, was mit der durch x und p bestimmten Konstante a (p, x) = Vt f (p, x) die Beziehung X 1 X k g ik = a liefert. Hierin ist a so beschaffen, daß a(2,x)=l wegen f=x für p = 2 ist. Andererseits sind die metrischen Größen g lk = g lk ( x ' )^ insgesamt N 2 Tensorkomponenten, weil 2 g^ 2 g x ist. Dieser metri¬ sche Fundamentaltensor aber kennzeichnet die metrischen Eigenschaften des metronischen Ten- soriums und muß daher selbst eine tensorielle metronische Funktion sein, die von L Folgen von ry _ / 1 \ r\ _ / \ Metronenziffem ni mit 1<1 () X 1 X k (y 1 xy k ) + -2a^ = 0 yv AX zusammengefaßt, wobei immer X = X symmetrisch ist, weil die Elemente die kommutativen Produkte von Zahlenfaktoren sind. Durch die Gleichungen (83) bis (84a) werden alle metrischen Eigenschaften eines primitiv strukturierten metronischen Tensoriums im R N wiedergegeben. Der metronischen Beschreibung im L -fachen Tensorium ist offensichtlich die geometrische Dar¬ stellung im R n völlig äquivalent. Diese Darstellung im R N kann daher stets für metrische Untersuchungen verwendet werden, zumal wegen 2 g ^ 2 g x die gleichen Beziehungen gelten wie im kontinuierlichen R n bei nichtselektiven semantischen Iteratoren, doch muß i mm er berück¬ sichtigt werden, daß die Koordinaten im R N zahlentheoretische Funktionen sind, die sich nicht stetig ändern. Nach der Forderung des stetigen Anschlusses aller Metronen, können die Metronen eines einfachen Tensoriums nur von geodätischen Linien begrenzt werden. Im R N gibt es unter allen nach (84a) zugelassenen Koordinatensystemen ein System geodätischer Koordinaten. Die x k x 1 =0 im nichtgeodätischen System x k beschrieben. Sind die geodätisch, dann gilt = 0 , oder j ^ | j = 0 , was soviel wie 2 g = 2 ä = const bedeutet. Der metrische Fundamentaltensor liefert dann für alle n gemäß 2 y; n 2 ä einen konstanten Wert. Für eine Volumendifferenz gilt im R N mit 2 g * 2 g x ^ 2 E bezogen auf die für 2 g = 2 E geo- n dätischen Koordinaten x k die Beziehung, AV = w]^[ Ax k , wenn w 2 = | g | und g = | g| N k=l ist. Metronisch ist immer lim A x k = ~8x~ = a~ = X~ Vt , also geodätischen Linien werden immer durch x 1 + l kl limAV = 'S'V = limwf[Ax k =wVr F nX k . k=l k=l N Weil nach der Auswahlregel (65) aber N = p M ist, und Hx k = X = const in jedem Fall k=l gesetzt werden kann, gilt für das metronische Volumenelement des R N , wenn dieser Raum mit p -dimensionalen Metronen x > 0 und p < N = p M metronisiert wurde, "SV = X x M w , d.h. Seite 259 1) V ist eine von der metrischen Determinante abhängige Funktion. Mit y; n = | 2 y | n ; n = w 2 folgt also für das integrale Volumen des Tensoriums N y;n = | 2 y | N ;n = w 2 , w = W;n, V = h M SW;n!n, X = . (85) k=l Wird auf das metronische Gitter geodätischer Koordinaten transformiert, dann wird 2 y;n = const und damit auch W;n = const , was in Gleichung (85) eingesetzt V~nx M zur Folge hat. In diesem Fall wird das V zum ganzzahligen Vielfachen der konstanten Elementar- N zelle o V ~ n x M mit M = — , wobei die Eigenschaften des R N in dem Proportionalitäts- P faktor enthalten ist. Nur im euklidischen Fall 2 g = 2 E nimmt dieser Faktor den Wert 1 an, so daß hier 1) V = x M oder ~§Y = x für p = N wird. Die auf diese Weise beschriebenen L -fachen metronischen Tensorien im metrischen R N sind noch der Einschränkung der primitiven Strukturierung unterworfen, d.h., die L einfachen Tensorien bestehen jeweils nur aus einer Folge von Metronen, die nach der Forderung des stetigen Anschlusses einander angepaßt sind. Auch im Fall eines nichteuklidischen R p besteht das einfache primitiv strukturierte Tensorium nur aus einer Folge geodätisch begrenzter Metronen in Form eines geodätischen Hyperflächenstreifens. Bei tatsächlichen Tensorien müssen dagegen Hyperstrukturen vorliegen, derart, daß die einfachen Tensorien Scheinstrukturen in Form metro- nischer Gitter aufweisen, welche durch geodätische Netze (die durch die metrische Struktur bestimmt sind) begrenzt werden. Eine diesbezügliche Erweiterung des Begriffes vom metronischen Tensorium ist daher noch im Rahmen der Metronentheorie durchzuführen. Seite 260 8.6. Metronische Hyperstrukturen und Metronisierungsverfahren Das im Vorangegangenen untersuchte L Rn mit N = p M insgesamt L = j beliebigen metrischen Struktur 2 g ^ 2 g x -fache metronische Tensorium, welches metrisch im voneinander unabhängige R p aufspannt, ist trotz seiner im R n primitiv strukturiert, denn die L einfachen Tensorien R p bestehen nur aus einfachen geodätisch begrenzten Metronenfolgen, und bilden daher nur einfache geodätische Hyperflächenstreifen. Tatsächlich können aber in einem R N die metronischen Tensorien niemals einfache Metronenfolgen sein, wenn der ganze R N , der Voraus¬ setzung ensprechend, vollständig metronisiert sein soll. Es muß vielmehr eine Summe solcher einfacher Folgen einen Bereich R p ausfüllen, derart, daß jedes Tensorium R p , also jede Metronenziffer n; mit 1 < i < L eine p -fache Metronenfolge sein muß, was der p -Dimen- sionalität entspricht. Wenn also in einer Abstraktion die Begriffsbildung des primitiv strukturierten Tensoriums erweitert wird, dann erscheint jedes beliebig erstreckte einfache Tensorium R p des Rn in Form einer metronischen Feinstruktur als metronisches Gitter. Zugleich ist der R N im all¬ gemeinsten Fall aber noch einer metrischen Strukturierung unterworfen, welche das metrische Verfahren eines jeden R p bestimmt. Nach der Forderung des stetigen Anschlusses aller Metronen müssen daher die Einzelelemente x eines jeden R p durch geodätische Linien begrenzt werden, derart, daß eine geodätische metrische Netzstruktur als Ausdruck des metrischen Verhaltens die metronische Feinstruktur eines jeden R p im R N trägt. Auf diese Weise erhält das metronische Tensorium eine metronische Hyperstruktur im R N , welche die allgemein gültigste Fassung des Begriffes eines metronischen Tensoriums darstellt. Zunächst werde das Verhalten eines R p mit Hyperstruktur untersucht. Dimensioneil sind in dieser einfachen metronischen Hyperstruktur M = 1 , also N = p und L = 1 . Für M > 1 ist nach Gleichung (85) immer SV = a x M mit dem metrischen Faktor a . Ist aber M = 1 , so muß grundsätzlich der Orientierung entsprechend SV = ± x , also a = ± 1 sein, denn x > 0 muß wegen seiner Eigenschaft eine universelle Konstante des semantischen Iterators sein und gegen jede metrische Deformation und jede Koordinatentransformation invariant bleiben, denn anderenfalls wäre x keine Konstante dieser Art, was aber im Widerspruch mit der Televarianzvoraussetzung steht, a = ± 1 ist aber nur für M = 1 eine vom metrischen Verhalten unabhängige Eigenschaft, denn für alle M > 1 kann a ^ ± 1 bleiben und wird von der metrischen Struktur bestimmt. Wird zum Beispiel aus dem R N mit M>1 in den R N i projiziert, dann gilt SV' = a' x M im R n und S V = a x p in der Projektion, also SV Sv . Andererseits gilt aber sv Sv = Sx , wenn x die bei der Projektion verlorengegangene Koordinate ist. Für ihr metronisches Element Seite 261 kann aber immer 1) x = X x Vt mit | X x | = 1 angenommen werden, was im Vergleich a' = aX x liefert. Da in den metrischen Größen nach Gleichung (85) immer co enthalten ist und a für die Projektion gilt, muß auch w' = w sein. Im euklidischen Fall wird w' = ± 1 erreicht, doch gilt offenbar a' = w' = ± 1 i mm er dann, wenn darüberhinaus noch M = 1 , also N = p angenom¬ men wird. Mit M = 1 wird also der R p und damit der R N zu einer einfachen metronischen Hyperstruktur, weil nunmehr parallele primitiv strukturierte Tensorien den ganzen R p = R N wegen p = N ausfüllen. Wie auch immer die metrische Beschaffenheit dieser einfachen Hyper¬ strukturen ist, für ihre metronischen Elemente muß grundsätzlich “SV = x wegen der metroni¬ schen Invarianz und a = ± 1 gelten. Alle diese Metronen müssen jedoch geodätisch begrenzt sein, so daß ein geodätisches Gitter den R p metrisch bestimmt. Zur Analyse einer allgemeinen Hyper¬ struktur M > 1 wird zunächst eine Präzisierung des Feinstrukturbegriffes der L einfachen Tensorien R p notwendig, die den R N aufbauen. Wegen der p -Dimensionalität eines jeden R p wäre also die Feinstruktur dadurch gekennzeichnet, daß die Metronenziffem n; nicht einfache Zahlenfolgen sind, sondern jeweils p -fache Folgen bilden, das heißt, jede Folge n, ist zu einer zahlentheoretischen Fu nk tion zu ergänzen, welche von p ganzzahligen Indizes k[^ > 1 mit l abhängen, so daß jedes Metron im R p durch p ganze Zahlen kj 1 * festgelegt wird. Dieses Zuordnungsgesetz n, innerhalb der einfachen Hyperstrukturen i des Rn (allgemeine Hyperstruktur) wird im wesentlichen durch den Definitionsbereich p 1 ,' 1 < k 1 ,' 1 < Q 1 ,' 1 dieser Feinstrukturziffern, also die metrische Begrenzung der einfachen Hyper¬ struktur i im zugehörigen R p bestimmt. Nach der Selektortheorie könnte also n i (kj l *)j’ = c, ;n durch einen Selektor, den sogenannten Feinstrukturselektor, c, = c i (X ( l ' l )f ausgedrückt werden, der auf jeden Fall ein kombinierter Funktionalselektor ist, dessen p -dimensionales Selektor¬ argument X ( j* immer p Koordinationsselektoren enthalten muß, weil die kj 1 * unabhängig voneinander die ganzen Zahlen ihrer Definitionsbereiche p^ < k*,'* < Q 1 ,'* durchlaufen. Mit diesem Feinstrukturselektor erfährt der Begriff des metronischen Feldes cp(n ; eine Erweite¬ rung, denn es gibt (p(n i = rp(C;, n = (D ;n mit dem kombinierten Funktionalselektor ® = d> (K k )° , wobei die G ^ L Funktionalselektoren ( G = L ist auch möglich), die L Feinstrukturselektoren c, enthalten. Die Feinstrukturen der einfachen Tensorien R p einer L -fachen Hyperstruktur im R N werden demnach beschrieben durch Seite 262 ( 86 ) n ; (kj l} ^ = C;; n, p ( / } < k ( , l} < , c ; = c ; (x ( / } ^ , X® ; n = k^ , 1 Strukturtensoren, dann bleibt das Gesetz N = 2 co auch für x > 0 gültig, weil diese Dimensionsbeziehungen von der inneren Beschaffenheit des Tensoriums nicht abhängt, sondern allein auf die Eigenschaft der Infinitesimalmetrik zurückgeht, eine homogene quadratische Differentialform zu sein. Die metronische Metrik ist aber ebenfalls eine solche quadratische Form, woraus unmittelbar folgt, daß N = 2 co auch für metronische Strukturkaskaden gilt. Die metrische Struktur R N bedingt die Begrenzung seiner metronischen Elemente, denn nach der Forderung des stetigen Metronenanschlusses müssen die metronischen Elemente geodätisch begrenzt werden. Für die Gleichungen aller geodätischen Linien gilt aber in der Parameterdarstellung x 1 + j ^ j j x-x 1 = 0 mit 1 < i,k,l < N im Kompositionsfeld des R N und diese geodätischen Linien bilden das metrische Netz, dessen die Metronen begrenzende Linien das metronische Gitter des R N aufspannen und seine Hyperstruktur bestimmen. Werden die x k einer regulären Transformation x-^ 1 ) unterworfen, derart, daß im q -System | i= 0 , also | k ',} = 0 und daher 2 g = const wird, dann wird dieses -System vom metrischen Netz der geodätischen Linien gebildet, so daß die metronische Hyperstruktur des R N auf dieses System bezogen werden kann. Wird dieses System geodätischer Koordinaten zugrunde gelegt, so kommt es wegen der metronischen Gesamtstruktur zu einem Auswahlprinzip, das heißt, das Koordinate nk ontinuum wird zu einem nicht mehr infinitesimalen metronischen Gitter, weil in den einzelnen R p der Wert x nicht unterschritten werden kann. Dies bedeutet aber, daß die Seite 263 1 < k < N Koordinaten £, k selbst metronische Funktionen 4" = ( n i)[” werden, die durch die L Feinstrukturselektoren bestimmt sind, so daß die selber durch kombinierte Funktional¬ selektoren X k , die sogenannten kontravarianten Hyperstrukturselektoren, ausgedrückt werden können. Offensichtlich finden diese Hyperstrukturselektoren ihren Ausdruck in den Feinstruktur¬ selektoren und in dem metrischen Fundamentalselektor des Tensoriums (der auch die c enthalten muß), wie auch die Hyperstruktur selbst durch die Feinstruktur und die metrische Struktur bestimmt wird. Die metronische Hyperstruktur eines L -fachen metronischen Tensoriums im R N wird beschrieben durch 2 y;n = const, ^ k =X k ;n, l aß ;n gemäß 2 F aß = ROT N cp aß ausdrückbar sein. Da 1 < j < »also l<(a,ß)

;n , also im Vergleich s = ROT n . Jeder Rotor, also auch der metronische, muß aber als ein Spin aufgefaßt werden, Seite 265 so daß s als das Schema der Spinselektoren 2 s aß ;n = 2 F aß des einfachen Tensoriums R P aus der L -fachen Hyperstruktur zu interpretieren ist. Die vektoriellen Spinfeldfunktionen 0 in einfachen Tensorien R p hinweisen, dann muß der semantische Iterator der Fundamentalsyntrizen zu einer selektiven Form erweitert werden, weil die Existenz von x > 0 die Televarianzbedingung des betreffenden Metroplexkombinates erfüllt. Eine derartige Erweiterung entspricht einer metronischen Revision aller synkolativen Strukturfeldbeziehungen in den Syndromen der Funda¬ mentalsyntrizen. Der Weg einer solchen Metronisierung läuft zunächst über eine Metronisierung der metronischen Gleichungen aller synkolativen Strukturfelder, so daß anschließend aus diesen metronisierten Feldbeziehungen die Fundamentalsyntrizen mit einem metronisch revidierten, also selektiven semantischen Iterator zusammengestellt werden können. Der primäre Schritt besteht also Seite 266 immer in einer Metronisierung von Strukturfeldgleichungen, oder allgemeiner von irgendwelchen Feldgleichungen. Das Metronisierungsverfahren selbst kann dann in einzelnen Schritten durchge- führt werden, doch muß das ganze Verfahren von den aus der Zusatzinformation stammenden Größe p des Tensoriums R p und x ausgehen. Schritt a: Zunächst wird untersucht, ob die Dimensionsbeziehung N' = 2 co' der Strukturkaskade der Auswahlregel oo' = “PM genügt, wenn M ganzzahlig ist. Ist dies nicht der Fall, dann muß co' auf co > co' erweitert werden, was aber einer Erhöhung der Dimensionszahl des Tensoriums von N' auf N > N' gleichkommt. Wird eine solche Erhöhung nötig, dann müssen die N — N' zusätzlichen Dimensionen, sowie die co - co' zusätzlichen Partialkompositionen interpretiert werden. Eine solche Interpretation könnte zwar umgangen werden, wenn co' = ^-pM durch eine Verminderung der Zahlen co' und N' erreicht wird, doch würde eine derartige Einschränkung die Zahl der ursprünglichen vorgegebenen quantitativen Informationen reduzieren, was aber eine Einschränkung des Aussagewertes des ganzen Syntrizensystems zur Folge haben muß. Nach dieser, den semantischen Iterator erweiternden Dimensionsuntersuchung des R N muß noch die semantische Dimensionierung aller Koordinaten der Unterräume R p derjenigen von x angepaßt werden, die durch x > 0 vorgegeben ist. Eine solche Generalisierung der Koordinate durch lineare Eichtransformationen mit konstanten Dimensionierungsfaktoren kann stets als Zusatzbedingung neben N und x in den semantischen Iterator im Ra hm en der metronischen Revision aufgenommen werden. Schritt b: Aus den Zahlen p und x sowie N und den Kennziffern X k der vom Iterator ausgewählten singulären Metrophorelementen können nach Gleichung (86b) alle Gitterselektoren des leeren, also strukturlosen, Bezugsraumes R N aufgebaut werden. Alle diese Gitterselektoren sind aber als die metronischen Bestandteile des semantischen Iterators aufzufassen, so daß mit diesen Gitterselektoren die Erweiterung zum selektiven Iterator abgeschlossen ist. Die Metroni¬ sierung des leeren Bezugsraumes ist jedoch erst dann abgeschlossen, wenn nach Gleichung (87) das Schema der Spinfeldselektoren aufgeschlossen worden ist, das heißt, wenn die metronischen Spinmatritzen s und x bekannt sind. Bei der Aufstellung dieser antisymmetrischen Matrizen ist zu berücksichtigen, daß im strukturlosen Fall Hyper- und Gitterselektoren identisch werden, und daher die Metronen durch gerade orthogonale Gitterlinien begrenzt werden, so daß jede metronische Volumenzelle eines einfachen Tensoriums durch 2|^j = p(p-l) spinorientierte Flächen R 2 begrenzt werden, die in ihrer Gesamtheit die der Hyperstruktur überlagerte metronische Spinorientierung bestimmen. Seite 267 Schritt c: In diesem Schritt hat die Bestimmung der metrischen Struktur des R N zu erfolgen. Die 1 < k < N Koordinaten y k des R N erhalten ihre Orientierung e k derart, daß N d's = ^ e k dy k möglich wird, was zur infinitesimalen Metrik k=l ds 2 = £ e k d y, d y k i,k=l / • \N gebildet werden kann. Hierin werden die y k = y k (x- J | auf kartesische Kontravariante x L transformiert und das Verhalten von (e ; e k ) untersucht, was ds 2 = g ik dx i dx- , also g(x-) bezogen auf die x- liefert. Ist auf diese Weise g des R N bekannt, dann können aus den l 0 Koordinaten der L einfache Tensorien R^ mit den Metronziffem n, wegen lN für N>p im R N bereits durch die N Gitterselektoren nach (86b) eliminiert wurde. Werden trotzdem diese L Feinstrukturselektoren d als Funktional¬ selektoren der p -dimensionalen Subraster benötigt, so können sie durch ein Metronintegral ebenfalls auf die N Gitterselektoren zurückgeführt werden. Hierzu wird der Definitionsbereich Q n von 2 y;n auf die einfachen Tensorien R p projiziert, was für N>p stets möglich ist (die R p sind hier Unterräume) und als Projektionen die Bereiche Q ., in diesen Unterräumen liefert. Nach der stetigen Anschlußbedingung aller x werden die Metronen geodätisch durch die des betreffenden R*,' 1 begrenzt, so daß für eine Volumendifferenz Av i=n^( i )=in^(i) 1=1 AV: 1=1 folgt. Die Metronisierung führt zu lim A V, = "SV; und die Metronenbedingung fordert in allen . p einfachen Tensorien t) V, = x . Einsetzen dieser metronischen Limesrelation ergibt J1 = T T 1=1 und diese Beziehung kann metronisch längs 0 < Y < ni integriert werden. Einerseits gilt n i S Y=o T 1=1 ) P 1 und andererseits SJn d ^=SxSY = *„i also = T 1—1 in. Seite 269 weil die Metronenziffem Y die ganze Projektion G, durchlaufen. Es ist weiter ^=X^;n und X^X^C*)" also v 1 (^)!’ =v '(c k ;n)r= I i;n, wobei der Volumenselektor Fi wiederum ein Funktionalselektor der C k ist. In Fi;n = xni ist die Metronenziffer n i =n i |^k^j durch das p -dimensionale Subraster k^ bestimmt, dessen ganze Zahlen durch Koordinationsselektoren k^ = ( ; n darstellbar sind, so daß n, = c,; n durch den Feinstrukturselektor ausdrückbar ist, der immer als Funktionalselektor von p Koordi¬ nationsselektoren erscheint. Einsetzen in Fi; n = x ni liefert dann eine Reduktion der Feinstruktur¬ selektoren auf Gitterselektoren, nämlich >>=jjnw l^L>N, tc,(( )p,)'=F,( Cl f, X 1-1 ( 88 ) womit die Metronisierung des R N vollständig durchgeführt worden ist, denn alle, die Hyper¬ struktur bestimmenden Selektoren Ym sowie X 1 und c, mit 1 < (k,l) < N und 1 < i < L konnten nach c und d explizit durch die Gitterselektoren C k ausgedrückt werden, die aber unmittelbar alle Eigenschaften des selektiven semantischen Iterators enthalten. Wenn die Projek¬ tionen Q i soweit bekannt sind, daß die Intervallgrenzen aller Gitterlinien der Hyperstruktur, nämlich p^ < ^ < Q ( t ( in dem betreffenden Unterraum R^ festliegen, dann kann das Metron- integral Fj; n durchgeführt werden, denn wegen des stetigen geodätischen Anschlusses aller b c c Metronen wird auch für das infinitesimale Gebietsintegral das Additionstheorem J + J = J an- a b a wendbar, was zur Lösung , p r x 1=1 a, 1=1 führt. Seite 270 Schritt e: Nach dem Vorangegangenen kann mit den Gitterselektoren jede Art von Feldgleichun¬ gen im R n , also in der metronischen Hyperstruktur, metronisiert werden, was darauf hinaus- / k \N läuft, daß alle Bestimmungsstücke der Feldgleichungen zu Selektoren werden. Ist

;n zum Feldselektor ® (c k ) N ■ Auch die infinitesimalen Operationen der Differentiation und Inte¬ gration werden mit dem Gitterselektor zu metronischen Operationen. So folgt für die partielle Differentiation das Korrelat 0(p öx* ;n mit ~§C~ = ^ 'S i C~ und 'S'i n 1 = 5 ü , i=i so daß sich für das totale Differential die Korrelation k=l ;n ergibt. Ganz entsprechend folgt für die Integration Jcpd\|/ —> SO;n^\|/ wenn \\i irgendeine andere Funktion des R N ist. Die Anwendung des Metronisierungsverfahrens auf beliebige Feldgleichungen wird demnach beschrieben durch Seite 271 (88a) cp(x-) t N ^Ojn, dtp ÖX- "SG- f N ;n, dcp = 'N I «(C.)® VH 1 ’ J ;n, ^C k =2^iC k , t^n 1 = 8j,, J(pdy->S 0 grundsätzlich definiert ist, müssen die, den R N induzierenden semantischen Iteratoren der Basis¬ syntropoden selektiv sein. Aus diesem Grunde erscheint es angebracht, die infinitesimale Theorie der Strukturkaskaden zu metronisieren, wobei es genügt, den Formalismus der elementaren Strukturkaskade diesem Prozess zu unterwerfen. Seite 272 8.7. Strukturkondensationen elementarer Kaskaden Es sei eine elementare Strukturkaskade im R N gegeben, die aus 1 < Y < cd Partialstrukturen g^^x-J^ * g (A/) besteht und welche zu einem Kompositionsfeld g^ g^J ^ g kompo¬ nieren. Zunächst werde dieses Kompositionsfeld analysiert. Sind die die im allgemeinen nichtorthogonalen geodätischen Koordinaten, dann gilt für die Infinitesimalmetrik N _ _ NN Z = Z Z l,m=l l,m=l i,k=l dx 1 dx- dx k dx k = g ik dx i dx k N mit gik = X l,m=l öx 1 öx k , was aber mit Hilfe der bekannten Gitterselektoren C k = a k ( ) k in x k = C k ; 11 und a k = a k = X k Vt metronisiert werden kann, wenn für die Hyperselektoren v|/ k ; n = ^ gesetzt wird. Wegen 2 g = 2 y;n wird also nach dem Metronisierungsverfahren «i a k Yik = X ^kVm = % l,m=l N weil \j7 = X Vs stets gilt. Dieser Ausdruck wiederum führt eindeutig zu dem linearen Theorem S=1 a k y k = , denn stets kann 2 y = yxy durch einen vektoriellen Selektor Y dargestellt werden, für dessen skalare Komponenten (y ; x Yk )+ ^ 0 gilt» wenn 2 y ^ 2 y x ist. Aus dem Theorem 1) k vj/ = a k y k kann der Hyperselektor \j/ durch eine metronische Integration gewonnen werden. Zunächst muß dabei in Betracht gezogen werden, daß, wenn 'S' i n k = 5 ik ist, auch ^,n k = 5 ik sein muß, was zu ^ k n k =X^n k =^n k i=i führt. Da t) k n k = 1 ist, muß also auch t)n k =l sein, das heißt Seite 273 a kYk=a k y k ;( )£n k . Wegen x k = a k n k des leeren Bezugsraumes und a k t)n k = tix k kann also das Theorem immer in N der Form t) k xji = y k ;( )1)x k geschrieben werden. Summation liefert ^ = ~§\\i , also i=l i=l Hierin können die vektoriellen Selektoren y k immer als Zeilen- oder Spaltenvektoren eines Matrixselektors X aufgefaßt werden, so daß die Summation in der Form Xy k ;( )'§'x k = x;( )1>x i=l durchgeführt werden. Dabei ist X vom quadratischen Typ und gegen alle zugelassenen eindeu¬ tigen regulären Transformationen invariant, das heißt, X = 2 X ist ein tensorieller Selektor. Für den Hyperselektor gilt demnach die Metrondifferentialgleichung ö'vj/ = 2 X;( )1tx , die wegen \j7 = S ^xj/ auch als Metronintegral vj7 = S 2 X;( )1)x geschrieben werden kann. Der Hypersele¬ ktor der metronischen Hyperstruktur des Kompositionsfeldes erweist sich demnach als metro- nischer Integralselektor mit dem Kern 2 X , der wegen dieser Eigenschaft als Gitterkern bezei¬ chnet werden soll. Da dieser Gitterkem ein tensorieller Selektor ist, dessen Zeilen- oder Spaltenvek¬ toren die Vektorselektoren y k von 2 y sind, muß die Iteration des Gitterkems im zweiten Grad mit dem Fundamentalselektor identisch sein, das heißt, es gilt 2 y=sp 2 Xx 2 X . Aus diesem Sach¬ verhalt ergibt sich unmittelbar der Zusammenhang zwischen den beiden Darstellungsmöglichkeiten 2 y = y x y und 2 y = sp 2 Xx 2 X des Fundamentalselektors. Nimmt man 2 X = 2 X + + 2 X_ ^ 2 X x an, und wird neben dieser Spaltung 2 y = sp 2 X x 2 X berücksichtigt, dann folgt Seite 274 N ^Y-ik — Yik Yki — in ^-nk H=1 das heißt, es ist entweder 2 X + = 2 0 oder 2 X_ = 2 0 , wenn 2 y= 2 y x ist, da immer 2 X^ 2 0 bleiben muß. Der Hyperselektor kennzeichnet den metrischen Zustand des metronisch strukturier¬ ten R n in Bezug auf den leeren R N(0 ) .Nach \j/=S 2 X;( )1)x ist \jr = ±\j7 x , wenn 2 X = 2 X ± verwendet wird, weil 'f>x = ~§x x gefordert werden muß. Ist dagegen 2y +ik 2 i( X «Y X .W +X -iY :e -*) = 0 > also 2 y = 2 y_ , dann muß stets 2 x + = 2 0 sein, was 2 X = 2 0 bedeuten würde, und dies steht im Widerspruch mit 2 y^ 2 0 , so daß 2 y = 2 y_ grundsätzlich ausgeschlossen ist. In 2 y muß also immer 2 y + ^ 2 0 sein, während 2 y nicht allein existieren kann. Diese Theoreme werden zusammengefaßt in \|/ = S 2 X;( )'S'x, 2 y = sp 2 Xx 2 X, ^ 2 0, \|/;n = ^x = ^e k C- k=l (89) Eine ganz analoge Untersuchung kann für die Partialstrukturen angestellt werden. Ist nämlich 2 g = 2 y;n , dann muß diese Selektorfassung wegen ’g ( 2 g w )" = 2 g( 2 y m ;n)" = ! r( : ;n für die Partialstrukturen 2 g^ = 2 y ( , () ; n ebenfalls durch die Gitterselektoren bestimmt sein. In jeder der co Partialstrukturen muß eine Metrik möglich sein, denn nach Einwirkung einer (co - 1) -gliedrigen metrischen Siebkette S(j)“ 1 auf das Kompositionsfeld bleibt gemäß Seite 275 nur eine Partialstruktur übrig. Aus der Existenz dieser metronisierbaren Metrik ( ds m) = g^ ik dx 1 dx k folgt dann mit den Hyperselektoren ^ = v|/^; n der betreffenden Par¬ tialstruktur ein der Gleichung (89) analoges metronisches Integraltheorem, nämlich V(Y) -S 2 ^y)’( )"^ x mit dem Bildungsgesetz 2 y^) = S P 2 ^(y) X 2 * m . Da hier der Gitterkem von Y zweifach auftritt, erscheint die Kennzeichnung des zugehörigen Fundamentaltensors durch den Doppelsuffix 2— _ 2— 2 — Y(Y) = Y(yy) zweckmäßig. Alle Partialstrukturen werden also von co Gitterkemen X^ auf¬ gebaut, so daß für das Kompositionsgesetz 2 Y ( 2 Y(yy) ) = 2 Y ( 2 ^y) ) gesetzt werden kann. Durch die Einwirkung der metrischen Siebkette ergibt sich demnach zu Gleichung (89) die Ergänzung y w =S 2 X m ;()tx, 2 y (YY) =sp 2 X (Y) x 2 X (Y) , 2 Y^n = 2 g (Y) (x 1 )* , _ \ 00 2 ^( Y )) 1 > N = 2ö) , (89a) welche der Metronisierung der Partialstrukturen Rechnung trägt. Die Bildung von 2 Y(yy) = S P 2 ^(Y) x 2% (f) au f Grund der Metronisierung ermöglicht eine Vertiefung des Begriffes vom Fundamentalselektor der Partialstruktur, denn es ist grundsätzlich die Bildung sp 2 X^ x 2 X^ mit p^Y möglich, was zu den Selektoren 2 Y^y) =s P 2 ^(n) x 2 ^(y) fuhrt. Die Möglichkeit dieser Selektoren ergibt sich unmittelbar aus der metronischen Erweiterung der infinitesimalen Theorie. Wegen der nichthermiteschen Eigenschaften der Gitterkeme aller Partialstrukturen wird 2 Y( m Y) *■ 2 Y(uY) , aber auch 2 Y(yy) = 2 Y(y) zur ursprünglichen Partialstruktur. Offensichtlich um¬ faßt die Übermatrix y = ( 2 Y^y) ) a ^ e Fundamentalselektoren, die aus den Gitterkemen der co Partialstrukturen gebildet werden können. Im allgemeinen wird y ^ y x bleiben, weil Seite 276 SP ( 2 x 2 ^(y) j * 2 0 nicht notwendig zu kommutieren braucht. Die in diesem Matrixselektor Y enthaltenen co Diagonalelemente sind eindeutig die Fundamentalselektoren der entsprechden Partialstrukturen, während die ro (co - 1) Extradiagonalen fundamentale Korrelationen der Gitterkeme im Sinne weiterer Fundamentalselektoren bilden, von denen ein jeder tensoriellen Charakter haben muß, also in einen hermiteschen und einen antihermiteschen Anteil spaltbar ist. Da in diesen extradiagonalen Elementen eine erste tensorielle Korrelation der Gitterkeme vorliegt, sollen diese Elemente im Gegensatz zu den diagonalen Partialselektoren als Korrelationsvermittler und demzufolge Y als Korrelator bezeichnet werden. Diese beiden Selektortypen %Y) =s P 2 \.) x2 V H 2 V*))„ (90) haben in der infinitesimalen Analysis kein Analogon und müssen daher als eine Folge der Metroni- sierung des R N aufgefaßt werden. Wenn der Sieboperator auf Y einwirkt, dann muß S b); 2 T(H) = 2 E^ .also S(Y); 2 X m = ’-lU wegen 2 Y(yy) = s P 2 ^(y) x 2 ^(y) und S (^) ; 2 %y) = S P 2 \») x 2 E = berücksichtigt werden. Kommt es zur Einwirkung S( Y);y dann entartet in Y dieZeile Y und die Spalte Y zu den 2 -( ) betreffenden Gitterkemen, während im Schnitt beider Reihen E liegt. i|/ k ;n = t, k kennzei¬ chnet eine Gitterlinie der metronischen Hyperstmktur des R N , aber Ck ;n = x k die entsprechen¬ de für den leeren R N ( 0 ) • Für \j/ = C wird auch der R N leer und die q k geradlinig äquidistant metronisiert. Erst für 2 y^ 2 E wird \j/^C und q>;n bezogen auf x des leeren R N n k sein. Da außerdem, bezogen auf die Gitterlinie x k ~ n k stets N k (n, ist, folgt 1)iN k > fr n k = 8 kk . Offenbar kommt es bei der Projektion zu Häufimgsstellen der projizierten Metronenziffem, und diese metronischen Kondensationen müssen wiederum ein Maß für die metrische Abweichung sein, welche zwischen ^ k und x k besteht. Diese Abweichung ist aber nichts anderes als der Unter¬ schied zwischen der metronischen Hyperstruktur eines Tensoriums und einem leeren Tensorium. Dieser Unterschied wächst mit dem Grad der metronischen Kondensation, so daß die Möglichkeit besteht, die metronische Hyperstruktur R N durch eine metronische Theorie von Strukturkonden¬ sationen zu beschreiben, wenn es gelingt, ein Maß des Kondensationsgrades aufzufinden. Wird in 1>iN k > 5ik der Faktor K k >l eingeführt, so daß 1>iN k = K k 5 k i wird, dann kann K alsein solches Maß des Kondensationsgrades betrachtet werden, denn K k = 1 bedeutet das Fehlen und N K k > 1 das Vorhandensein einer Kondensation längs x k . Es ist K k = ^ = t)N k und 1=1 N NN wegen ZV, = tm k = 1 ist, wenn ^ t)N k = 1) ^ N k = 1)N gesetzt wird 1=1 1=1 k=i N _ 'S'N = ^K k ’S'n k =Ktm oder N = SKl>h. k=l Diese Beziehung beschreibt vollständig die metronische Strukturkondensation , und zwar ist in _ N N = SKtm, n = ^^Z(k);n (91) k=l immer N die integrale Kondensation und K der Kondensationsgrad, also die metronische Dichte der integralen Kondensation. Aus der Darstellung t)]N k = K k 8 k i folgt direkt ein Zusam¬ menhang zwischen K und dem Gitterkern. Es ist nämlich stets, wenn das metronische Gitter für 2 y ^ 2 E auf dasjenige von 2 y = 2 E bezogen wird, Seite 278 was mit 1)iN k = K k 8 k i verglichen t>j £, k = a, K k 8 kl = a, K k t), n k oder nach Summation IN ^k =K kZa^i n i = K k ^ x k 1=1 liefert. Multiplikation mit e k und abermalige Summation liefert dann ^ = |]K k «x k = J K«x, k=l weil die e k zum System gehören und das quadratische Schema invariant bleibt. Bildung des Metronintegrals und Substitution mit dem Hyperselektor £, = \j/; n liefert dann \j/; n = S 2 K ~§x . Verglichen mit vj/;n = S 2 X;nt)x folgt demnach 2 K= 2 X;n , das heißt, die Vektoren K k , _ N _ die nach Gleichung (91) den metronischen Kondensationsgrad K = ^K k darstellen, erweisen k=l sich als Zeilen- oder Spaltenvektoren des Gitterkemtensors 2 X ;n , so daß gemäß der Identität 2 K = 2 X;n (91a) der Gitterkeme 2 X unmittelbar als ein Maß des metronischen Kondensationsgrades einer Hyper¬ struktur angesehen werden kann, wodurch dieser Selektor eine anschauliche Integration erfährt. Wird der R N vorübergehend nicht metronisch, sondern infinitesimal aufgefaßt, und wird in ihm ein kontravariantes Vektorfeld parallel verschoben, dann erfahren seine Komponenten, wenn | k 11 * 0 bezogen auf R N (o> ist, eine infinitesimale Änderung Ai+dA 1 =A X l kl A k dx‘ oder dA 1 = i kl A k dx J Seite 279 wobei die übliche Summationsregel gemischtvarianter Indizes Anwendung finden soll. Es ist dA 1 y 0 für jkjJ^O , aber dA 1 = 0 für j ^ j j = 0 , also in dem R N(0 ) .Wenn 2 g = 2 E ist, dann wird ein Vektorfeld durch Translation nicht geändert, wohl aber im Fall 2 g * 2 E . Der gleiche Sachverhalt muß auch gelten, wenn der R N mit 2 g ^ 2 E eine auf den leeren R N ( 0 ) bezogene metronische Hyperstruktur ist. A(x- wird dann zur metronischen Vektorfu nk tion A (n 1 ^ und die Differentiale werden zu Metrondifferentialen, während j ^ j j andeuten soll, bezogen auf die x 1 = a i n 1 gemäß x > 0 metronisiert worden ist (für die ai gelte im Folgenden die Summationsregel nicht). Wegen öx 1 = a.\ gilt demnach für die Metronisierung der Infinitesimaltranslation ~§A L = - j ^ j j A- a 1 , wobei a 1 = aj lediglich angibt, daß hier dem Gesetz gemischtvarianter Indizes zufolge summiert wurde. Die metronische Änderung des Vektorfeldes als Folge der Translation muß in der Projektion in den R n( o) wiederum als eine Dichteänderung der A bestimmenden Metronenziffem erscheinen und zwar unabhängig davon, ob j ^ j j die metrischen Eigenschaften eines Kompositionsfeldes oder daß die Strukturfunktion i kl einer Partialstruktur angibt. Wenn aber | ^ j | als metrische Funktion die Änderung des metro¬ nischen Kondensationsgrades eines Vektorfeldes bei einer Ortsänderung im R N beschreibt, dann muß der diese Funktion bestimmende Funktionalselektor in fundamentaler Weise die Ortsänderung eines jeden metronischen Kondensationsgrades kennzeichnen, derart, daß dieser Kondensor, oder besser Fundamentalkondensor , den metronischen Kondensationszustand der Hyperstruktur des R N in Bezug auf R N ( 0 ) in universellster Form beschreibt. Zunächst muß die kovariante Form {ikl } x beschrieben werden, wobei im allgemeinsten Fall 2 g (ab| ^ 2 g ( j ib ) und der hierzu gehörige Funda¬ mentalselektor soll ein Extradiagonalelement von y mit den Gitterkemen 2 ä und 2 b (beide nichthermitesch) sein. Unter diesen universellen Voraussetzungen 2 g (ab| = 2 y (ab) ;n und 2 y (ab) = sp 2 äx 2 b ^ 2 y ( j ibl , wird die kovariante Metronisierung möglich. Es gilt offensichtlich ^{^}(ab)x ^ §(ab)il + ^x i S(ab)ki ^x^Wkl V a k ^kY(ab)il + -^ a, y (ab)kl wenn ikl (ab) \ r ;n = 2 ikl J * 2 V) = sp (ab) den zugehörigen Fundamentalkondensor kennzeichnet. Mit 2 y (ab) = sp 2 a x 2 b besteht die Möglichkeit unter Anwendung metronischer Differentiationsregeln diesen Fundamental- Seite 280 kondensor durch die beiden tensoriellen Selektoren der Gitterkeme auszudrücken. Alle kovarianten Fundamentalkondensoren können matrizenhaft in einem Pseudotensor des R N gemäß = a b zusammengefaßt werden, wobei dieses Symbol alle Komponenten des ( ab ) Jn L J kovarianten Fundamentalkondensors der Struktur 2 y (ab) = sp 2 äx 2 b enthält. Zusammengefaßt wird die kovariante Form dargestellt durch 2 Y(ab)= s P 2 äx 2 b, 2 [P^ab) = ^ ^ kY W + ^ ^ lY ( ab ) k P “ ^ ^ Y ( ab ) kl ’ _[p kl ](ab)j N = [ ab l • (92) Bei der Metronisierung von Strukturfeldgleichungen erscheinen die metrischen Feldfunktionen nicht in ko- sondern in gemischtvarianter Form, so daß der gemischtvariante Fundamentalkonden¬ sor aufgefunden werden muß. Ist im allgemeinsten Fall 2 y^ = sp 2 c x 2 d irgendein anderes Element von y und stehen die zugehörigen Strukturtensoren in Korrelation zueinander, dann besteht nach der Theorie der Kompositionsfelder und ihrer Partialstrukturen immer die Möglichkeit 2-1 pklj^ b . mit der kontravarianten Form Y (cd ) als Binärfeld in die gemischtvariante Stufe zu heben. Dieser Prozess ist aber nicht eindeutig, weil die extradiagonalen Fundamentalselektoren von Y sich jeweils aus zwei verschiedenen Gitterkemen aufbauen. Bei dem Übertragungsvorgang in die gemischte Varianz bedeutet yr d) = Ji _+ , daß dieses Binärfeld dadurch entstanden k ' Lr J(ab) A _K at v ist, daß der kontravariante Index vom Gitterkem 2 c geliefert wurde, während der Index des N Gitterkems 2 d die Summation ermöglicht, denn es gilt stets Y(L) = S c y ^ • Hieraus folgt Y=i unmittelbar, daß im allgemeinen wird. Auch diese gemischtvarianten Formen können zu dem allgemeinen Schema des gemischtvarianten binären Fundamentalkondensors i 1 Ted k IJ(ab) J N ab quartärer, also völlig kontravarianter, Fundamentalkondensor gebildet werden. Doch sind hierfür zusammengefaßt werden. Ganz analog kann noch ein ternärer und ein Seite 281 keine zusätzlichen Kriterien zu entwickeln, weil diese Ternär- und Quartärformen in den infinite¬ simalen Struktufeldgleichungen nicht auftreten. Für den binären Fundamentalkondensor gilt also 2 Y(cd) = sp 2 c x 2 d, " f . - (cd) [3] r r • i (cd) -| cd pkl (ab) 1 kl (ab)’ i kl -+ ( ab ) _ N a S (92a) und mit diesem Selektor wird es wiederum möglich, die \~ -Operatoren in eine metronische Selektorfassung zu bringen. Die infinitesimalen -Operatoren wirken linear durch die Kompo¬ nenten von { } im Kompositionsfeld, oder j{jj im Feld der Partialstrukturen. Wenn ein [~ -Operator metronisiert wird, dann wirken nach (92) und (92a) i mm er die metronischen Kondensationszustände im Sinne von Funktionalselektoren auf irgendeine metronische Feldfunktion, das heißt, die metronisierten -Operatoren sind immer Funktionalselektoren, welche mit Hilfe von metronischen Kondensationsfeldern wirken. Aus diesem Grunde erscheint für derartige metronisierte Operatoren die Bezeichnung Kondensfeldselektoren angebracht. Es kommt nunmehr darauf an, mit den Gleichungen (92) und (92a) diese Kondensfeldselektoren durch eine Metronisierung der infinitesimalen -Operatoren explizit darzustellen. Werden die das metronische Gitter bildenden geodätischen Linien als Paramterfunktionen auf das geodätische System x 1 aus R N ( 0 ) bezogen, denn genügen diese Gitterlinien dem Gleichungs¬ system x 1 +1|^ |j x-x 1 =0 .Ist p der Parameter, dann gilt auch für die Metronenziffem n 1 (p) im R N (o) ,wobei aber auch p metronisiert erscheinen muß. Demnach gilt x 1 = a, tr n 1 und x' = a^p n' , während aus der Translationsfeldkomponente eine Kondensorwirkung kl i kl (cd) J( ab ) ;n wird. Dies bedeutet, daß für das metronische Gitter die Gleichung a k a r ; i( cd ) a- 1 v k v'LkijS)^ 0 Seite 282 gilt, und zwar in Bezug auf die Hyperstruktur Co des R N ( 0 ) • Wird dagegen auf die Hyperstruk¬ tur C'= des R n bezogen, dann gilt infinitesimal ^ = 0 mit j j = 0 , was in r • i (cd) p . - (cd) r • n { k 11 > kl ~ + ; n eingesetzt 1 _ kl _ - + ;n = 0 oder (ab) l _ kl _ tisch wird. Bezogen auf Q gilt demnach cd ab (cd) - + = 0 mit dem Nullselektor iden- (ab) = 0 , während dieser Kondensor, bezogen auf J (§) Co oder irgendein anderes System von der Nullmatrix verschieden bleibt. Dieser Sachverhalt wird zusammengefaßt in ^ n i + Mif n kf n i Ot; 1 kl (cd) -+;n=o, (ab) n i =n i (p), f p 2 ^=0, cd ~a6 = 0, (§) cd hi *0 (93) wobei x 1 + die Hyperstruktur Q des R N auf C 0 des R N (o> bezogen wurde. Da jx-x 1 = 0 gegen alle regulären eindeutigen Transformationen invariant ist, muß die me- tronische Fassung auch dann gelten, wenn die Hyperstruktur C'= auf irgendeine andere Struktur C' f Co des R n abgebildet wird, denn dann bezieht sich die Kondensation nur auf ein anderes von x 1 ~ n 1 abweichendes Gitter x’ ! , das aber auch auf C 0 bezogen werden kann. Wegen der Invarianz und der Möglichkeit den gleichen Parameter zu wählen gilt dann für die metronische Kondensation in Bezug auf dieses neue Gitter die Metrondifferentialgleichung ^; x fk V' i kl (cd) (ab)(C) ’ n = 0 ’ (93a) wodurch das Gitternetz Q der Hyperstruktur auf ein anderes Koordinatennetz C' regulär abge¬ bildet worden ist, welches wiederum als Gitter einer Hyperstruktur c'd' = Ö aufgefaßt werden kann, denn das Verschwinden des Fundamentalkondensors kennzeichnet grundsätzlich ein Koordi- Seite 283 natennetz als Strukturgitter einer entsprechenden Hyperstruktur. Ist noch ein weiteres Koordinaten- ~ ff A ff c d System C" gegeben, welches wiederum als Gitter einer Hyperstruktur werden kann, dann besteht die Möglichkeit nicht nur a"b" cd cd ab = 0 gemäß © äf = 0 aufgefaßt = Ö auf Co ^ 6 regulär J(c') auf C" abzubilden. Dieses bedeutet aber wegen der Invarianz der Gleichung (93) im Rahmen einer Metronisierung des Transformationsgesetzes des Fundamentalkondensors von C" nach C' durchzuführen, wenn das infinitesimale Transformationsgesetz x" 1 (xj)j^ , also die Funktional¬ cd cd des R N (o) , oder ~aS ^ Ö auf C' regulär abzubilden, sondern auch (C’) äf determinante, bekannt ist. Weil immer in der metronischen Übertragung dx" L dx' k —>~8 , k x" L ist. Wenn die metronische Transformation x" 1 (V k | gilt, kann das Transformationsgesetz der direkt in eine metronische Fassung gebracht werden. Es folgt i kl „x'G i kl ( cd ) ~ ,x wi = P m p (cd) (abXC)^^^ (93b) Auch das nichthermitesche Theorem für k kl im Fall der Hermitezität kann in eine metronische Struktur übertragen werden, wenn auf C 0 bezogen und 2 g (ab) = 2 g ( x ab) gefordert wird. Außerdem soll der binäre Feldkem des Fundamentalkondensors in Anwendung kommen. Auch müssen die beiden Gitterkeme 2 ä = 2 b = 2 X miteinander identisch werden, so daß die kontra- variante Wirkungsindizierung im Kondensorsymbol überflüssig wird. Mit 2 g = 2 y;n , sowie d ! y = sp 2 Xx 2 X = 2 y x und y;n = [y^^ ;n = e 2cp ;n wird dann - r ln|g| —^—l^tpjn und ö x 1 a. {kl ' k ~ Uir kl (X) ;n , was zu dem Selektortheorem Cp = €(,[ k kl (X) (X) »InJlgl =cp;n, 2 g= 2 y;n, 2 y = sp 2 Xx 2 X = 2 y x (93c) Seite 284 führt. Hierin erscheint

[]«„. o[ ]=[ ] (6) indiziert werden. Auch liefert eine Zusammenfassung der Selektorkomponenten den gesamten den /ß ± \(-.X02) N / ß ± x(s.)(s 2 ) Tensorgrad erweiternden Kondensfeldselektor l p a I = I a I . Dabei sind a und ' M±) k=l ' A±) k Seite 286 ß ± die Signaturgesetze der Kondensorsignatur. Insgesamt wird also die universellste Form des Kondensfeldselektors durch das System ß _|_^( s l)( s 2 ) N ^'ß + '|hi)(s 2 ) a (±) ( S l)( S 2) k=l v a ^(±)k fcr-M+tn \ a /(±)k a k ^ + i m < N -1, (ßW)(±) h ak [«WIKM) H- ; n -Z( X x=i i,k_ (ßW)(±) ( a ( x ))( e d s 2)) ;n, [HW [MW [MW [MW [Ml,. o[]=[] M (95) J (2) r J(3) (4) J (5) ! J(6) beschrieben, vorausgesetzt, daß auch in dem zugrundegelegten R N alle x k ~ n k mit 1 < k < N bleiben. In der Kondensfeldselektor Gleichung (95) beschreibt a die Folge der Basissignaturen a (X) und ß ± die Folge der Kontrasignaturen ß (X) in der Wirkungsweise ± längs der ganz¬ zahligen Induzierung 1 < X < m . Damit ist der Kondensfeldselektor in universellster Form ein¬ deutig definiert. Gibt es in dem betreffenden Definitionsbereich des Tensoriums P Multiplett- signaturen Si und Q kovariante s 2 , dann kann eine Wirkungsmatrix der Typensignaturen als Rechtecksschema vom Typ P Q , nämlich ß±L a ( ß af G)(s 2 )' zusammengestellt werden, 'W J?,Q welche für eine Kondensorsignatur alle Kondensfeldselektoren enthält. Darüberhinaus gibt es aber noch V Basissignaturen ß ± und a und W Kontrasignaturen mit gleichzeitiger Wirkungs¬ angabe, so daß alle V W Typensignaturmatrizen wiederum als Rechtecksschema in die Form einer Übermatrix gebracht werden können, welche in Analogie zu \~ beziehungsweise P als metronische Wirkungsmatrix ( ) = A7 ß±P a V' Vvw bezeichnet werden soll. In dieser durch ß± a ^ 'ß_|_\( S l)( S 2Ü a (±) . ()= /P,Q a , V' Vvw (95a) beschriebenen metronischen Wirkungsmatrix sind also alle in dem Definitionsbereich des betref¬ fenden Tensorium s möglichen P Q V W Kondensfeldselektoren enthalten, über die nunmehr metronische Theoreme entwickelt werden können. Es besteht die Möglichkeit auf diesem allgemeinen Kondensfeldselektor den Sieboperator (co - 1) -fach anzuwenden, so daß von den Fundamentalselektoren aus y nur 2 Y ( l = 2 Y ^ 2 E Seite 287 mit 2 y = sp 2 Xx 2 % = 2 y x übrig bleibt. In diesem Fall kann auch 2 y;n = 2 g als Kompositions¬ feld formal aufgefaßt werden und die Fundamentalkondensoren werden dann zu cd ab = [x]*ö. während die Kondensfeldselektoren sich in ihrer Kondensorsignatur nicht mehr unterscheiden. Dies bedeutet aber |ß^j = (X)|lf 2) . Unter Voraussetzung \,Y) = 2 E, (p,Y) *■ i, 2 Y (u) = 2 Y* 2 E, 2 y=sp 2 Xx 2 X* 2 y x , cd ab /ß±\ (Sl)(S2) l a / (± ) />\( S l)( S 2) lv> (± ) (96) können weitere Approximationen analog der -Operatoren entwickelt werden. Für 2 y_ —» 2 0 wird 2 y^ 2 y'= 2 y' x und dies bedeutet, daß die Singulettsignaturen l 2 E möglich und dann wird, da eine Unterscheidung zwischen ko- und kontravariant nicht mehr erscheint, hm ’=DIV W (96a) das heißt, im Limes ergeben sich die metronischen Differentialselektoren unter der Voraussetzung m > 0 aus dem Kondensfeldselektor (96) ohne Kondensorsignatur. Diese Kondensfeldselektoren erweitern stets den Tensorgrad m > 0 der metronischen Funktion, auf welche sie einwirken, während die Bildung des Matrizenspektrums m um 1 vermindert, so daß diese Spurbildungen der Kondensfeldselektoren zu Kontraktionsselektoren werden. Dies bedeutet aber, daß auch i metronisiert werden kann, und zwar folgt unmittelbar Seite 288 Mi =:r3- ft a, (*) (*)+’ ;n. = GRAD (x) ’ (96b) denn dieser Selektor kann auch auf metronische Skalarfunktionen m = 0 einwirken. Ist p eine metronische Funktion, auf welche (X)i einwirkt, dann kann —(X) ;p und — (X) ;p gebildet P P und metronisch nach m beziehungsweise 1 differenziert und subtrahiert werden. Es ist P ( x ),;p «i p 'S', p- r s 1 S_(x)- ;n und —?„-(*), ;p= 1 a p m t' a \ a m P s L is J+ also —$»-(*), ,;p=— -s; a a. a. s m s ;n——^ ex s 1 s ;n wenn zur Kürzung i (X) i kl (X) “ kl verwendet wird. Mithin gilt das Theorem a a, a, s ms ;n——^ + a m s 1 s ;n, r iW r i i i kl (*) i kl (97) Seite 289 weil stets —— ~8 { p = — ~8 { ln p und (t) k x t?,) =0 ist. Auch die übrigen Theoreme und Identi- oijP aj v täten der infinitesimalen -Operatoren können, wenn eine metronische Hyperstruktur R N vor¬ ausgesetzt wird, in die Fassung der Kondensfeldselektoren für 2 y = sp 2 Xx 2 X mit 2 X ^ 2 X x gebracht werden. Die Metronisierung 2 g = 2 y;n liefert dann in Bezug auf das Gitter x 1 = a, n L diese Theoreme in metronischer Form, nämlich sp sp 2DIV ,A, (x)-’ ((*)S!)-(*)S);ä= 2 a 1 S k s -|09 ;n, A = p A, OL S k s W ik YikWS ) »I" = ( N_ 2 )Wi» w » 2 I = w 2 T’ w = yß Y = |y ' ik In (97a) und hieraus folgt in völliger Analogie zur infinitesimalen Analyse eine hermitesche Symmetrie tensorieller Selektoren vom dritten Grad, welche durch die Einwirkung von Kondensfeldselektoren auf den nicht hermiteschen Fundamentalselektor entstehen. Diese hermitesche Symmetrie wieder¬ um kann auf Tensorselektoren beliebigen Grades m < N erweitert werden, und dies begründet die Spaltbarkeit eines jeden Tensorselektors in einen hermiteschen und einen antihermiteschen Anteil bezogen auf zwei Indizes gleicher Varianzstufe, ein Sachverhalt, der sich bei der Definition des tensoriellen Selektors unmittelbar aus der Spaltbarkeit infinitesimaler Tensorfelder ergeben hat. Der allgemeine Kondensfeldselektor kann noch weiteren Approximationen unterworfen werden. Wird nämlich angenommen, daß in y nicht nur alle extradiagonalen Korrelationsvermittler verschwinden und die Diagonale nur das eine Element 2 y = sp 2 Xx 2 X enthält, sondern wird weiter unterstellt, daß auch der Gitterkem 2 X ^ ± 2 X x entweder hermitesch oder antihermitesch, niemals aber nichthermitesch ist, dann folgt Y - Y und dies hat zur Folge, daß alle Komponenten des Fundamentaltensors hermitesch werden; das heißt, die ersten drei nicht differen¬ zierten Typensignaturen der Kondensfeldselektoren werden identisch ( +) , desgleichen die Signaturen 4,5,6 , nämlich (-) . Wird schließlich angenommen, daß das Strukturgitter nur gegen die x 1 gedreht, oder parallelverschoben ist, dann wird stets 2 y; n = const und der Fun- Seite 290 damentaltensor wird zu 0 , so daß alle nicht differenzierten Typensignaturen mit den Fehlstellen (-) identisch, und die Kondensfeldselektoren zu DIV( X ) werden, wenn die Drehung oder Parallelverschiebung des Gitters kompensiert, also 2 y;n = 2 E wird. Wegen 1 kl (cd) (ab) fr i r \ skl V L J + (ab)+ skl (ab)- y r • i (cd) r • i l _k 1 “ + + (ab)+ l kl gehen die Eigenschaften der adjungierten Kondensoren immer nur auf die Basissignatur, niemals aber auf die Kontrasignatur zurück, so daß diese Eigenschaften der Kondensoren nur von den Elementen aus y bestimmt werden, aus denen die kovarianten Kondensoren gebildet worden sind. Auch das Varianzstufengesetz gilt für korrelierende Elemente dieser Matrix und muß in der Fassung f k ( a );n gelten, wenn zur Kürzung a = j für die Kondensorsignatur eingeführt wird. Diese Gültigkeit des Korrelationsgesetzes der Varianzstufen hat aber zur Folge, daß in völliger Analogie zur infini¬ tesimalen Strukturkaskade eine mehrfache Varianzstufenänderung im Sinne einer Korrelation der Partialstrukturen durchgeführt werden kann, so daß Paralleltranslationen in der metronischen Hyperstruktur, sowohl mit 1 kl (cd) (ab) als auch mit Q 2 (a)| ^ (cd) —I- (ab) im Korrelationsbereich der Partialstrukturen durchgeführt werden können, deren Gesamtheit zur Paralleltranslation im Kom¬ positionsfeld mit i (X) i k 1 (X) “ k 1 führt. Die Q 2 (a) sind hierbei allerdings Funktionalselek¬ toren, die in irgendeiner Form von den Korrelationsselektoren fr (ß) abhängen, wobei diese Ab¬ hängigkeit allein vom Kompositionsgesetz 2 y ( 2 X^ j bestimmt wird. Aus dieser Darstellung folgt unmittelbar, daß das infinitesimale Grundgesetz aller strukturellen Kaskadenstufen, nämlich das partielle Differentialgesetz der Komposition Seite 291 i kl Z mY=i 1 kl M (Y) + Qm(lEY) mf } kl )(Y) auch die Komposition einer metronischen Hyperstruktur als Selektorgesetz metronischer Kaskaden¬ stufen in metronisierter Komponentendarstellung .. f i kl II i kl |( ab ) +Qm( a );( ) r ™ ~i( cd ) m kl (ab) beschreibt. Offensichtlich sind die Q,' n als Komponenten eines gemischtvarianten tensoriellen Selektors 2 Q aufzufassen, so daß sich insgesamt für das Grundgesetz der Strukturkondensatio¬ nen in elementaren Kaskadenstufen N + sp ! Q(a);( )> cd - + ab (98) ergibt. Eine sehr wesentliche, jede metrische Struktur beschreibende Größe ist der Krümmungstensor infi¬ nitesimaler Translationen, nämlich 4 R mit den Komponenten R klm — ( 1 dx 1 l km d äx® i s 1 s k m i s m Wird hierin kl Verwendung von werden, was zu als metrisches Maß des Kompositionsfeldes aufgefaßt, dann kann ö 1 i kl i kl ;n und dx 1 -1), auch diese metrische Größe a. unter metronisiert Seite 292 ^klm “^ ?klm’ n — i k m k a i 7 i i i i + i s 1 ;() S k m - 1 1 cn I_I ;() 1 - 1 1_1 7 nach einer Anwendung des Metronisierungsverfahrens fuhrt. Dieser Selektor 4 q ist in infinite¬ simaler Approximation ein Maß der Strukturkrümmung, denn 4 R = 4 0 beschreibt die euklidische Metrik während 4 R ^ 4 0 die Abweichung von diesem metrischen Bezugskontinuum kennzeich¬ net. Entsprechend beschreibt 4 q = 4 0 das durch die Gitterselektoren Ck beschriebene Gitter des strukturlosen, also leeren, Bezugsbereiches R N ( 0 ) , während alle 4 q ^ 4 0 irgendwelche Kompositionsfelder von Hyperstrukturen wiedergeben. Offensichtlich beschreibt 4 c, die Ver¬ dichtung, also die metrische Kompression eines metronischen Kondensationszustandes, so daß der Selektor 4 q als metronischer Strukturkompressor bezeichnet werden kann, der gemäß Sklm _ °1 i k m i kl + i s 1 ;() s k m — i s m ;() i- i_ ^ m L J lim 4 q;n= 4 R (99) x —>0 durch die Komponenten des Fundamentalkondensors ausgedrückt werden kann. Mit dem Kompositionsgesetz (98) metronischer Strukturkaskaden kann der kompositive Kompressor (99) in die Fundamentalkondensoren der Partialstrukturen gespalten werden. Eine Substitution mit (98) in Gleichung (99) liefert (Gleichung siehe nächste Seite) Seite 293 CD • = E( 4 s(“) +4 Ä(«)+ 4 C(a) + < D(a)) i- Es setzt sich also 4 q nach dieser Entwicklung aus den Kompressoren der Fundamentalkonden¬ soren aller Partialstrukturen, den Kompressoren hierzu analoger korrelativer Größen, sowie aus quadratischen, die Korrelation ermöglichenden Tensorselektoren vierten Grades zusammen. Für die Gleichung (98) analoge Spaltung des metronischen Strukturkompressors gilt also Seite 294 CO ^=Z( 4 ?( a ) + 4 q( a ) +4c ( a ) +4ö ( a ))’ ^m= f m(q)> ?L(a)A m (a), k 1 ! Jj.qLM (cd) = 4 o, A ( 100 ) Seite 296 einen neuen Aspekt metronischer Strukturkaskaden innerhalb der Hyperstrukturen. Die kontinuier¬ liche Kondensation stellt zwar keine Bedingungen an N , doch kann dies im Fall der Kondensa¬ tionsstufen nicht mehr gelten. Liegen derartige Spektren von Kondensationsstufen vor, dann muß auf jeden Fall einem jeden Term des diskreten Punktspektrums ein Fundamentalkondensor ent¬ sprechen, und die auf Grund der N Koordinaten mögliche Zahl Z k von Kondensoren muß mit der Kondensorzahl Z, t) identisch sein, die aus y gebildet werden kann. Wenn also Gleichung (100) gilt, dann muß Z k = Z,„ gefordert werden. Eine jede Koordinate kann durch das Wirken /n\ eines Kondensors in doppelter Weise deformiert werden, während es I 2 1 deformierbare Flächen gibt, auf welche (1>s) 2 abgebildet werden kann, und die zugleich unabhängig voneinander sind. Z. Ist o die Zahl der Kondensationen, die auf jede Koordinate projizierbar sind, dann muß a = — gesetzt werden. Wegen der doppelten Richtung der Kondensation längs einer jeden Koordinate muß sich 2 o zusammensetzen aus den 2( N - 1) Projektionen, und den zwei Deformationsmö- / n\ glichkeiten der betreffenden Koordinate. Hinzu kommen noch I 2 I Projektionen von Kondensa¬ tionen längs der Flächenvektoren, so daß 2o = 2(N-l) + 2+^j , also Z k = N 2 2* geschrieben werden muß. Aus y können zunächst j® j Fundamentalkondensoren gebildet werden, die sich in ihrer Basis- und Kontrasignatur unterscheiden, doch muß diese Zahl verdoppelt werden, weil die Wirkungssignatur zweideutig ist. Hinzu ko mm en noch co 2 Kondensoren, bei denen Basis- und Kontrasignatur identisch sind. Eine Verdoppelung dieser Zahl entfällt, weil in diesem Fall die Wirkungssignatur keinen Einfluß haben kann. Aus y entstehen also Z = 2 co 2 I + co = co Kondensoren, die aber nach Gleichung (98) zum Kompositionsfeld einer Strukturkaskade superponieren. Für alle Strukturkaskaden gilt aber das Dimensionsgesetz N 4 N = 2 co , was Z co = — liefert. Der für Strukturkondensationen notwendige Vergleich Z ro = Z k 16 ergibt dann N 4 =16N 2 +8 n|^| , woraus die Dimensionszahlen des R N explizit bestimmt werden können, für welche eine Kaskade mit Strukturkondensationen möglich ist. Man erhält N = 2 ± 4 was eindeutig zu N = 6 wird, weil wegen N > 0 der negative Zweig keine 1 6 Bedeutung hat. Wegen co = —N = 3 ergibt sich für die Dimension p derMetronen p = — , 2 M also p = (l,2,3,6) weil p und M ganzzahlig sind. Nach L p (100a) Seite 297 bildet eine Strukturkaskade nur dann diskrete Kondensationsstufen, wenn der selektive semantische Iterator der Fundamentalsyntrix einen R 6 induziert, wenn drei Partialstrukturen existieren, und wenn das betreffende Metron linear, flächenhaft, kubisch oder sechsdimensional ist, wodurch dann wiederum die Zahl L p der einfachen metronischen Tensorien bestimmt wird, von denen die Hyperstruktur aufgebaut wird. Seite 298 Anhang 1. Syntrometrische Begriffsbildungen Syntrometrie : Universelle begriffliche Methode, die in allen logischen Systemen gültig bleibt. Konnexreflexion: Fähigkeit des Bewußtseins zu Reflexionen, welche die Urerfahrung der Existenz ermöglichen. Subjektiver Aspekt: Spezieller Gesichtspunkt innerhalb eines logischen Systems. Aspektrelativität: Gleichwertigkeit aller subjektiven Aspekte und logischen Systeme. Dialektik: Schema der die Aussagen prägenden dialektischen Adjektive. Prädikatrix: Schema der Aussagemöglichkeiten. Prädikatband: Begrenztes Aussagekontinuum. Prädikative Basischiffre: System von Bewertungsverhältnissen der Prädikate. Diatrope: Element der Dialektik. Diatropenband: Begrenztes Diatropenkontinuum. Dialektische Basischiffre: Schema dialektischer Werteverhältnisse. Chiffrenkoordination: Funktionelle Zuordnung dialektischer und prädikativer Basischiffren. Koordinationsband: Zuordnungsgesetz zwischen den Elementen von Diatropen- und Prädikat¬ bändern, die nach der Chiffrenkoordination zusammengehören. Korrespondenzschema: Enthält Koordinationsschema und Chiffrenkoordination. Deskriptionsaspekt: Zur dialektischen Beschreibung der Syntrometrie verwendeter subjektiver Aspekte. Systemgenerator: Vieldeutige Vorschrift, die aus einem subjektiven Aspekt eine vielfache Mannig¬ faltigkeit subjektiver Aspekte hervorgehen läßt. Aspektivfeld: Vielfach unendliche Mannigfaltigkeit subjektiver Aspekte aus einem kontinuierlichen Systemgenerator. Metropie: Metrische Eigenschaft eines der Deutigkeit des Systems gleichdimensionierten abstrakten metaphorischen Raumes, dessen Punkte die subjektiven Aspekte des Aspektivfeldes sind. Primäraspekt: Der vom Systemgenerator umgeformte subjektive Aspekt. Aspektivsystem: System der subjektiven Aspekte eines Aspektivfeldes. Metropiemodulation: Austauschoperation des Primäraspektes. Aspektivkomplex: Gesamtheit der möglichen partiellen Aspektivsysteme und des totalen Aspektiv- systems eines Systemgenerators. Seite 299 Aspektivgruppe : Gesamtheit aller Aspektivkomplexe. Syndrom : Gruppe von Begriffen gleicher Bedingtheit. Begriffskategorie-. Die nach einem Episyllogismus orientierte Schar zusammenhängender Syndrome. Idee : Syndrom ohne Bedingtheiten als Spitze des Prosyllogismus. Kategorie : Orientiertes Begriffssystem aus Idee und Begriffskategorie. Apodiktik: Invarianz der Semantik von Begriffselementen in Bezug auf ein Metropiefeld. Funktor : Nichtapodiktischer Zusammenhang von Begriffen. Quantor. Apodiktische Prädikatverknüpfung nichtapodiktischer Funktoren. Polyquantor. Prädikatverknüpfung mit Quantoreigenschaften in mehreren Aspektivsstemen. Wahrheitsgrad: Der Grad eines Polyquantors, das heißt, die Zahl der Aspektivsysteme, in denen die Verknüpfung Quantoreigenschaften hat. Universalquantor : Polyquantor mit divergierendem Wahrheitsgrad. Syntrix: Formal präzisiertes Analogon zur Kategorie. Metrophor. Schema der apodiktischen Elemente eines Bereiches als formales Analogon zur Idee der Kategorie. Synkolator: Ein als Syndromkorrelationsstufeninduktor wirkender Induktor, die die Elemente eines Syndroms einer Kategorie beziehungsweise Syntrix korreliert, und so ein Syndrom höherer Bedingtheit im Sinne eines Episyllogismus induziert. Synkolationsstufe: Zahl der Argumentbegriffe eines Synkolators. Pyramidalsyntrix : Syntrix mit diskreten Syndromen. Homogensyntrix : Syntrix mit homogenen Synkolationsverlauf. Homogenfragment-. Der nach Abspaltung einer Pyramidalsyntrix übrig bleibende Restbestand an Besetzungen von einer Homogensyntrix. Bandsyntrix: Die Metrophore lemente sind apodiktische Bandkontinuen, die begrenzt sind. Dies gilt demnach auch für die Synkolationen der zugehörigen Syndrombesetzungen. Metrophordurchmesser. Zahl der apodiktischen Elemente. Homometralität : Im Synkolator sind identische Argumentbegriffe möglich, deren Zahl den Homo- metralitätsgrad angibt. Heterometralität: Im Synkolator gibt es keine identischen Argumentbegriffe (der Homometralitäts- grad ist 1). Synkolator Symmetrie-. Die Argumentbegriffe können permutieren. Synkolatorasymmetrie: Eine Zahl von Argumentbegriffen (Grad der Asymmetrie ist nicht permutierbar. Seite 300 Synkolationsverlauf. Funktionelle Abhängigkeit der Syndromvollbesetzung von der laufenden Syndromziffer. Syndromabschluß'. Abbruch des Synkolationsv erlauf es nach einer endlichen Syndromziffer. Komplexsynkolator : Kombination verschiedener Synkolatoren derart, daß ein funktioneller Zusammenhang zwischen wirkendem Synkolationsgesetz und laufender Syndromziffer besteht. Äondyne, primigene : Funktorabhängigkeit der Elemente einer Syntrix von begrifflichen Parametern. Äondyne, metrophorische : Nur der Metrophor ist von den begrifflichen Parametern abhängig. Äondyne, synkolativ: Nur das Synkolationsgesetz hängt von den begrifflichen Parametern ab. Äondyne, ganzläufig: Synkolationsgesetz und Metrophor hängen von den begrifflichen Parametern ab. Äonische Länge: Intervall eines begrifflichen Parameters; entweder geschlossen, halboffen oder offen. Verknüpfungsgrad: bei ganzläufiger Äondyne die Zahl der Parameter, die sowohl den metropho- rischen als auch den synkolativen Äondynenverlauf bestimmen. Polydromie: Vieldeutigkeit des Äondynenverlaufes. Polydromiepunkt: Begriffskombination im äondynischen Argumentbereich, also im Tensorium der begrifflichen Parameter, bei welcher der Äondynenverlauf polydrom wird. Zirkel, metrophorisch: Zyklische Selektion einer endlichen Zahl von Aspektivsystemen durch Aspekttransformationen zwischen zwei Aspektivsystemen, in denen der gleiche Metrophor apodiktisch erscheint. Zirkelbasis: Zahl der Aspektivsysteme, in denen der gleiche Metrophor apodiktisch ist. Zirkelperipherie: Zahl der Aspektivsysteme eines Monozyklus Zyklizität: Kombination der Zirkelbasis in der zweiten Klasse Syntrixkorporation: Syntrizen verbindende Operationen. Korporator: Der die Syntrixverbindung vermittelnde Funktor. Komposition, korporierend: Korporation im Sinne einer einfachen Zusammenführung metropho- rischer oder synkolativer Elemente. Konflektorknoten: Modulierende Koppelungsvorschrift metrophorischer oder synkolativer Elemente. Kooperation: Eine den Aussagewert erhöhende Korporation. Kontraoperation: Eine den Aussagewert vermindernde Korporation. Korporatorklasse: Zahl der möglichen Korporationsarten in einem Korporator, das heißt, jede Klasse umfaßt 4 Kombinationen zur betreffenden Klasse. Nullsyntrix: Syntrix mit existentem Metrophor, aber leeren Syndromen. Seite 301 Elementar Struktur, pyramidal : Homometral, symmetrische, bzw. asymmetrische heterometrale, symmetrische bzw. asymmetrische Pyramidalsyntrizen, aus denen jede Syntrixform korporier- bar ist. Konzenter. Korporator, der vom Syndrom 0, also vom Metrophor an echt metrophorisch korporiert. Exzenter. Korporator, der beliebige Syndrome pseudometrophorisch korporiert. Exzentrizität, regulär. Exzenter verbindet Syndrome verschiedener Syndromziffem. Exzentrizität, äquilongitudinal: Exzenter verbindet Syndrome gleicher, aber von 0 verschiedener Syndromziffer. Konflexivsyntrix : Durch exzentrische Korporation entstandene Syntrix. Konflexionsfeld : Erstes korporiertes Syndrom in einer Konflexivsyntrix. Korporatorkette'. Nichtkommutative Folge beliebiger Korporatorwirkungen. Syntropode: Gesamtheit der Syndrome vor dem Konflexionsfeld einer Konflexivsyntrix. Syntropodenlänge: Maximale Syndromziffer einer Syntropode. Gliedrigkeit: Zahl der Syntropoden einer Konflexivsyntrix. Syndromball: Gesamtheit der vollbesetzten Syndrome einer Syntropode unbestimmter Länge (der Syndromabschluß liegt tiefer im Synkolationsverlauf als das Konflexionsfeld) im Fall homo¬ genexzentrischer Korporation. Wertevorrat: Lineare Folge pyramidaler Elementarstrukturen einer Sorte. Syntrixspeicher: In geometrischer Metapher vierdimensionaler Syntrixraum, aufgespannt von den vier möglichen Wertevorräten. Korporatorsimplex: System aus konzentrischen Korporationsvorschriften. Generative: System aus Simplex und Wertevorräten. Syntrixtotalität: Gesamtheit der von der Generative induzierten konzentrischen Syntrizen. Syntrixgerüst: Reguläre Belegung der Totalität. Ergänzung, extraregulär: Extrareguläre Auffüllung des regulären Syntrixgerüstes. Syntrixfeld: Durch das Syntrixgerüst strukturierte Gesamtheit aller Syntrizen der Totalität. Äondynentotalität, primigen: Eine Syntrixtotalität, deren Elemente mehrparamtetrige primigene Äondynen (Erweiterung der Bandsyntrizen ) sind. Trägerraum, syntrometrisch: Tensorium aller Begriffsparameter einer primigenen Äondynentotal¬ ität. Enyphansyntrix, diskret: Eine Syntrix der Totalität, an welche eine Korporatorkette aus Elementen des Simplex angekoppelt ist, derart, daß die Enyphansyntrix als syntrizenhafter Funktor Elemente der Totalität zu neuen syntrometrischen Formen korporiert. Enyphankette: Die in der Enyphansyntrix wirkende Korporatorkette. Seite 302 Enyphanstamm: Konzentrische Syntrix vor der Enyphankette. Enyphane : Infinitesimal, oder hierzu invers wirkende ko- oder kontraoperativ wirkender enyphanenhafter Funktor, der in kontinuierlichen Totalitäten die Änderungen des kontinuierlichen Syntrixfeldes beschreibt. Enyphansyntrix, kontinuierliche : mit einer Enyphane korporierte diskrete Form. Gebilde, syntrometrisch : Jede Konflexivsyntrix, deren Syntropoden in der zugrunde gelegten Totalität stehen. Syntrixtensorium : Die unendliche Schar von syntrometrischen Gebilden , die durch Einwirkung einer Enyphansyntrix auf eine Syntropode einer Konflexivsyntrix aus dieser hervorgehen. Syntrixraum : Der von den möglichen Syntrixtensorien aufgespannte metaphorische Raum, dessen Dimensionszahl mit der jeweiligen Syntropodenzahl identisch ist. Syntrometrik: Struktur des Syntrixraumes. Korporatorfeld : System von Korporationsvorschriften, das nicht notwendig zum Simplex zu gehören braucht. Syntrixfunktor, diskret : Begriffliche Erweiterung der diskreten Enyphansyntrix, das heißt, eine Syntrixoperation die eine bestimmte Zahl von Syntrizen zu einem höheren syntrometrischen Gebilde korporiert. Syntrixfunktor, kontinuierlich : Ein diskreter Syntrixfunktor mit mehreren enyphan wirkenden Gliedern. Funktorvalenz : Zahl der von einem Syntrixfunktor korporierten Syntrizen. Enyphankomplex : System der in einem kontinuierlichen Syntrixfunktor wirksamen Enyphanen. Syntrixtransformation : Deformation eines Syntrixfeldes durch Einwirkung eines Syntrixfunktors. Syntrixtransformation, synthetisch : Funktorvalenz > 1 verknüpft bei der Transformation mehrere Syntrixfelder zu einem. Syntrixtransformation, analytisch : Der zur Synthese inverse Transformationsprozess. Syntrixtransformation, isogonal : Funktorwirkung eindeutig, transformiert ein Syntrixfeld eindeutig in ein anderes. Funktorwirkung, konflexiv: Funktor wirkt auf die Syntrometrik, also raumeigen hinsichtlich des Syntrixraumes. Funktorwirkung, tensoriell: Ebenfalls raumeigene Funktorwirkung auf das Syntrixtensorium. Funktorwirkung, feldeigen: Der Syntrixfunktor wirkt nur auf das Korporatorfeld und läßt den Syntrixraum unverändert. Affinitätssyndrom: Zusammenfassung der Synkolationen des Syntrizensystems, welche Affinitäten zu einem vorgegebenen Begriffssystem zeigen. Seite 303 Affinitätssyntrix : Als Pseudosyntrix definiertes Affinitätssyndrom, wenn in ihm auch apodiktische Elemente enthalten sind. Affinitätssyndrom, orientiert : Strukturierung eines nicht orientierten Affinitätssyndroms durch Untersyndrome mit Synkolationen gleichen Affmitätsgrades und anschließende Orientierung dieser Untersyndrome nach wachsendem Affinitätsgrad in Analogie zum Episyllogismus. Metroplex, Grad 1 : Eine Hypersyntrix mit Syntrizen als Metrophorelemente und Syntrixfunktoren als Synkolationsgesetz. Metroplexsyntropoden : Die konzentrischen Metroplexsyndrome einer Konflexivform die unter dem Konflexionsfeld liegen. Basissyntropoden : Die einfachen Syntrizen in den Besetzungen der metrophorischen Komplexe irgendeines konflexiven Metroplex, die sämtlich in einer Syntrixtotalität liegen. Metroplexkorporator : Höheres Gegenstück zum Syntrixkorporator. Metroplextotalität : Höhere Form der Syntrixtotalität. Metroplexfunktor. Graduelle Erweiterung des Syntrixfunktors. Metroplexstamm : Höhere Analogie zum Syntrixstamm. Enyphanmetroplex : Graduelle Erweiterung der Enyphansyntrix. Konflexivmetroplex : Das Ergebnis einer exzentrischen Metroplexkorporation. Metroplexraum : Graduelle Erweiterung des Syntrixraumes. Metroplexfeld : Graduelle Erweiterung des Syntrixfeldes. Metroplexspeicher. Die vier Wertevorräte elementarer pyramidaler Metroplexstrukturen, die mit einem Korporatorsimplex die Generative einer Metroplextotalität bilden. Metroplex, assoziativ: Eine Metroplexstruktur höheren Grades, in deren Metrophor Metroplexe von nächsttieferem Grad assoziiert werden, und die ihrerseits wiederum dieser Assoziationsdefini¬ tion genügen bis zur Syntrix. Metroplextektonik: Duale Struktureigenschaft assoziativer Metroplexe. Tektonik, graduell : Tektonische Struktur des Assoziation in der Richtung steigender Metroplex- grade. Tektonik, syndromatisch : Tektonische Struktur innerhalb einer graduellen Zone. Tektonikverlauf, graduell : Änderung der graduellen Struktur als Funktion des Metroplexgrades. Syndromatik: Synkolationsverlauf in einer graduellen Strukturzone. Metroplexgrad : Zahl der metrophorisch assoziierenden Zonen. Syntrokline Induktion : Einzelne, ausgewählte Syndrome, als partielle Metroplexe aufgefaßt, erfahren nach dem Prinzip der Aspektrelativität Transformationen, die über einem neuen Aspekt Systeme von Metrophoren induzieren. Seite 304 Syntrokline Fortsetzung : System der syntroklin induzierten Metrophore als Ansatz einer Metroplex- synkolation. Fortsetzungsstufe'. Graderhöhung als Folge der syntroklinen Fortsetzung und anschließender Metro- plexsynkolation. Metroplex, syntroklin : Ein aus einer syntroklinen Fortsetzung synkolierter Metroplex. Syntrokline Wurzel: Assoziativer Metroplex, von dem die Fortsetzung ausgeht. Syntrokliner Ansatz : Die in der Wurzel zur Induktion ausgewählten Syndrome. Kettenglied, syntroklin : Der einfache syntrokline Metroplex mit der Fortsetzungsstufe 1 oder 2. Kettenkoppelung, syntroklin : Verknüpfungsvorschrift vieler Kettenglieder zu höheren Fortsetzungsstufen. Syntrokline Kette : Allgemeiner syntrokliner Metroplex mit Kettenkoppelung und höherer Fort¬ setzungsstufe. Metroplexbrücke : Kurzbezeichnung für die syntrokline Kette höherer Fortsetzungsstufe. Syntrokline Tektonik : Tektonische Struktur einer Metroplexbrücke, die durch die gesamte syntro¬ kline Kettenkoppelung bestimmt wird. Metroplexkombinat, exogen : Assoziative und syntrokline Strukturen sind korporativ gekoppelt. Tektonische Relevanzordnung'. Zahl der Syndrome einer an die Metroplexbrücke korporierten Struktur, von denen die syntrokline Tektonik geändert wird. Syntrokline Transmission: Metroplexbrücke an deren Enden assoziative Metroplexe korporiert sind. Zyklische Transmission: Die Endglieder von zwei Transmissionen gleichen Grades sind beliebig, die Anfangsglieder gleichen Grades aber sind durch einen Exzenter korporiert. Tektonische Koppelung: Jeder Korporator der infolge tektonischer Relevanzordnung über Metro- plexbrücken tektonische Fernwirkungen durch das Metroplexkombinat sendet. Syntrokline Kombinate: Metroplexbrücken, deren Kettenglieder zu Wurzeln weiterer Ketten werden. Mehrfachtransmissionen: Korporation von assoziativen Strukturen an die Enden eines Syntrokli- nenkombinates. Transmissionsziffer: Maximalzahl der Endstrukturen eine* Mehrfachtransmission. Metroplexkombinate, endogen: Metroplexbrücken verbinden innerhalb eines assoziativen Metroplex syndromatische Strukturzonen verschiedenen Grades in Richtung der graduellen Tektonik. Syntrokliner Exogenanschluß: Induktion einer syntroklinen Fortsetzung oder einfache Korporation des endogenen Metroplexkombinates in irgendeiner exogenen Form. Metroplexkombinat, allgemein: Beliebige Struktur aus exogenen und endogenen Elementen. Seite 305 Äondyne: Allgemeines Metroplexkombinat dessen Basissyntropoden im Speicher einer Syntrix- totalität primigene Äondynen sind. Polydromiezentrum : Bereich im Äondynentensorium, über dem ein Äondynenzweig polydrom wird. Äondynenpanorama : Beliebiger polydromer Äondynenverlauf über einem definierten Areal des Tensoriums. Polydromiediagramm : Zahl der jeweiligen Polydromiezentren über den einzelnen metaphorischen Punkten der Panoramaerstreckung aufgetragen. Verteilungsdiagramm: Zu einem Punkt des Polydromiediagrammes Lageangabe der Polydromie¬ zentren orthogonal zur Panoramaerstreckung. Klassifikationsdiagramm: Das durch alle Verteilungsdiagramme ergänzte Polydromiediagramm. Kollektor: Bereich in dem Äondynentensorium, über dem mehrere Äondynenzweige im Sinne eines Polydromieabfalles zusammenlaufen. Telezentrum: Sonderfall des Polydromiezentrums oder Kollektors, derart, daß im Telezentrum sämtliche Äondynenzweige zusammenlaufen, oder aber vom Telezentrum ausgehen. Telezentrische Polarisation: Begrenzung eines Äondynenpanoramas durch zwei Telezentren längs der Panoramaerstreckung. Projektive Telezentren: Metaphorisch uneigentliche Telezentren. Area, äonisch: Ein telezentrisch polarisiertes Äondynenpanorama. Unterareale: Von der eigentlichen Area eingeschlossene, aber ebenfalls telezentrisch polarisierte Teilbereiche des polydromen Äondynengeflechtes der Hauptarea. Nebentelezentren: Telezentrische Begrenzungen der Unterareale. Areaketten: Mehrere Areale mit gemeinsamen Telezentrum. Arealordnung: Verknüpfungsgrad einfacher Areale im Sinne von Areaketten zu übergeordneten Strukturen mit übergeordneten telezentrischen Polarisationen. Transzendenzsynkolator: Ein Synkolator, der aus einzelnen monodromen Äondynenzweigen isolierbare Affinitätssyndrome in eine transzendente Äondyne synkoliert, die jenseits der ursprünglichen Area liegt. Transzendenzstufe: Iterationsgrad der Transzendenzsynkolation. Transzendenzfeld: Gesamtheit aller Transzendenzstufen über einer Area. Intrasynkolation: Transzendenzsynkolation innerhalb einer definierten Area. Extrasynkolation: Transzendente Verknüpfung mehrerer Areale. Transzendentaltektonik, graduell: Graduelle Tektonik eines intrasynkolativen Transzendenzfeldes. Transzendentaltektonik, syndromatisch: Syndromatische Tektonik eines intrasynkolativen Trans- Seite 306 zendenzfeldes. Transzendentaltektonik, telezentrisch : Eine tektonische Struktur des intrasynkolativen Transzen¬ denzfeldes in Richtung der telezentrischen Begrenzung. Telezentrische Tektonik : Tektonische Struktur einer Area in Richtung der telezentrischen Begrenzung. Architektonik: Graduelle syndromatische und telezentrische Transzendentaltektonik eines beliebig extrasynkolativen Transzendenzfeldes. Televarianz: Durchgängige Existenz einer syndromatischen Strukturzone im monodromen Zweig einer Area zwischen den Haupttelezentren. Dysvarianz: Abbruch einer syndromatischen Strukturzone im Sinne eines Überganges in leere Syndrome. Extinktion, dysvariante: Die Bildung leere Syndrome im Sinne der Dysvarianz. Dysvarianzstelle: Bereich im Parametertensorium der Area, über dem die Dysvarianz beginnt. Initiale Dysvarianz: Beginn der Dysvarianz in den Basissyntropoden. Finale Dysvarianz: Beginn der Dysvarianz am Gipfel der graduellen Tektonik. Intermittierende Dysvarianz: Die Extinktion betrifft irgendeine Strukturzone zwischen den Basis¬ syntropoden und der Strukturzone höchsten Metroplexgrades. Extinktionsdiskriminante: Graduelle Begrenzung einer Extinktion in Richtung der telezentralen Tektonik. Resynkolation: Neubesetzung leerer Syndrome bei fallender bzw. steigender finaler Extinktions¬ diskriminante. Telezentrale: In geodätischer Metapher die kürzeste Verbindung der Haupttelezentren im Parametertensorium. Äondynencharakteristik: Syntrometrische Transformation, also Deformation der Syntrometrik, derart, daß jeder monodrome Zweig der Area durch eine für ihn typische Transformation über der Telezentralen liegt. Basisrelativität: Durch die Äondynencharakteristik ausgedrücktes Relativitätsprinzip der Telezen¬ tralen in der Transzendenzstufe 0. Telezentralenrelativität: Allgemeine Relativität der Telezentralen in beliebigen Transzendenz¬ stufen. Diabatische Projektion: Das Erscheinen der Telezentren in allen Transzendenzstufen des Transzen¬ denzfeldes einer Area. Metroplexdiabatik: Syndromatische bzw. metrophorische Durchdringung eines assoziativen Metroplex durch ein Syntroklinenbündel. Seite 307 Syntrokline Rückkoppelung: Tektonische Koppelung in einem System von Metroplexdiabaten. Elementare Aspektivsysteme: Zweideutige diskrete Prädikatrix im anthropomorphen Aspektiv- komplex. Aussagestufe'. Grad der komplementären Wahrscheinlichkeitsaussage über eine Aussage im elementaren Aspektivsystem. Aspektivfolge : Eine Kette von elementaren Aspektivsysfernen steigender Aussagestufen. Apodiktische Pluralität : Gesamtheit aller apodiktischen Elemente im anthropomorphen Aspektiv¬ system. Quantität: Die durch den Zahlenbegriff vergleichbaren Elemente der Pluralität. Qualität: Alle nicht in der Quantität enthaltenen Pluralitätselemente. Singulärer Metrophor. Enthält nichtidentische semantisch unbewertete algebraische Zahlenkörper. Semantischer Iterator: Vorschrift der Iteration und der semantischen Bewertung als Dimension¬ ierung der singulären Metrophorelemente. Semantischer Metrophor. Umfaßt die durch den semantischen Iterator dimensionierten apodiktischen Elemente. Infinitesimalfunktor: Differentiell oder integral wirkender Syntrixfunktor, dessen Wirkung partiell oder total innerhalb einer Äondyne über dem Quantitätsaspekt verläuft. Integrator: Multiplikativ koppelnder Korporator als integrierender Anteil eines Integralfunktors. Kompositionsfeld: Metrischer Strukturtensor, der von den Feldern metrischer Teilstrukturen abhängt. Partialstruktur: Argumenttensoren des Kompositionsfeldes. Strukturkomposition: Funktionalgesetz der Abhängigkeit des Kompositionsfeldes von den Partial¬ strukturen. Transmissionsfeld: Aus den ersten partiellen Ableitungen des Fundamentaltensors aufgebauter gemischtvarianter Faktor, der die Parallelverschiebungen invarianter Strukturen beschreibt. Strukturoperator: Aus den Translationsgesetzen abgeleiteter Operator, der von den Translations¬ komponenten bestimmt wird. Typensignatur: Wirkungsweise des Strukturoperators, welche auf die kovarianten Symmetrie¬ möglichkeiten des Translationsfeldes zurückgeht. Multiplettsignatur: Differenziertes Signaturgesetz in ko- und kontravarianter Wirkung eines auf höhere gemischtvariante Tensorgrade wirkenden Strukturoperators. Wirkungsmatrix: Die Gesamtheit aller ko- und kontravariant wirkenden Multiplettsignaturen. Strukturkaskade: Analytischer Syllogismus aus Fundamentaltensoren, dessen erstes Syndrom mit Partialstrukturen besetzt ist, während der Syndromabschluß vom Kompositionsfeld gebildet Seite 308 wird. Korrelationstensor. Die multiplikative Korrelation von Partialstrukturen im Sinne eines Varianz¬ stufengesetzes. Binärfeld: Transmissionsfeld aus zwei Partialstrukturen. Ternär- und Quartärfeld : In zwei oder drei Indizes kontravariantes Transmissionsfeld aus drei oder vier Partialstrukturen. Feldkern: Die möglichen Matrizenspektren der binären, ternären oder quartären Transmissions¬ feldmatrizen. Strukturassoziation: Homogene Aggregate gemischtvarianter Komponenten von Korrelationsten¬ soren in höherer Ordnung, welche Tensorkomponenten zweiten Grades bilden. Koppelungstensor. Wird aus den gemischtvarianten tensoriellen Strukturassoziationen aufgebaut, welche zu einem Binärfeld gehören. Die Gesamtheit aller Koppelungstensoren beschreibt die betreffende Strukturkomposition. Sieboperator: Metrische Limesrelation, welche eine Partialstruktur des Kompositionsfeldes zum Einheitstensor werden läßt. Daher metrisch dekomponierend. Siebkette: Folge mehrere Sieboperatoren. Siebkettenlänge: Zahl die in einer Kette wirkenden Sieboperatoren. Siebkettenglied: Einzelner Sieboperator innerhalb einer Kette. Partialkomposition: Strukturtensor in einer nicht-elementaren Strukturkaskade, der kein Komposi¬ tionsfeld ist, aber eine höhere analytische Bedingtheit hat als die Partialstrukturen. Kaskadenbasis: Gesamtheit der Partialstrukturen einer Strukturkaskade. Kaskadenstufe: Grad der Bedingtheit von Partialkompositionen. Kaskadenspitze: Einzelner Strukturtensor höchster Kaskadenstufe als Kompositionsfeld. Metrische Fundamentalsyntrix: Als Episyllogismus über einem semantischen Metrophor beschriebene Strukturkaskade mit Syndromabschluß und pyramidaler Struktur, auf welcher alle Quantitätssyntrizen reduzierbar sind. Einheitssyntrix: Eine Fundamentalsyntrix, von welcher alle Syndrome mit Einheitstensoren besetzt sind. Metron: Kleinste, aber von 0 verschiedene Volumeneinheit eines metrischen Tensoriums. Selektiver semantischer Iterator: Ein semantischer Iterator, welche im Fall eines metronischen Tensoriums eine metronische Auswahlregel enthält. Einfaches metronisches Tensorium: Lineare Folge von Metronen, deren Dimension mit der Metron- dimension identisch ist. Metronenziffer: Lageziffer eines Metrons im einfachen Tensorium. Seite 309 Metronenfunktion : Zahlentheoretische Funktion ganzzahliger Metronenzijfern. Metrondifferentiak Änderung einer Metronenfunktion mit der Metronenziffer. Metronintegrak Die zum Metrondifferential inverse Operation. Cisfinitesimal: Unter Berücksichtigung des Metrons sind infinitesimale Limesrelationen nicht möglich. Selektor. Auswahlregel von Metronenziffern. Koordinationsselektor. Selektorgesetz, welches zu verschiedenen Metronenfolgen koordiniert. Funktionalselektor. Funktionalzusammenhang verschiedener Selektoren. Selektorgleichung : Differentiale, integrale oder integrodifferentielle Selektorbeziehung. Selektorkern: Integrand eines Integralselektors. Metronisches Feld: Jede metronische Funktion mehrerer einfacher Argumenttensorien. Metrikselektor: Funktionaler Nullselektor, der die Metrik eines Tensoriums beschreibt. Fundamentalselektor: Der Selektor eines metrischen Strukturtensors. Primitiv strukturiertes Tensorium: Aus einfachen metronischen Tensorien aufgespannter abstrakter Raum. Hyperstruktur: Geodätisches metronisches Gitter. Feinstruktur: Das System von Bezugsräumen einer Hyper Struktur, welche mit dem Metron gleich¬ dimensioniert sind. Feinstrukturziffer: Laufende Metronenziffer in einem der Bezugsräume einer Hyperstruktur. Feinstrukturselektor: Der zu einer Feinstrukturziffer gehörige Selektor. Feldselektor: Der zu einer metronischen Feldfunktion gehörige Funktionalselektor. Metronisches Gitter: Diskretes System geodätischer Linien als Metronbegrenzung. Subraster: Durch den Feinstrukturselektor bedingtes metronisches Raster innerhalb der mit dem Metron gleichdimensionierten Bezugsräume. Hyperselektor: Funktionalselektor der geodätischen Gitterlinien. Gitterselektor: Einem Koordinationsselektor proportionaler Selektor, der das strukturlose euklidische Gitter beschreibt. Metronenspin: Oberflächenorientierung eines Metrons. Spinorientierung: Integrale Spinüberlagerung einer Hyperstruktur. Spinfeldselektor: Vektorieller Feldselektor der Spinstruktur. Spinselektor: Metronischer Rotor des Spinfeldselektors. Spinmatrix: Schema der Spinselektoren. Gitterkern: Ausdruck der Struktureinheit, in der Iteration Fundamentalselektor. Korrelator: Matrix aller Fundamentalselektoren, die aus den Gitterkernen als Partialstrukturen Seite 310 gebildet werden kö nn en. Korrelationsvermittler. Die extradiagonalen Korrelatorelemente. Strukturkondensation-. Relative Metronenkondensation bei der Projektion der Hyper- auf die Gitter¬ selektoren. Fundamentalkondensor. Selektorielles Maß des Kondensationszustandes. Basis Signatur. Element des Korrelators, welches im Fundamentalkondensor die Kovarianz bestimmt. Kontrasignatur. Korrelatorelement, welches die Kontravarianz des Fundamentalkondensors bestimmt. Wirkungssignatur. Gibt die Wirkungsweise der Kontrasignatur hinsichtlich des betreffenden Gitterkernes der gemischtvarianten Summation an. Kondensfeldselektor: Metronisches Äquivalent zum Strukturoperator. Metronische Wirkungsmatrix: Schema aller Multipletts der Kondensfeldselektoren. Strukturkompressor: Metronisches Äquivalent zum Krümmungstensor, welches den metronischen Verdichtungsgrad bei einer Strukturkondensation beschreibt. Metrische Kondensationsstufe: Eine derartige Kondensation ist immer gegeben, wenn die Konden¬ sorgleichung einem metronischen Eigenwertspektrum entspricht, dessen Terme ein diskretes Punktspektrum bilden. Seite 311 2. Formelregister 2.1. Teil A - Syntrometrie a,|AS| v bvF( ai )r,|AS| v ,0(b k )? Op,K r,O p ( )p, |A P | ,( ) p v ßp = fpj ofp v oC p = Ap v ßp= Bp a|=(f,a,m)v a = ( ai ) n vFj = f(a k )|" vll a = (Ai,ai,Bi) n x S (f Y ,m Y ) | a]= T/-I) (a|) = (f ,(a),m) v (a]) = ((f ,(a)),m> v (I) = (a, (t (i)j )"' ) n v a (i)j t (i)j ß (i)j S = (f ,(a),m) v S = ((f),a,m) vS = ((f),(a),m) a j Km c Jb,lCSl,c v (f,m),{ K * C ’ s j ,(cß,ü), W\t ,(G,N) , ICScIy, <(Gc)N) ( 1 ) ( 2 ) (3) (4) (5) (5a) ( 6 ) (V) ( 8 ) (9) (9a) ( 10 ) ( 11 ) Seite 312 ä| { }Bl,||,cl v c\= (fern) (11a) <(£a)m),||,äH {}-.{} {}...{ }a| (11b) al.ll.ald) { 1 ald) { } ä1<3) { } al (4) (11c) (12) (si, tlil U!'“ l si i .,]“lT.JI (B) r,ii,iT,civr -((), w { ro,,]“ (Ba) G =H-Uo,!l <*«> L J(A,S) Sl,F,Bl(n( )]” v ß],]T,al,b] (15) flll,(ali n al i+ i] N-l 1 vOEvFlsfl,Ii,E,fl (16) E' 1 ,E,flJT,fl (16a) g- 5 i,rE,TT,(si i r i si i+ 1 rr( )r E vS|,TT,c|,ai ( 17 > Cl,bl,TTjrE,bl V cl,Bl ,TT, PI (17a) fl»(al ? )i r . I UAl v fl = eic(( )r s ( )J‘ ( 18 ) Fi.TT.sic« )r,( )]“(e,( )r,E,,( )][-'(( >r s ( im Seite 313 ( ä|i N k, A s = 1 1 i=l Yi=, J (19) ; ij n K| a l S= 1 1 l” (X) * i=, Y«J X=1 (19a) ral=((Lal)l)vals(S|.) N (20) 1 f K C 1 1 1 m K ^ s |rbi,iW,m (20a) 1 ®fK r 1 1 m s s fn.TT.rci lK m C m J (20b) in (21) ali = p|(k)i v 1 0 (24) n+2 n—1 n n "*"^ , n fgl= [ (fcpljY) (m jY ,m jY ) (fTl Y , r Y ) (m,p)]^R 1 (25) n+N n +N n Mn)* “- 1 k ^ = l ^ öi(n)f ) dtP j(n)Y’®j(n)Y) ( ^(nV ’ -Y ) ( ’ P)] Z(n) (25a) n n P+q flfl = flfl E N Mvp + q0 (26) (T 2) (T’) » ARq EAR^KARlq-l^f-'vARU A R J fal (t,)? ] (27) Seite 314 ( 28 ) 2.2. Teil B - Anthropomorphe Syntrometrie S„, a = R n , a = (ai) q , al = < f, R„, m > (a1) = (f,R n , m > = a|(Xi)i,R n =( Xi ),0 ?=I... (y,z)? = Iy| j + jdl,zl,y = z, + (y,z)? = Iyl j + ’} dl,z1,(f,p) = (g,q) *(.(.)?.( P=\(f- f(yO;=£ ! dp,( ) = d|,...d|;( ), N> 1 ds 2 = g^dxMx- = g i -dx i dx k , 2 g(x k )” = 2 g + + 2 g_, 2 g!=- 2 r, 2 g(x k )" = 2 g( 2 g (Y) )T, 2 g (Y) * 2 g ( x Y) , ds ( Y ) =g (Y)ik dx i dx-, Zp (0 q (1) =p.q i (29) (30) (30a) (31) (32) (32a) (33) (34) (35) (35a) (36) (37) Seite 315 n = 2 co (38) x i (p) X 1 , gik^X“ = const (p), X 1 + x^x 1 = 0 , g- 1 {j k 1}, {jkl} ^gji , g g kj dx~ dx~ dx 1 , o-a+o. d 2 x L ( i ) öx k öx 1 _( p )' öx 1 öx'W* + l kl )öx'® öx' ü ” l m Pj ÖX* grad n ln w + w + (S,),(s 2 ) I (±)k dx k ■ + S() ! X.—|Ll+l Xk iM) ■so. /.=! 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(55) ! R = Z ( ! V)+ 2 %y, + 2 R,„v)) + 2£ - 2Ä = 2 ( 2 V) + 2 I ( ,y) + 2 E(„y))+ 2 £ hY=i nY=i (56) p _ p O) p c _ co ^ c p _ p'i 1 ^ p (|lx Y)kl (pY)klm (pY)lk’ (|lx Y)kl (pY)klm (pY)lk’ (jlx Y)kl (pY)klm (pY)lk 5 C — P 1 - dzC A — ük —_A Q _ ck _ _c kl klm lk’ (pY)lm (pY)klm (pY)ml’ —(pY)lm (pY)klm —(pY)lm 5 p = p- = -P c = c- =~c — (nY)lm (nY)klm — (pY)lm’ —Im ^klm —ml (56a) R co , =z nY=i v !r (,y)± + w + w) + c± (56b) s(Y) = ,.Um.( ), s(Y),g w =s(Y),g ( ^=8, k , s(i),\ v = Xy S (Y), 2 Q M , = 2 Q M , (57) S (Y)* =ri s (Y). (s(n)xs(Y)) =o, x^(nY)sx Y =% (58) z =2 jSM;K , Z_ =2 CO -1 Z(«-p)’f-+> Vp=° P ! . 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^ 2 cp > 0, cp ext =cp w , t> 2 cp = 0 (68b) Y n 2 n 2 nj iiy n 2 iij iiy n 2 S+S=S, S =0, Scp^n = 0(n,), S+S = S+S Ilj Y + l Hy Ily+1 Iiy V J Iiy n 2 H y Il 2 (69) ® (n) = S cp (n) 1>n + C, t)® = cp (70) SX=£S, S'S'cp = C = const, tup = 0, S acp tm = aScp tm, Sug Im = uSg tm + S(g-Sg tm)tm (71) S Un = \ ‘P» v-S-VL-u-Sv \|/ v \|/ v(n)v(n-l) (71a) 0, l-^

< Pi=9(--»n i -!»•••) i=i (74a) ( L \ k ■§ k cp= ,cp (74b) V i=l J Seite 321 (75) (v k )r. V k =V k (n,)°‘, G k „A'l' l , k=l ^) 0 = 0 K)I v “ 0 (-"’^-% k ,--), % k =Z% k 1=1 cp = cp( n 1 ) l L , % = 0, ü; = n i(e) ,

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